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第二章 力系的简化

第二章 力系的简化. § 2-1 力矩的概念及计算 §2-2 平面力偶理论 §2-3 空间力偶理论 §2-4 力系向一点简化的结果 — 主矢与主矩 §2-5 力系向一点简化的结果的进一步讨论. § 2–1 力矩的概念及计算. （ 2 – 1 ）. —— 力矩矢. 1 、 力对点之矩. 三要素：. (1 ）大小 : 力 F 与力臂的乘积. (2) 方向 : 转动方向. (3) 作用面：力矩作用面. 力矩矢是定位矢量. 又. 则. （ 2 – 2 ）. 力对点 O 的矩 在 三个坐标轴上的投影为. （ 2 – 3 ）. h.

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第二章 力系的简化

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  1. 第二章 力系的简化 §2-1力矩的概念及计算 §2-2平面力偶理论 §2-3空间力偶理论 §2-4力系向一点简化的结果—主矢与主矩 §2-5力系向一点简化的结果的进一步讨论

  2. §2–1力矩的概念及计算 （2–1） ——力矩矢 1、 力对点之矩 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面. 力矩矢是定位矢量

  3. 又 则 （2–2） 力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 （2–3）

  4. h （2–4） 2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零. 力对轴的矩为标量，迎轴正向看逆时针之矩为正，反之为负。

  5. +0 = - = （2-6） 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐 标 x, y, z （2–3） = - + 0 求：力 对 x, y, z轴的矩 = （2-7） =0 = （2-5） 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 三式与(2-3)式比较

  6. 比较（2-3）、（2-5）、（2-6）、（2-7）式可得 即力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩. 过该点的某轴

  7. 已知： 求： 解：把力 分解如图 例2-1

  8. 例2 在图示长方体的顶点B处作用一力F，F=700N。已知。分别求力F对各坐标轴之矩，并写出力F对点O之矩矢量Mo(F)。 解：力F矢量作用点坐标为： 力F矢量在三个坐标轴的投影为： 力F矢量对三个坐标轴的矩为： 同理有： 力F矢量对O之矩为：

  9. §2-2平面力偶理论 1．平面力偶定义 *大小相等,方向相反,作用线平行的两个力称为力偶。 *力偶只能使物体转动。因此，力偶与一个力不等效，它既不能合成一个力也不能与一个力平衡。 *力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的乘积。 F’ d F 逆时针为正，顺时针为负

  10. *力偶对任意一点之力矩为常量，与矩心无关。*力偶对任意一点之力矩为常量，与矩心无关。

  11. 平面力偶等效定理 • 同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 F M(F,F’)=M(P,P’) F’ F F1 将F,F’于两力偶作用线交点处沿图示方向分解 F2’ F2 P F1’ F’ 去掉平衡力F2,F2’ M(F,F’)=M(F1,F1’)=M(P,P’) (F,F’) (F1,F1’)=(P,P’) P’

  12. 2．平面力偶的性质 (1) 力偶可在自己的作用平面内任 意移动，对刚体的作用不变。 (2) 力偶可以改变F、d的大小，只要力偶矩不变，对刚体的作用不变。 (3) 力偶可以从一个平面平行移至另一 平面，只要力偶矩不变，对刚体的作用不变。

  13. 3.平面力偶系的合成 d2 d1 d3  力偶系的合成 • 设刚体上作用着三力偶（F1、F1）、（F2、F2）、（F3、F3），力偶臂分别为d1， d2， d3 ，转向如图，现求其合成结果。 三力偶的矩分别为 M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=－F3d3

  14. d2 d1 d3 d B A  力偶系的合成 M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=－F3d3 经等效变换后，各力偶中力的大小分别为

  15. M = M1 + M3 + ···+Mn  力偶系的合成 假定Fd1+ Fd2＞ Fd3，其合力 d B A 合力偶的力偶矩为 M=Fd = (Fd1+ Fd2 －Fd3)d = Fd1 d+ Fd2 d +(－Fd3)d = M1 + M2 +M3 推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系,合力偶矩为

  16. M = M1 + M3 + ···+Mn  力偶系的合成 M = M1 + M3 + ···+Mn 结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原来各力偶的矩的代数和。 4.平面力偶系平衡条件 在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力F=0，从而有 M1 + M2 +M3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有 结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各力偶的矩之代数和等于零。

  17. 例题2-3  例题 2-3 FA FB 例2-3一简支梁AB=d，作用一力偶M，求二支座约束力。 解： 梁上作用力偶M 外，还有约束力FA，FB。 M 因为力偶只能与力偶平衡，所以FA = FB。 d A B 由 M  FAd = 0 即 FA = FB = M/d

  18. B FAB B FBA A α A M2 M1 M1 FO O D M2 O D FD  例题 2-4 例2-4如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1 和M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA= r，DB= 2r，α= 30°，不计杆重，试求M1 和M2 间的关系。 解：杆AB为二力杆。 由于力偶只能与力偶平衡，则AO杆与BD杆的受力如图所示。

  19. FAB A B FBA M1 O FO M2 D FD  例题 2-4 分别写出杆AO和BD的平衡方程： α 由 M1 r ·FABcosα= 0 得  M2 + 2r ·FBAcosα= 0 FAB = FBA 因为 M2= 2M1 则得 α

  20.  例题 2-5 例2-5如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图示位置时OA与OB垂直,角α=30o , 且系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩M2及铰链O，B处的约束力。 C M2 O A r M1 B

  21. FA O A M1 FO  例题 2-5 先取圆轮为研究对象。 解： C M2 因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FO 构成一力偶，故FA= –FO。 O A r M1 B 解得

  22. C M2 A FB B  例题 2-5 C 再取摇杆BC为研究对象。 M2 其中 O A r M1 解得 B FA O A M1 FO

  23. 例6工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。例6工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。 解：取工件为研究对象。

  24. 例7已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。 解： AB为二力构件。对BC构件，由力偶平衡有：

  25. 力偶矩矢 （4–10） §2–3空间力偶 1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢 空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。

  26. 力偶矩 因 2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心改变而改变。

  27. = = = （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.

  28. = = = = (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.

  29. 定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.

  30. = = 如同右图 有 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. 3．力偶系的合成与平衡条件

  31. 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 有 简写为（4–11） 合力偶矩矢的大小和方向余弦 称为空间力偶系的平衡方程.

  32. 例2-8 求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 . 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m. 解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A . 列力偶平衡方程

  33. AB =800mm, 已知： 两圆盘半径均为200mm， 圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， 构件自重不计. F1=3N， F2=5N， 例2-9 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体，受力图如图b所示. 由力偶系平衡方程 解得

  34. 已知：正方体上作用两个力偶 ∥ 不计正方体和直杆自重. 求：正方体平衡时， 力 的关系和两根杆受力. 例2-10

  35. 取正方体， 解：两杆为二力杆， 画受力图建坐标系如图b 解得 有 解得 杆 受拉， 受压。 以矢量表示力偶，如图c 设正方体边长为a ,有

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