SIMMETRIE IN FISICA

1. SIMMETRIA DINAMICA LEGGE DI CONSERVAZIONE SIMMETRIE IN NATURA SIMMETRIE IN FISICA Le SIMMETRIE hanno un ruolo importantissimo nello sviluppo delle ultime teorie della FISICA. Un nuovo orizzonte si apre con il teorema di Amalie EmmyNOETHER (1918): Il rapporto tra leggi di consevazione in fisica e le simmetrie dinamiche ha basimatematichemolto precise e tutto è dimostrabilematematicamente congrande precisione.L’interpretazione fisica è spesso complessa,nel seguito si cerca di mostrare queste relazionicon scarso ausilio della matematica. P. Dalpiaz Università di Ferrara

2. Per rotazione la simmetria è continua Per rotazione la simmetria è discreta IDEA GEOMETRICA DI SIMMETRIA: Al termine della trasformazione la descrizione del sistema sfera o cubo è la stessa P. Dalpiaz Università di Ferrara

3. Trasformazione O,O’ O’ fenomeno dinamico O IDEA DI SIMMETRIA DINAMICA Se, a un tempo fissato, si effettua una trasformazione di coordinate. v Può succedere che una GRANDEZZA FISICA (impulso, energia, ecc.) oppure una EQUAZIONE DEL MOTO non cambia per effetto della trasformazione di coordinate In questo caso diremo che la GRANDEZZA FISICA o L’EQUAZIONE DEL MOTO è INVARIANTE La TRASFORMAZIONE è SIMMETRICA P. Dalpiaz Università di Ferrara

4. F2 (x2,v2,t2) F(x1,v1,t1)=F(x2,v2,t2) F1 (x1,v1,t1) si dice che F si CONSERVA. LEGGE DI CONSERVAZIONE IN FISICA Se una grandezza fisica F, come per esempio: l’energia, l’impulso, il momento angolare, la carica elettrica, ecc. resta costante durante l’evoluzione temporale o spa- ziale, lungo una traiettoria : L’individuazione di leggi di conservazione di grandezze fisiche è sempre stato uno dei modi per costruire la Fisica. P. Dalpiaz Università di Ferrara

5. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA In assenza di attrito il pendolo semplice continuerà ad oscil- lare con ampiezza costante. La sua energia cinetica si tras- formerà continuamente in energia potenziale e viceversa in modo che Ec+Ep=Et Nel corso del tempo osservatori che misurano in istanti diversi portano alla stessa descrizione del moto () La dinamica è allora INVARIANTE per TRASLAZIONI TEMPORALI il TEMPO è OMOGENEO CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA OMOGENEITÀ DEL TEMPO La forza di attrito rompe la simmetria temporale, infatti le osservazioni in tempi diversi t0 e t0+dt, mostrano ampiezze, periodi ed angoli diversi, quindi in questo caso l’energia non si conserva. P. Dalpiaz Università di Ferrara

6. O INVARIANZA DELLA II LEGGE DI NEWTON PER DIVERSI OSSERVATORI INERZIALI O’ Trasformazione di Galileo La massa, l’accelerazione e la forza non variano se osservate da due sistemi di riferimento inerziali (abedue in moto rettilineo uniforme). Quindi, la II legge della dinamica è invariante per trasformate di Galileo. Nel caso di moto accelerato, in caduta libera sulla Terraoppure percorrendo una curva, la simmetria si rompe per intervento della forza di gravità o di quella centrifuga e lo sperimentatore trova delle variazioni per le leggi della dinamica. Si può dire che le leggi della dinamica non sono invarianti per sistemi non inerziali. P. Dalpiaz Università di Ferrara

7. CONSERVAZIONE DEL IMPULSO Un corpo di massa m in uno spazio Euclideo vuoto non subisce l’azione di forze. Quindi tutti i punti dello spazio sono equivalenti, cioè tutti gli osserva- tori traslati leggono la stessa fisica (simmetria): SPAZIO VUOTO ASSENZA DI INTERAZIONI Legge di Newton SIMMETRIA PER TRASLAZIONI L’IMPULSO SI CONSERVA P. Dalpiaz Università di Ferrara

8. m diventa ROTTURA DI SIMMETRIA Se il corpo cade in un campo di forze gravitazionali, l’invarianza traslazionale è rotta lungo la linea di caduta: per un osservatore traslato, che vede una forza diversa, non si conserva l’impulso. Solo per l’osservatore che cade insieme al corpo si ripristina la simmetria ed in quel caso si conserva l’impulso. Si dice che nelle stazioni orbitanti intorno alla terra la gravità è nulla, questo è vero ed è dovuto al fatto che il satellite è in perpetua caduta sulla terra (Newton), oppure che laforza centrifuga compensa la forza di gravità. P. Dalpiaz Università di Ferrara

9. La caduta libera è abbastanza ben simulata sulla terra nelle montagne russe, infatti quando il trenino precipita si ha la brutta sensazione che lo stomaco si alzi: Ciò è dovutoal fatto che lo stomaco e gli organi interni nella nostra vita abituale sulla superficie della terra tendono a cadere ed i nostri muscoli sono abituati a sostenerli. In caduta libera gli organi non pesano più, i muscoli continuano a spingere e quindi li alzano veramente, con le conseguenti spiacevoli sensazioni. È facile immaginare le sensazioni, non tutte piacevoli che gli astronauti subiscono nei loro voli spaziali, e la necessità, quindi, di pesanti allenamenti. P. Dalpiaz Università di Ferrara

