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第三章 角动量定理

第三章 角动量定理. §3.1 质点系角动量定理 §3.2 刚体运动分析 力系的约化 §3.3 惯量张量 §3.4 刚体的定轴转动 §3.5 刚体的平面运动. §3.1 质点系的角动量定理. 描述物体转动状态的物理量是角动量，也叫做动量矩。动量矩的变化是力矩引起的。本节研究的角动量（动量矩）定理将指出动量矩与力矩的普遍关系。动量矩定理是牛顿方程的另一个推论，是解决转动问题的基本定理。. 一、几个有意义的实际问题. ？. 谁最先到 达顶点. 1. 爬绳比赛. ？. 直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象.

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第三章 角动量定理

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  1. 第三章 角动量定理 §3.1 质点系角动量定理 §3.2 刚体运动分析 力系的约化 §3.3 惯量张量 §3.4 刚体的定轴转动 §3.5 刚体的平面运动

  2. §3.1 质点系的角动量定理 描述物体转动状态的物理量是角动量，也叫做动量矩。动量矩的变化是力矩引起的。本节研究的角动量（动量矩）定理将指出动量矩与力矩的普遍关系。动量矩定理是牛顿方程的另一个推论，是解决转动问题的基本定理。

  3. 一、几个有意义的实际问题 ？ 谁最先到 达顶点 1. 爬绳比赛

  4. ？ 直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象 2.直升飞机尾桨的平衡作用

  5. ？ 为什么二者 转动方向相反 3. 航天器姿态控制系统中反作用轮的作用

  6. ？ 航天器是怎样实现姿态控制的

  7. Jo(mv) JO(mv) =mvh=2△OAB 二、质点和质点系的角动量（动量矩） z 定位矢量 JO(mv) r mv B A(x,y,z) O y h x 1. 质点的动量矩

  8. z vi m2 mi ri m1 O y x 2. 质点系的角动量 质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。

  9. 令： ri vi  z mi y x 定轴转动刚体对转轴的动量矩 Iz——刚体对 z 轴的转动惯量 ★ 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。

  10. Mo(F) Jo(mv) F 三、动量矩定理 z r mv B A(x,y,z) O y x 1. 质点的动量矩定理 ★ 质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。

  11. 2. 质点的动量矩守恒定律

  12. F M mv h r O 有心力作用下的运动问题 ★ 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。

  13. 其中： 3. 质点系的动量矩定理 ★ 质点系对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对同一点的矩的矢量和。

  14. ★ 质点系对某定点 的动量矩分量对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对同一点的矩的分量的代数和。

  15. 4. 质点系动量矩守恒定律 如果外力系对于定点的主矩等于 0，则质点系对这一点的动量矩守恒。 如果外力系对于定轴之矩等于 0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。

  16. 四、相对于质心的动量矩定理 我们取质心为坐标原点，建立一个对惯性系作平动的坐标系。如果质心作加速运动，这个坐标系显然就是个非惯性系。下面我们要证明：动量矩定理在这种加速的平动质心系中也是成立的。 在加速平动的质心坐标系，有 用加速平动质心系中的位矢叉乘方程两边，有

  17. 或者 这就是：对加速的平动质心系而言，质点组的动量矩对时间的导数恒等于外力对质心的合力矩。可见，惯性系中的动量矩定理在加速的平动质心系中也是成立的。

  18. P FOy 应用动量矩定理  均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。 例题3.1 O v W mg FOx 求：重物下落的加速度 解：取系统为研究对象

  19. z z 求：此时系统的角速度 例题3. 2 mg mg A A a a B B l l   o  D D C C 解：取系统为研究对象

  20. 强与弱不分胜负

  21. §3.2 刚体运动分析 力系的约化 刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。 我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动。

  22. 一、 刚体运动分析 1. 描写刚体位置的独立变量 质点组3n个变量 质点3个变量

  23. B C A 确定刚体在空间的位置，需要几个变量？ 6个变量可以确定刚体位置

  24. 2. 刚体运动的分类 （1）平动 平动的独立变量为三个

  25. （2）定轴转动 定轴转动的独立变量只有一个

  26. 世界最大的摩天轮——“伦敦眼”

  27. （3）平面平行运动 平面平行运动的独立变量有三个

  28. （4）定点转动 定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。

  29. 二、力系的简化 力的可传性原理 1.力的可传性原理

  30. 力的作用线不能随意移动

  31. 2.力系的简化 （1）共点力系的简化平行四边形法则 （2）共面非平行力系的简化力的可传性原理+平行四边形法则 （3）平行力系的简化合力的量值和方向由代数和确定 合力的作用线用力矩关系确定（合力对垂直于诸力的 某轴的力矩与诸分力对同一轴线力矩的代数和相等）。

  32. （4）力偶矩

  33. 既不平行又不汇交的力 空间力系可简化为对某一 简化中心的主矢和主矩 （5）空间力系的简化

  34. 三、 刚体运动微分方程 思路将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩。 对质心的动量定理 对质心的角动量定理 质心的运动规律与固定点的一样

  35. 动能定理可作为辅助方程 6个方程正好确定刚体的6个独立变量

  36. 四、 刚体平衡方程 对共面力系，有

  37. 解出 例题3. 3 p171，如图，求A处的摩擦系数。 解 是共面力系的平衡问题

  38. §3.3 惯量张量一、刚体的角动量和动能 1.刚体对O点的角动量

  39. 2. 转动惯量与惯量积 令 惯量积 转动惯量

  40. 轴转动惯量 惯量积 质量连续分布刚体的转动惯量和惯量积

  41. 3. 惯量矩阵

  42. 4. 刚体的转动动能

  43. 二、 惯量张量 1.张量（tensor）简介 它是向量的推广。在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地使用了张量。

  44. 2.张量的分量 设张量的阶数为n，分量的数目为S，在三维空间中 由张量的理论可知，标量和矢量都可以统一在张量概念之中。张量可以按阶分类。例如，标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。下面研究的惯量张量是二阶张量。

  45. 3.惯量张量 惯性张量的另外一种表示形式是用分量来表示。其分量表达形式为

  46. 惯量系数是时间t的函数。如果取本体坐标系，惯量系数显然均为常数。不过，本体坐标系的原点及轴的取法不同，惯量系数将取不同的常数。由张量的理论可知，对于本体坐标系的坐标变换，惯量张量的三个对角元素之和是个不变量，称为线性不变量；惯量张量九个元素的平方和也是不变量，称为平方不变量；惯量张量的行列式是第三个不变量，称为立方不变量。惯量系数是时间t的函数。如果取本体坐标系，惯量系数显然均为常数。不过，本体坐标系的原点及轴的取法不同，惯量系数将取不同的常数。由张量的理论可知，对于本体坐标系的坐标变换，惯量张量的三个对角元素之和是个不变量，称为线性不变量；惯量张量九个元素的平方和也是不变量，称为平方不变量；惯量张量的行列式是第三个不变量，称为立方不变量。

  47. 三、 惯量椭球 1. 定轴转动的转动惯量 至转动瞬轴的垂直距离 转动惯量 注意刚体绕不同轴转动，转动惯量不同

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