지수함수와 로그함수

1. ⊿t 1 ln(t+⊿t)-lnt 1 t+⊿t dy 1 ⊿y d ⊿t dt t ⊿t t t ⊿t ⊿t dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 자연로그함수 y=lnt의 도함수는 다음과 같음. • = lnt= • - 이것을 증명하기 위해, 변수 t의 증분 ⊿t에 대응하는 • y의 증분을 ⊿y라 하면, 로그법칙에 의해 • = = ln = ln 1+

2. 1 1 ⊿y 1 dlnt 1 1 1 1 ⊿t dy 1 t dt ⊿t dt t ⊿t t t h t t t • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • - 그런데, 여기서 h=⊿t/t라 하면, 로그법칙에 의해 • ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)1/h • - 또한 ⊿t가 0에 무한히 접근하면, h도 0에 접근함. • = = ln(1+h)1/h= lne= • 즉, = (t0) lim h0 lim ⊿t0

3. 1 dlnv f(t) d dv 1 1 d d d k d t f(t) dt dv dt tlnb dt dt dt dt f(t) t • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 로그함수의 미분공식은 다음과 같음. • lnt= , logbt= , lntk= • 미분법칙의 일반화 • - 주어진 함수 y=lnf(t)에서 연쇄관계를 형성하도록 우선, • v=f(t)라하면, y=lnv가 됨. • - 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음. • lnf(t)= lnv= = f(t)=

4. 1 a dy d dt t dt at • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 예 1 : 함수 y=ln(at)의 도함수(dy/dt) • = ln(at)= = • 실제로, 미분법칙에 의하면 ln(at)=lna+lnt이고, • lna는 상수임. • 이것은 로그식안에 있는 t에 곱해진 상수는 미분 • 연산과정에서 없어짐.

5. ctc-1 k c f(t) d d d dt t dt tc t dt f(t) • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 예 2 : 함수 y=klnt의 도함수(dy/dt) • klnt=k lnt= • 로그식밖에서 곱해진 상수는 미분연산과정에서 • 그대로 남음. • 예 3 : 함수 y=lntc의 도함수(dy/dt) • 여기서 f(t)=tc이면, f(t)=ctc-1이므로, 공식에 의해 • lntc= = =

6. dy d 2t d dt dt t2 dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 예 4 : 함수 y=t3lnt2의 도함수(dy/dt) • 이 함수는 2개의 인수 t3과 lnt2의 곱으로 이루어져 • 있기 때문에, 곱의 미분공식에 적용하면, • =t3 lnt2+(lnt2) t3 • =t3 +(lnt2)(3t2) • =2t2+(2lnt)(3t2) [로그법칙 3에 의해] • =2t2+6t2lnt=2t2(1+3lnt)

7. 1 dy 1 dy 2t f(t) lnf(t) lnb dt ln10 lnb dt t2+4 f(t) • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 미분법칙의 일반화 : 밑수가 b인 경우 • - 함수 y=logbf(t)= 이면, = 가됨. • 예 5 : 함수 y=log10(t2+4)의 도함수(dy/dt) • 여기서 f(t)=t2+4라하면, f(t)=2t이므로, • =

8. 1 1 t2 dv dy t2 2(1+t)-t dy 2+t dv 1 t2 2+t 1 2t d dt t2 dt dt 1+t dt dt 1+t ln5 t(1+t)ln5 t(1+t) 1+t 1+t t(1+t)ln5 ln5 ln5 • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 로그함수의 미분법칙 • 예 6 : 함수 y=tlog5(t2/1+t)의 도함수(dy/dt) • 여기서 v=log5이라면, = (tv)=v+t • 로그법칙에의하여 v=log5 =log5t2-log5(1+t) • 그러므로 = - • = = • 따라서 =log5 +

9. dy dt d(lny) 1 d dt dy dy y dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 지수함수의 미분법칙 • 자연지수함수 y=et의 도함수는 다음과 같음. • = et=et • - 이것을 증명하기 위해, 우선정의식에 의하여 • y=et t=lny • - 앞에서자연로그함수의 미분공식에 의하여 • = =

10. dy d 1 1 d d dt dt dt/dy 1/y dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 지수함수의 미분법칙 • - 따라서역함수의 미분법칙에 의해 다음이 성립함. • = et= = =y=et • 지수함수의 미분법칙은 다음과 같음. • et=et, bt=btlnb

11. dy d dy d dy d dt dt dt dt dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 지수함수의 미분법칙 • 미분법칙의일반화 • - y=ef(t)일때, = ef(t)=f(t)ef(t) • - y=bf(t)=ef(t)lnb일 때, = bf(t)=f(t)bf(t) • 예 1 : 함수 y=ert의 도함수(dy/dt) • 여기서 f(t)=rt라고하면, 따라서 f(t)=r임. • = ert=rert

12. dy d dy d dt dt dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 지수함수의 미분법칙 • 예 2 : 함수 y=Aert의 도함수(dy/dt) • 여기서 f(t)=rt라고 하면, 따라서 f(t)=r임. • = Aert=rAert • 예 3 : 함수 y=e-t의 도함수(dy/dt) • 여기서 f(t)=-t라고 하면, 따라서 f(t)=-1임. • = e-t=-e-t

13. dy d dy d dt dt dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 지수함수의 미분법칙 • 예 4 : 함수 y=21-t의 도함수(dy/dt) • 여기서 b=2, f(t)=1-t이며, 따라서 f(t)=-1임. • = 21-t=-21-tln2 • 예 5 : 함수 y=121-t의 도함수(dy/dt) • 여기서 b=12, f(t)=1-t이며, 따라서 f(t)=-1임. • = 121-t=-121-tln12

14. d d dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 고계도함수(higher derivatives) • 지수함수의 고계도함수는 다른 함수형태의 도함수와 • 마찬가지로 미분을 반복하여 얻어진 결과임. • - 지수함수 y=bt (b1)일때, 1계도함수는 앞에서 살펴본 • 바와 같이 y(t)=btlnb(여기서 lnb는 상수)임. • - 따라서 2계도함수는 t에 관하여 한번 더 미분하면, • y(t)= y(t)=( bt)lnb=(btlnb)lnb=bt(lnb)2

15. d d dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 고계도함수(higher derivatives) • - 한편, y=et일때, 1계도함수는 다음과 같음. • y(t)=et • - 따라서 2계도함수는 t에 관하여 한번 더 미분하면, • y(t)= y(t)=( et)=et • - 결국, et의 고계도함수는 항상 그 자체가 도함수임.

16. d d -1 dt dt t2 • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 고계도함수(higher derivatives) • 로그함수의 고계도함수는 다른 함수형태의 도함수와 • 마찬가지로 미분을 반복하여 얻어진 결과임. • - 로그함수 y=lnt일때, 1계도함수는 앞에서 살펴본 바와 • 같이 y(t)=1/t=t-1임. • - 따라서 2계도함수는 t에 관하여 한번 더 미분하면, • y(t)= y(t)= t-1=-t-2=

17. -1 d 1 1 1 d2y -1 1 d lnb dt tlnb t t2 dt lnb dt2 t2lnb • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 고계도함수(higher derivatives) • 예 1 : y=logbt의 1계도함수(dy/dt)와 2계도함수(d2y/dt2) • y(t)= logbt= • y(t)= = ( )= =

18. 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 응용(an application) • 로그의 주요한 특징 중의 하나는 곱셈을 덧셈으로, • 나눗셈을 뺄셈으로 바꿀 수 있다는 점임.

19. 1 d 1 7x+6 x2 dy 2 d 2x dx dx y (x+3)(2x+1) x+3 x2 x(x+3)(2x+1) dx 2x+1 • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 응용(an application) • 예 1 : 다음의 함수에서 도함수 dy/dx를 구하면, • y= • - 우선, 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같은 함수가 됨. • lny=lnx2-ln(x+3)-ln(2x+1) • - 좌변을 x에 대해 미분하면,(좌변)= • - 우변은 (우변)= - - =

20. dy 7x+6 d 1 7x+6 x2 dy d x(7x+6) 7x+6 dx dx y (x+3)(2x+1) dx x(x+3)(2x+1) x(x+3)(2x+1) dx x(x+3)(2x+1) (x+3)2(2x+1)2 • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 응용(an application) • - 앞의두 결과를 같게 놓으면, • (좌변)= (우변) • = • - 이제, 양변에 y를 곱하면, • = y • = =

21. d a d 1 dy dy a a dx dx y dx dx x x x • 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수의 도함수 • 응용(an application) • 예 2 : 다음의 함수에서 도함수 dy/dx를 구하면, • y=xaekx-c • - 우선, 양변에 자연로그를 취하면 다음을얻음. • lny=alnx+lnekx-c=alnx+(kx-c)lne=alnx+kx-c • - 좌변을 x에 대해 미분하면,(좌변)= • - 우변을 x에 대해 미분하면, (우변)= +k • - 즉, =( +k)=( +k)xaekx-c

22. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 포도주저장의 문제(a problem of wine storage) • - 포도주 업자가 특정량의 포도주를 보유하고 있고, • 현시점(t=0)에서 이것을 K원에 팔거나, 또는 일정 기간 • 저장 후 더 높은 가격에 판매한다고 가정함. • - 그리고 포도주 가치(V)는 다음과 같이 시간의 증가함수임. • V=Ke [=Kexp(t1/2)] • - 만약 t=0이면(현시점에서 판매하면), V=K임. • - 그러나 문제는 저장비용(storage cost)이 0일 때, 이윤 • 극대화를 위한 포도주의 판매시점을 결정하는 것임. √ t

23. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 포도주저장의 문제(a problem of wine storage) • - 포도주 업자는 이미 포도주 대금을 지불하였고, 저장 • 비용은 없다고 하였기 때문에, 이윤극대화는 곧 판매 • 수익 또는 포도주의 가치를 극대화하는 것임. • - 이제 연속복리 계산의 기준이 되는 이자율을 r이라고 • 하면, 포도주가치(V)의 현재가치는 다음과 같음. • A(t)=Ve-rt=Kee-rt=Ke • 여기서현재가치 A는그 자체가 t의 함수임. • - 그러므로 문제는 A를극대화하는 t값을 찾는 것과 같음. √ t √ t- rt

24. dA 1 dA 1 1 2 2 dt A dt • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions) • - 앞에서 다룬 현재가치의 극대화조건은 1계도함수와 • 2계도함수로 구할 수 있음. • - 이를 위해, 우선 앞의 식 A(t)=Ke 양변에 자연로그를 • 취하면, • lnA(t)=lnK+lne =lnK+(t1/2-rt) • - 이제, 양변을 t에 관해서 미분하면, • = t-1/2-r 또는 =A( t-1/2-r) √ t- rt √ t- rt

25. 1 1 dA 1 1 1 2√ dt 2 2r 2r 4r2 • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions) • - 앞의식에서 A0이기 때문에, 1계조건인 =0을 만족 • 하기 위한 필요충분조건은 다음과 같음. • t-1/2=r 또는 =r 또는 =√ • - 포도주의 최적저장기간은 다음과 같음. • t*=( )2= • - 만약 r=0.10이면 t*=25이므로포도주업자는 포도주를 • 25년간 저장한 후, 판매해야 이윤을 극대화할 수 있음. t t

26. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions) • - 앞의 식에서,이자율(할인율)과 최적저장기간 간에는 • 반비례함을 알 수 있음. • - 즉, 이자율(할인율)이 높으면 높을수록 이윤을 극대화 • 하는 포도주의 저장기간은 짧아지게 됨을 의미함. • - 여기서 이윤극대화의 1계조건 1(2/√)=r의 경제적 의미 • 는, 이 식의 좌변은 단순히 포도주가치 V의 증가율을 • 나타냄. t

27. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions) • - [그림 10.4]에 예시된 바와 같이, 포도주의 저장이익이 • 완전히 없어질 때까지 포도주를 보유하는 것, 즉 (체감 • 하는) 포도주가치의 증가율이 현금판매수입액에 대한 • (일정한) 이자율과 같게 되는 시점까지 기다리는 것임.

28. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions)

29. d2A 1 dA 1 d 1 d d d2A d2A 1 1 1 dt dt2 dt2 dt 2 dt 4 dt2 2 dt 4√ 2 2 • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 극대화조건(maximization conditions) • - 이제, t*의 값이 A가 극대이기 위한 2계조건을 구하기 • 위하여, A의 2계도함수는 다음과 같음. • = A( t-1/2-r)=A ( t-1/2-r)+( t-1/2-r) • - 그러나1계조건에서 dA/dt=0이므로, 위 식의 마지막 • 항은 0이 됨. 결국, 다음과 같이 됨. • =A ( t-1/2-r)=A(- t-2/3)=- • - 위식에서 A0, t0이므로, 0임. t3

30. 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 재목 벌채의 문제(a problem of timber cutting) • (어떤 토지에 육성된) 재목의 가치는 다음과 같이 시간 • t의 증가함수라고 가정하면, • V=2 • 여기서단위는 1,000만원, 할인율은 r, 재목이 성장하는 • 기간동안 유지비는 없을 때, 재목 벌채의 최적시점? • - 우선, V를 현재가치로 나타내면다음과같음. • A=Ve-rt=2 e-rt √ t √ t

31. dA 1 d dA 1 1 1 A dt 2 2 dt 2 dt • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 재목 벌채의 문제(a problem of timber cutting) • - 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면, • lnA=ln2 +lne-rt=√ ln2-rt=t1/2ln2-rt • - A를극대화하기위해서 1차조건 dA/dt=0을 구하면, • (lnA)= t-1/2ln2-r • = t-1/2ln2-r • =A( t-1/2ln2-r)=0 √ t t

32. ln2 1 1 2r 2 2 • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 재목 벌채의 문제(a problem of timber cutting) • - A0(A0)이기 때문에, dA/dt=0이 만족하기 위해서는 • t-1/2ln2-r=0  t-1/2ln2=r • - 따라서 최적시점은 다음과 같이 구할 수 있음. • t*=( )2

33. 1 d2A d 1 dA dA 1 d2A 1 1 2 dt 4 dt 2 dt 2 dt2 dt2 4 • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 재목 벌채의 문제(a problem of timber cutting) • - 한편, A를 극대화하기 위한 2차조건은 다음과 같음. • =( t-1/2ln2-r) +A ( t-1/2ln2-r) • =( t-1/2ln2-r) - At-3/2ln2 • - 위식의첫 번째 항은 앞에서의 1차조건에서 0이므로, • 2차조건은 다음과 같이 쓸 수 있음. • =- At-3/2ln20 • - 따라서 앞에서 구한 t*는 최적시점이 됨.

34. 0.6931 0.10 • 지수함수와 로그함수 • 최적시점의 선택(optimal timing) • 재목 벌채의 문제(a problem of timber cutting) • - 예를 들어, 만약 r=0.05일때최적시점과 현재가치는 • 다음과 같음. • t*=( )2=(6.931)2=48.0년 • A*=26.931e-0.05(48.0)=(122.0222)e-2.40 • =122.0222(0.0907)=11.0674원(단위 1,000만) • - 따라서 식목비용이 A*보다 작은 경우에만 비로소 식목 • 할 가치가 있음(유지비용은 없다고 가정).

35. dy/dt f(t) 한계함수 d y f(t) 총함수 dt • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 성장률을 구하는 방법 • 만약 변수 y가시간의함수, 즉 y=f(t)일 때 순간성장률 • (일정시점에서의 성장률)은다음과 같이 정의됨. • ry = = • - 위 식은 lnf(t)와 같음. • - 즉, 변수 y의 성장률은 함수식에 자연로그를 취한 후, • 이를 시간 t에 관하여 미분함으로써 구할 수 있음.

36. d d dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 성장률을 구하는 방법 • 예 1 : V=Aert의 성장률을 구하라. (단, t는시간) • - 우선, 위식의양변에 자연로그를 취하면, • lnV=lnA+rtlne=lnA+rt (A는 상수) • - 그러므로 다음과 같은 결과를 얻음. • rV= lnV=0+ rt=r • - 따라서 V의 성장률은 r이됨을 알 수 있음.

37. d dt • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 성장률을 구하는 방법 • 예 2 : y=4t의 성장률을 구하라. (단, t는시간) • - 마찬가지로, 위식의양변에 자연로그를 취하면, • lny=ln4t=tln4 • - 그러므로 다음과 같은 결과를 얻음. • ry= lny=ln4 • - 이 식은 eln44이므로, 따라서 y=4t은 y=e(ln4)t로 다시 • 쓸 수 있음. 이로부터 y의 성장률은 (ln4)임.

38. d d d dt dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • 시간의 함수인 두 함수의 곱, 즉 • y=uv 단, u=f(t), v=g(t)임. • - 두 함수 곱의 성장률을 얻기 위해, 양변에 자연로그를 • 취하면, • lny=lnu+lnv • - 따라서성장률은 다음과 같음. • ry= lny= lnu+ lnv

39. 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • - 그러나우변의 두 항은 각각 u와 v의 성장률임. • - 그러므로 다음과 같은 법칙을 얻음. • r(uv)=ru+rv • - 즉, 함수들의 곱의 순간성장률은 각각의 함수에 대한 • 순간성장률들의 합과 같음을 의미함. • - 마찬가지 방법으로, 함수들의 몫의 순간성장률은 각 • 함수들의 성장률간의 차와같음을 의미함. • r(u/v)=ru-rv

40. 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • 예 3 : 소비 C의 증가율은 이고, 인구 H의 증가율은 • 라고 하면, 1인당 소비증가율은 얼마인가? • - 1인당 소비는 C/H이므로 그 증가율은 다음과 같음. • r(C/H)=rC-rH=-

41. d d 1 d 1 dt dt u+v dt u+v • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • 다음으로, 시간의 함수인 두 함수의 합, 즉 • z=u+v 단, u=f(t), v=g(t)임. • - 두 함수 합의 순간성장률을 구하기 위해, 양변에 자연 • 로그를 취하면, • lnz=ln(u+v) (lnu+lnv) • - 따라서성장률은 다음과 같음. • ry= lnz= ln(u+v)= (u+v)= [f(t)+g(t)]

42. u u u+v u+v • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • - 그러나앞에서 순간성장률은 총함수에 대한 한계함수 • 이므로, 즉 ru=f(t)/f(t)이므로 f(t)=f(t)ru=uru임. • - 마찬가지로 g(t)=g(t)rv=urv임. • - 결과적으로다음과 같은 법칙을 얻음. • r(u+v)= ru+ rv • - 함수들의 합의 성장률은 각 함수의 성장률들의 가중 • 평균(weight average)임.

43. u u u-v u-v • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • - 그 뿐만 아니라, 다음과 같이 함수들의 차의 성장률을 • 얻을 수 있음. • r(u-v)= ru- rv

44. Ga+Sb S G a S b G X Xt X X t X t • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 함수들이 결합된 경우의 성장률(복합함수의 성장률) • 예 4 : 한 국가의 재화수출 G=G(t)의 증가율이 a/t이고, • 용역수출 S=S(t)의 증가율은 b/t라고 하면, • 총수출의 증가율은 얼마인가? • - 총수출은 합계 X(t)=G(t)+S(t)이므로, 증가율은 다음과 • 같음. • rX= rG+ rS • = + =

45. dlny 1 1 1 y y y y • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 점탄력성을 구하는 방법 • 앞에서 살펴본 바와 같이 자연로그함수의 미분공식 • = • - 위 식을 변형하면, 즉 lny의 미분은 다음과 같음. • dlny= dy • - 마찬가지로, lnx의 미분은 다음과 같음. • dlnx= dx

46. d(lny) dy x dy x d(lnx) dx y y dx • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 점탄력성을 구하는 방법 • - 한편, 어떤 함수 y=f(x)의 점탄력성(point elasticity)은 • 다음과같음. • yx= = • - 이를다시 정리하면, 다음과 같음. • yx=

47. d(lnQ) d(lnP) • 지수함수와 로그함수 • 지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용 • 점탄력성을 구하는 방법 • 예 5 : 주어진 함수 Q=k/P(단, k는 양의 상수)에서 수요의 • 점탄력성을 구하라. • - 우선, 수요함수의 양변에 자연로그를 취하면, • lnQ=lnk-lnP • - 따라서 (P에 대한 Q의) 수요의 점탄력성은 다음과 같음. • d= =-1 • - 직각쌍곡선형태의 수요곡선은 항상 단위탄력적임.