Модели элементов электромеханических систем

1. Модели элементов электромеханических систем

2. Математическая модель сложной ЭМС состоит из моделей отдельных элементов системы, которые в зависимости от выполняемых функций и схемного решения описывают дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений разного порядка. Поэтому условно можно рассматривать модели элементов ЭМС в зависимости от порядка дифференциального уравнения или системы уравнений.

3. Модели, описываемые дифференциальными уравнениямипервого порядка Моделями, описываемыми ДУ 1-го порядка, например, могут являться RL- и RC-цепи, используемые в качестве фильтров низких и высоких частот. Рассмотрим описание процессов в RL и RC цепях при подключении их к источнику напряжения постоянного тока.

4. Схема коммутации RL-цепи

5. Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

6. Схема коммутации RС-цепи

7. Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данной цепи после замыкания ключа, имеет следующий вид: Учитывая, что это уравнение можно записать

8. Как видно, переменными состояния в RL- и RC-цепях являются ток через катушку индуктивности и напряжение на конденсаторе соответственно.

9. Решение дифференциальныхуравнений Анализ процессов в моделях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, осуществляют обычно решая эти уравнения классическим способом. Решение этих уравнений имеет следующий вид:

10. Для RL – цепи. где iч - частное решение неоднородного дифференциального уравнения; io(t) – общее решение однородного уравнения.

11. Для RC - цепи где UCчаст- частное решение неоднородного дифференциального уравнения; UCo- общее решение однородного уравнения.

12. Частные решения Для нахождения частных решений неоднородных ДУ подставим в исходные уравнения значение t = ∞ . Тогда получим: E=iч·Rили iч=E/R - для цепи RL UCчаст= E - для цепи RC

13. Решение однородных уравнений

14. имеют следующий вид:

15. Общее решение неоднородных уравнений

16. Определение постоянных интегрирования при t=0 i(0)=0; UC(0)=0, тогда можно записать следующие уравнения:

17. и определить постоянные интегрирования, а именно:

18. Определение корней характеристических уравнений Для RL – цепи характеристическое уравнение имеет вид:

19. а для RС - цепи

20. В итоге временные зависимости тока в RL – цепи и напряжения в RC - цепи при коммутации их на источник постоянного напряжения можно представить в виде:

21. Изменения тока вRL- цепи

22. Изменение напряжения в RC - цепи

23. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка В качестве моделей, описываемых ДУ 2-го порядка, можно рассмотреть нагруженные RLC-фильтры низких и высоких частот, а также двигатель постоянного тока независимого возбуждения, являющегося основным исполнительным элементом ЭМС постоянного тока.

24. Фильтр низких частот Ненагруженный RLC-фильтр представляет собой последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. В зависимости от того, с какого элемента (индуктивности или емкости) будет сниматься напряжение в качестве выходного, фильтр может пропускать высокие или низкие частоты.

25. Схема коммутации фильтра низких частот (ФНЧ)

26. Вывод уравнений Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФНЧ 2-го порядка:

27. Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа Учитывая, что данная СДУ запишется в виде:

29. Приведение системы уравнений Запишем СДУ в нормальной форме Коши:

30. В матричном виде:

31. Здесь -матрица коэффициентов перед переменными состояния;

32. вектор свободных членов СДУ; • вектор переменных состояния.

33. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения Одним из основных электромеханических преобразователей энергии в регулируемом электрическом приводе является двигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ). Рассмотрим схему подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения U.

34. Схема двигателя

35. Схема замещения Для двигателя с магнитоэлектрическом возбуждением схема замещения якорной цепи имеет следующий вид:

36. При составлении математической модели ДПТ НВ примем следующие допущения. Считаем, что реакция якоря полностью скомпенсирована (в реальном ДПТ всегда есть компенсационная обмотка либо добавочные полюса), поток возбуждения постоянен, а активное сопротивление якорной цепи не изменяется во время работы двигателя.

37. Уравнения электрического равновесия Запишем дифференциальное уравнение электрического равновесия якорной цепи двигателя

38. где Rдв– суммарное активное сопротивление последовательно включенных обмотки якоря и добавочных полюсов в горячем состоянии (при t = 750C ); Lдв– суммарная индуктивность якорной цепи; Eдв(t) – противо-ЭДС двигателя; U ⋅1(t) – напряжение, приложенное к якорной цепи; i(t) – ток в цепи обмотки якоря.

39. Уравнение механического равновесия Уравнение механического равновесия двигателя имеет вид: где M(t)-электромагнитный момент ДПТ НВ; MC⋅1(t)– момент сопротивления нагрузки; Jдв– суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя; ω(t) – скорость двигателя.

40. Учитывая, что c- коэффициент ЭДС и момента ДПТ НВ), запишем систему дифференциальных уравнений:

41. Приведем систему уравнений к нормальной форме Коши:

42. Запишем СДУ в матричном виде: Здесь

43. - матрица коэффициентов перед переменными состояния; • вектор свободных членов СДУ; • вектор переменных состояния

44. Из полученной математической модели ДПТ НВ видно, что переменными состояния в нем являются скорость вала и ток в якорной цепи. Эти переменные состояния соответственно связаны с массой вала и индуктивностью обмотки якоря, то есть с механической и электрической инерционностями двигателя.

45. Модель широтно-импульсного преобразователя Для регулирования скорости электроприводов постоянного тока очень часто используются широтно-импульсные преобразователи (ШИП). К основным достоинствам данного преобразователя относятся хорошие динамические свойства и линейность регулировочных характеристик. Принципиальная схема реверсивного ШИП имеет следующий вид:

46. Принципиальная схема

47. Для приближенного анализа динамики ШИП дискретную модель преобразователя можно заменить на непрерывную модель – апериодическое звено 1-го порядка. В этом случае динамическое состояние ШИП можно описать ДУ 1-го порядка:

48. где U (t) – входное напряжение управления ШИП; Ud(t)– выходноенапряжение ШИП; TПР– постоянная времени ШИП; k ПР– коэффициент передачи ШИП. Данное ДУ записано в стандартном для теории автоматического управления виде, то есть в левой части записаны функция выходной ко- ординаты и ее производная, а в правой части – все остальные слагаемые.

49. При этом коэффициент перед выходной координатой равен единице. В таком случае коэффициент перед первой производной выходной координаты TПРимеет размерность времени и является постоянной времени ШИП, а число перед входной координатой kПРпредставляет собой коэффициент передачи ШИП.

50. Постоянная времени Постоянную времени ШИП можно определить как половину периода частоты коммутации силовых ключей ШИП: