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第 2 章 泛代数和代数数据类型

第 2 章 泛代数和代数数据类型. 函数式程序设计语言 PCF 由三部分组成 代数数据类型：自然数类型和布尔类型 带函数和积等类型的纯类型化  演算 不动点算子 第 2 章到第 4 章对 这三 部分进行透彻的研究 本章研究像自然数类型和布尔类型这样的代数数据类型. 2 .1 引 言. 代数数据类型 包括 一个或多个值集 一组在这些集合上的函数 基本限制是其函数不能有函数变元 基本“类型”( type ) 符号被称为“类别” ( sort ) 泛代数（也叫做等式逻辑） 定义和研究代数数据类型的一般数学框架

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第 2 章 泛代数和代数数据类型

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  1. 第2章 泛代数和代数数据类型 • 函数式程序设计语言PCF由三部分组成 • 代数数据类型：自然数类型和布尔类型 • 带函数和积等类型的纯类型化演算 • 不动点算子 • 第2章到第4章对这三部分进行透彻的研究 • 本章研究像自然数类型和布尔类型这样的代数数据类型

  2. 2.1 引 言 • 代数数据类型包括 • 一个或多个值集 • 一组在这些集合上的函数 • 基本限制是其函数不能有函数变元 • 基本“类型”(type)符号被称为“类别” (sort) • 泛代数（也叫做等式逻辑） • 定义和研究代数数据类型的一般数学框架 • 本章研究泛代数和它在程序设计中定义常用数据类型时的作用

  3. 2.1 引 言 • 本章主要内容： • 代数项和它们在多类别代数中的解释 • 等式规范（也叫代数规范）和等式证明系统 • 等式证明系统的可靠性和完备性（公理语义和指称语义的等价） • 代数之间的同态关系和初始代数 • 数据类型的代数理论 • 从代数规范导出的重写规则（操作语义） 包括了大多数逻辑系统中的一些公共议题

  4. 2.2代数、基调和项 2.2.1 代数 • 代数 • 一个或多个集合，叫做载体 • 一组特征元素和一阶函数，也叫做代数函数 f : A1  …AkA • 例：NN, 0, 1, +,  • 载体N是自然数集合 • 特征元素0, 1N，也叫做零元函数 • 函数+, : N N  N

  5. 2.2代数、基调和项 • 多个载体的例子 • APCFN, B, 0, 1, …, +, true, false, Eq ?, … • 下面逐步给出代数的一种语法描述，有穷的语法表示在计算机科学中十分重要，可用来 • 定义数据类型 • 证明数据类型的性质 • 还必须讨论这种语法描述的指称语义 • 满足一组等式的除了APCF外，可能还有： A5PCF N5, B, 0, 1, 2, 3, 4, +5, true, false, Eq ?, …

  6. 2.2代数、基调和项 2.2.2代数项的语法 • 基调S，F • S是一个集合，其元素叫做类别 • 函数符号f : s1 … sks的集合F ，其中表达式s1 … sks叫做f 的类型 • 零元函数符号叫做常量符号 • 例: NS，F sorts : nat fctns : 0, 1 : nat ,  : nat nat nat

  7. 2.2代数、基调和项 • 项 • 定义基调的目的是用于写代数项 • 项中可能有变量，因此需假定一个无穷的符号集合V，其元素称为变量 • 类别指派x1 : s1, …, xk : sk • 基调S，F和类别指派上类别s的代数项集合Termss (, )定义如下： 1、如果x : s  ，那么x  Termss (, ) 2、如果f : s1 …  sk s并且Mi Terms (, ) (i  1, …, k)，那么f M1 … Mk  Termss (, ) 当k  0时，如果f : s，那么f Termss (, ) si

  8. 2.2代数、基调和项 • 项的例子 • 0, 0  1 Termsnat (N, ) • 0  x  Termsnat (N, )，其中   x : nat, … • 代数项中无约束变元 • NxM就是简单地把M中x的每个出现都用N代替 • 记号 , x : s     x : s • 引理2.1 • 若MTermss(, , x : s)且NTermss(, )，那么NxMTermss (, ) • 证明 按Termss(, )中项的结构进行归纳

  9. 2.2代数、基调和项 • 例 用基调stk  S, F来写自然数和自然数栈表达式 sorts : nat, stack fctns : 0, 1, 2, … : nat ,  : nat  nat  nat empty : stack push : nat  stack  stack pop : stack  stack top : stack  nat • push 2 (push 1 (push 0 empty) )是该基调的项

  10. 2.2代数、基调和项 2.2.3 代数以及项在代数中的解释 • 基调的代数是为代数项提供含义的数学结构 • 是一个基调，则代数A包含 • 对每个s  S，正好有一个载体As • 一个解释映射I 把函数I(f ): A  …  A As 指派给函数符号 f : s1  …  sk s  F 把I(f )  As指派给常量符号f : s F • N代数N 写成 N N,0N,1N,N,N s1 sk

  11. 2.2代数、基调和项 • 代数A的环境 •  : V  sAs • 环境 满足 • 如果对每个x : s  都有(x)As • M  Termss(, )的含义AM是 • Ax  (x) • AM  fA(AM1, …, AMk) • 若f : s是常量符号，则Af   fA 若A清楚时，省略A而直接写成M 不依赖于时，用AM表示M在A中的含义

  12. 2.2代数、基调和项 • 例 若(x) 0N x  1  N(x, 1)  N((x), 1N)  N(0N, 1N)  1N

  13. 2.2代数、基调和项 • 例 Astk N, N, 0A, 1A, …, A, A, emptyA, pushA, popA, topA emptyA , 空序列 pushA(n, s)  n :: s popA(n :: s)  s popA()   topA(n :: s)  n topA()  0A 若把x:nat映射到自然数3，把s:stack映射到2, 1  pop(push x s)   popA(pushA(x ,  s ) )  popA(pushA(3, 2, 1 ) )  popA( 3, 2, 1 )  2, 1

  14. 2.2代数、基调和项 • 引理2.2 令A是代数，MTermss(, )，并且是满足 的环境，那么M  As 证明 根据Termss(, )中项的结构进行归纳 • 引理2.3 令x1, …, xk是由出现在MTermss(, )中的所有 变量构成的变量表，1和2是满足的两个环境, 并 且对i1, …, k有1(xi) 2(xi), 那么M1 M2 证明 基于项结构的归纳

  15. 2.2代数、基调和项 2.2.4 代换引理 • 引理2.4 令MTermss(, , x:s)并且N Termss(, )，那 么NxMTermss(, )。并且对任何环境，有  NxM   M (x  a)， 其中a  N，它是N在下的含义 证明 根据项M的结构进行归纳

  16. 2.3等式、可靠性和完备性 • 代数规范 一个基调 + 一组等式 • 调查什么样的代数满足这些等式强加的要求 • 使用等式证明系统可推导的新的等式 • 可靠性：从规范可证明的等式在任何满足该规范的代数中都成立 • 完备性：在满足规范的所有代数中都成立的等式都可从该规范证明 • 代数规范是描述代数数据类型公理语义的工具

  17. 2.3等式、可靠性和完备性 2.3.1 等式 公式 M  N ，对某个s，M, N  Termss (, ) • 若满足，并且还有M  N，则认为代数A在环境下满足M  N ，写成 A, M  N  • 若A在任何环境下都满足该等式，则写成 AM  N  • 若代数类C中的任何代数A都满足该等式，写成 CM  N  • 若任何一个代数都满足等式M  N ，则写成  M  N (永真的、有效的 )

  18. 2.3等式、可靠性和完备性 • 平凡的代数 若A满足上所有等式，就说代数A是平凡的 • 例 • 令有两个类别a和b，令A是一个代数，其中Aa{0,1}并且Ab • A不可能满足x  y [x : a, y : a]，即下式不成立 A x  y [x : a, y : a] • 但是A x  y [x : a, y : a, z : b]无意义地成立

  19. 2.3等式、可靠性和完备性 2.3.2项代数 • 项代数Terms(, ) • 类别s的载体：集合Termss(, ) • 函数符号f : s1  …  sk s的解释 I (f ) (M1, …, Mk)  f M1 … Mk • 项代数Terms(, )的环境也叫做一个代换 • 如果S是代换，则用SM表示同时把M中的各个变量x用Sx替换的结果 • 因此用M表示把代换作用于M的结果

  20. 2.3等式、可靠性和完备性 • 例 • 类别u • 函数符号f : u  u和g : u  u  u •   {a : u, b : u, c : u} • Tu a, b, c, fa, fb, fc, gaa, gab, gac, gbb, …, g (f (fa)) (f(gbc)), … } • 若环境把变量x映射到a，把y映射到f b，则 T g(f x) (f y)   g(fa) (f (f b))

  21. 2.3等式、可靠性和完备性 • 引理2.5 令MTerms(, )，并且是满足的项代数 Terms(, )的环境，那么M   M 证明 对项进行归纳证明 • 从项代数可以知道，只有M和N是语法上相同的项时，等式M  N 才会永真

  22. 2.3等式、可靠性和完备性 2.3.3 语义蕴涵和等式证明系统 • 代数规范Spec  , E : 基调和一组等式E • 语义蕴涵：E M  N  • 满足E的所有代数A都满足等式M  N  • 语义理论E： • 如果E M  N 蕴涵M  N   E • 代数A的理论Th(A) • 在A中成立的所有等式的集合 • 这是一个语义理论

  23. 2.3等式、可靠性和完备性 • 回顾 • 证明系统的可靠性 若等式E从一组假设E可证，则E语义上蕴涵E • 证明系统的完备性 若E 语义上蕴涵等式E，则E从E可证 • 下一步 • 先给出代数证明系统，然后讨论可靠性和完备性

  24. M = N  N = M  M = N  N = P  M = P  M = N  M = N , x : s M = N , x : s P = Q  P/xM = Q/xN  2.3等式、可靠性和完备性 1、语义相等是个等价关系，因此有 M  M  2、在等式中增加类别指派的规则 3、等价代换 x不在中 P , Q Termss(, )

  25. 2.3等式、可靠性和完备性 • 等式可证 若从E中的等式和公理(ref)及推理规则(sym)、 (trans)、(subst) 和(add var) 可推出等式M  N ， 则说该等式可证，写成 E M  N  • 语法理论 如果EM  N 蕴涵 M  N  E • E的语法理论Th(E) 从E可证的所有等式的集合

  26. 2.3等式、可靠性和完备性 • 等式集合E是语义一致的 若存在某个等式M  N ，它不是E的语义蕴涵 • 等式集合E是语法一致的 若存在某个等式M  N ，它不能由E证明

  27. 2.3等式、可靠性和完备性 top(push x s ) = x [s : stack, x : nat] empty = empty [x : nat] top(push x empty ) = x [x : nat] 3 = 3 [ ] top(push 3 empty ) = 3 [ ] • 例 • 在基调stk  S, F上增加等式 top (push x s ) = x [s : stack, x : nat] pop (push x s ) = s [s : stack, x : nat] • 使用这些等式可以证明等式 top (push 3 empty ) = 3

  28. 2.3等式、可靠性和完备性 M = N  N = P  P = Q  M = Q  M1= N1 …Mk= Nk f M1… Mk = f N1… Nk  M = N , x : s M = N  si • 导出规则 f : s1  …  sk  s Mi, NiTerms (, ) M和N中没有x, Termss(, )非空

  29. 2.3等式、可靠性和完备性 • 定理2.6（可靠性） 如果E M  N ，那么E M  N  证明 可以根据该证明的长度进行归纳 • 归纳基础：长度为1的证明，它是公理或E的一个等式 • 归纳假设：M  N 的最后一步是从E1, …, En得到，那么，若AE，则A满足E1, …, En • 要证明：若A满足最后一条规则的这些前提，则A满足M  N  • 证明 根据证明规则的集合，分情况进行分析

  30. 2.3等式、可靠性和完备性 • 命题2.7 存在代数理论E和不含x的项M和N，使得 E M =N , x : s，但是EM =N  证明 • 令基调有类别a和b，函数符号f : a  b和c, d : b • 令E是包含能从f x =c [x : a]和f x =d [x : a]证明的所有等式 • 显然c =d [x : a] E • 可以找到一个使等式c = d []不成立的模型 a和b对应的分别是空集和多于2个元素的集合 • 由可靠性，c =d []是不可能从E证明的

  31. 2.3等式、可靠性和完备性 • 例 • 栈代数规范 sorts : nat, stack fctns : 0, 1, 2, … : nat +,  : nat  nat  nat empty : stackpush: nat  stack  stack pop : stack  stacktop : stack  nat eqns : [ s : stack; x : nat] 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, … 0  0 = 0, 0  1 = 0, … top (push x s ) = x pop (push x s ) = s

  32. 2.3等式、可靠性和完备性 • 等式 push (top s) (pop s) = s [s : stack] 是不可证的 • 任何形式为 top empty = M [] 的等式都是不可证的，若M是类别为nat的项，并且 不含empty

  33. 2.3等式、可靠性和完备性 2.3.4 完备性的形式 用于不同逻辑系统的三种不同形式的完备性 1、最弱的形式 所有的永真公式都是可证的 2、演绎完备性 每个语义蕴涵在证明系统中都是可推导的 3、最小模型完备性 • 每个语法理论都是某个“最小”模型的语义理论 • 对代数来说，最小模型完备性意味着每个语法理论是某个代数A的Th(A) • “最小模型”是指它的理论包含的等式最少

  34. 2.3等式、可靠性和完备性 • 最小模型完备性不一定成立 考虑等式 E x = y [ x : a, y : a, z : b ] 1、a的载体只含一个元素，则E满足，此时 E1x = y [ x : a, y : a ] 成立 2、b的载体为空，则E也满足，此时 E2z = w [ z : b, w : b ] 成立  E1和E2都不是E的语义蕴涵  不存在代数，其理论正好就是由E的等式推论 组成的语法理论

  35. 2.3等式、可靠性和完备性 2.3.5 同余、商和演绎完备性 • 同余关系：等价关系加上同余性 • 同余性：指函数保可证明的相等性 • 对单类代数A = A, f1A, f2A, … 同余关系是载体A上的等价关系，使得对每个k元函数fA，若aibi(i=1,…, k)，即ai和bi等价，则fA(a1, …, ak )  fA(b1, …, bk ) • 对多类代数A = As,I 同余关系是一簇等价关系  s, s  AsAs，使得对每个f : s1 … sks及变元序列a1, …, ak和b1, …, bk(ai s bi  As),有fA(a1, …, ak ) s fA(b1, …, bk ) i i

  36. 2.3等式、可靠性和完备性 • A模的商的代数A 把A中有关系元素a  a 压缩成A的一个元素 • 等价类[a] [a]  a  As a  a  • 商代数A定义： • (A)s是由As的所有等价类构成的集合 Ass  as  a  As} • 函数fA由A的函数fA确定 对适当载体的a1,…, ak， fA ([a1], …, [ak]) = [fA(a1, …, ak)]

  37. 2.3等式、可靠性和完备性 • 上面定义有意义的条件是 • fA([a1], …, [ak])必须只依赖于[a1], …, [ak]，而不能依赖于所选的代表a1, …, ak • 例 单类别代数N，0，1，上的同余关系“模k等价” • 这个商代数是众所周知的整数模k的加结构。如果k等于5，那么3  4  2

  38. 2.3等式、可靠性和完备性 • 如果是A的一个环境，是一个同余关系，那么A的环境 定义如下：  (x) = [(x)] • 反过来，对于A的环境，对应它的A的环境有多种选择 • 引理2.8 令是代数A上的同余关系，项MTerms(, ) 并且是满足的环境。那么项M在商代数A和环 境下的含义(A)M由下式决定 (A )M = AM

  39. 2.3等式、可靠性和完备性 • 引理2.9 令E是一组等式集合，令Terms(, )是基调上 的项集。由E的可证明性确定的关系E, 是Terms(, )上的同余关系 • 定理2.10（ 完备性） 如果E M  N ，那么E M  N  • 完备性定理加上可靠性定理表明语法理论和语义理论相同

  40. 2.3等式、可靠性和完备性 M = N , x : s M = N  2.3.6 非空类别和最小模型性质 • 没有空载体的代数有最小模型完备性 • 类别s非空：集合Termss(, )不是空集 • 对应的载体肯定非空 • 没有空载体时，可以增加推理规则(nonempty) • 定理2.11 令E是封闭于规则（nonempty）的语法理论，那 么存在所有的载体都非空的代数A，使得ETh(A)

  41. 2.4 同态和初始性 1 k 2.4.1 同态和同构 将同态和同构概念从单类代数推广到多类代数 • 同态是从一个代数到另一个代数的保结构的映射 • 从代数A到B的同态h : A  B • 一簇映射h = {hs| s  S }，使得对的每个函数符号f : s1  …  sk  s，有 hs(f A(a1, …, ak) ) = f B(hs(a1), …, hs(ak) )

  42. 2.4 同态和初始性 • 例 令N = N, 0, 1,  ，是模k的等价关系,则把nN 映射到它的等价类[n]是从N到N的一个同态， 因为 h(0) = 0N = [0] h(n + m) = h(n) Nh(m) = [n + m] • 任何代数到它商代数的同态都用这种方式定义

  43. 2.4 同态和初始性 • 例 含义函数是从项代数T= Terms(, )到任意代数 A的一个同态h :T A。如果是A的一个满足 的环境，该同态的定义是 h(M) = AM • 这是一个同态，因为 h (f M1 … Mk ) = Af M1 … Mk = fA(AM1,…, AMk) = fA(h (M1), …, h (Mk) )

  44. 2.4 同态和初始性 • 引理2.13 令h :AB是任意同态，并且是满足类别指派 的任意A环境。那么对任何项MTerms(, )，有 h(AM) = BMh 当M中不含变量时，h(AM) =BM • 证明 基于项的归纳 • 引理2.14 如果h :AB和k :B C都是代数的同态，那么 合成kh :AC也是代数的同态， (k h)s = kshs • 同构 一个双射的同态, 写成A  B

  45. 2.4 同态和初始性 B1 A B2 B3 2.4.2 初始代数 • C是一类代数并且AC，若对每个BC，存在唯一的同态h : AB，则A在C中叫做初始代数 • 初始代数是“典型”的 • 初始代数有尽可能少的非空载体 • 初始代数满足尽可能少的闭等式

  46. 2.4 同态和初始性 • 例 基调0 • 类别nat， • 函数符号0 : nat和S : nat  nat • 令C是所有0代数构成的代数类 • 闭项代数T  Terms(0, )是C的初始代数 它的载体是所有闭项0, S(0), …, Sk(0), … 该代数的函数S把Sk(0)映射到Sk1(0) 该代数的元素少到能解释所有的函数符号 该代数满足项之间尽可能少的等式

  47. 2.4 同态和初始性 • 引理2.15 假定h : AB和k : BA都是同态，并且 h  k = IdB，k  h = IdA。那么A和B同构 • 命题2.16 若A和B在代数类C中都是初始代数，则A和B同构 • 命题2.17 令E是一组等式，且令A=Terms(, )E, 是模 可证明的相等性的代数，则A对E来说是初始代数 • 由项代数和商的性质可知，从E可证明的等式在A中都成立 • 还要证明从A到任何满足E的代数有唯一的同态

  48. 2.4 同态和初始性 • 例 sorts:nat fctns: 0 : natS : nat  nat  : nat  nat  nat； eqns： [x : nat, y : nat] x + 0 = x x + (Sy) = S(x + y) 可以证明如下事实： • Sk0 + Sl0 = Sk + l0 • 对任何闭项M，存在某个自然数k，使得M = Sk0

  49. 2.4 同态和初始性 • 例x + 0 = x x + (Sy) = S (x + y) 可以证明如下事实： • 等式Sk0 = Sl0是不可证的，除非k = l • 每个等价类正好包含一个形式为Sk0的项 • 等价类集和形式为Sk0的项集间有一个双射 • 若把闭项集合{0, S0, …, Sk0, …}作为载体，函数S映射Sk0 Sk＋10，映射(Sk0, Sl0) Sk＋l0，则得一个初始代数 • 这个初始代数和该基调的标准模型（有后继算子和加法的自然数）同构

  50. 2.4 同态和初始性 • 初始代数和其他代数的比较 1、和有更多元素的代数比较 • 多余的元素不能由项定义（有垃圾） 例1：整数代数Z 例2： A = Anat, 0A, SA, +A Anat = (0  N)  ({1}  Z) 0A = 0, 0 SAi, n = i, n +1 i, n +Aj, m = max(i, j), n+m

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