10. Sole Terra CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE La legge di gravitazione universale ha una evidente SIMMETRIA SFERICA Tutti i punti alla distanza subiscono la stessa attrazione, Quindi siamo in presenza di una nuova SIMMETRIA la SIMMETRIA di ROTAZIONE Il momento angolare dato che dato che Quindi il momento angolare è costante CONSERVAZIONE DEL MOMENTOANGOLARE SIMMETRIA DI ROTAZIONE P. Dalpiaz Università di Ferrara

11. Tutti gli osservatori che differiscono per una rotazione attribuiscono una stessa interazione Terra-Sole e con- cordano sulla conservazione del momento angolare L. Nel nostro esempio la legge di gravitazione è il legame tra la simmetria e la legge di conservazione, nel caso di un solido rotante il tramite è la forza di coesione. Nel primo caso i corpi per inerzia tenderebbero a proseguire per la tangente ma la forza di gravità li obbliga a ruotare. Nei corpi rigidi: le diverse parti dei corpi tenderebbero sempre per inerzia a proseguire per la tangente, ma la forza di coesione li obbliga a ruotare. P. Dalpiaz Università di Ferrara

12. ELETTROMAGNETISMO EQUAZIONI DI MAXWELL: 4 equazioni differenziali che legano le azioni dei campi elettrici E e magnetici B alle coordinate spaziali x, y,z, e al tempo t. Teorema di Gauss Leggi di laplace legge di Faraday Teorema di Ampère modificato da Maxwell I campi E e B in questa teoria sono entità fisiche reali come le sostanze. Valgono nello spazio senza l’ausilio di sostanze. Sono valide anche per valori infinitesimi. Queste equazioni, risolte nel vuoto, predicono l’esis- tenza di onde traversali che si propagano con la velocita della luce c, in- dipenenti dalla sorgente che le ha prodotte. Una variazione traversale di E induce una variazione di B perpendicolare e viceverrsa. P. Dalpiaz Università di Ferrara

13. L’elettromagnetismo è invariante per osservatori inerziali? +Q +q f = qE v=cost. +q F = q(E + v x B) F ed f sono diverse dato che l’osservatore solidale con la carica +Qvede solo un campo elettrico E mentre l’ossevatore a terra vede il campo elettrico E e il campo magnetico B. Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per traformate di Galileo.Vale a dire che i valori di E e B assumono valori differenti per osservatori inerziali, cioè in moto rettilineo ed uniforme uno rispetto all’altro. P. Dalpiaz Università di Ferrara

14. -1905 A.Einsteinpubblica Zur Elektrodynamik bewegter Korper dove espone quella che diventerà la toria della RELATIVITÀ RISTRETTA, che si basa sui seguenti principi: 1- La velocità della luce, nel vuoto, è la stessa in tutti i sistemi di coor- dinate in moto uniforme gli uni relativamente agli altri (inerziali). 2- Tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti i sistemi inerziali. Il probema si riduceva alla ricerca delle trasformate tra sistemi di coor- dinate inerziali che soddisfi i principi di relatività. Einstein dedusse da questi principi delle trsformate che già Lorentz aveva usato per risolvere alcuni problemi di elettromagnetismo: Il tempotè trattato come la IV coordinata spaziale e quindi non era più assoluto. Generalizzò in questo spazio quadridimensionale i campi elet- trici e magnetici E e B nei potenziali vettori Ai già introdotti da Lorentz ed altri e trasformato le equazioni di Maxwell in un unica equazione Ai= -μ0ji con (i = 1, 2, 3, 4) = invariante per sistemi inerziali rispetto alle trasformate di Lorentz. L’etere in questa teoria è superfluo per cui tutti i sistemi di coordinate inerziali sono equivalenti. L’etere viene sostituito con i campi elettro- magnetici di Faraday e Maxwell, che prendevano una consistenza reale analoga a quella delle sostanze. P. Dalpiaz Università di Ferrara

15. Evidentemente per , le trasformate Di Lorentz diventano quelle di Galileo, e quindi a velocità lontane da quelle della luce la meccanica classica è validissima. A velocità vicine a c ? TEORIA DELLA RELATIVITÀ Contrazione delle lunghezze Dilatazione dei tempi Un impulso di luce è emesso nel centro di una stanza. Per l’uomo nella stanza la luce raggiunge le pareti nello stesso istante. Per l’uomo fermo la luce raggiunge le pareti in tempi diversi, per lui non c’è simultaneità. P. Dalpiaz Università di Ferrara

16. I mesoni si producono con i raggi cosmici nell’alta atmofera nella reazione . Fermati a terra i hanno una vita media di 2.10-6sec che alla velocità c percorrono al massimo 600m. Invece per arrivare a terra percorrono più di 20Km. Ciò è spiegato dalla relatività con il fatto che tra il sistema di riferimento del e quello di noi a terra c’è una contrazione delle distanze o un allungamento dei tempi. La massa non è più un invariante, dipende dalla velocità. con v = c, m diventa infinita. e P. Dalpiaz Università di Ferrara UNA VERA RIVOLUZIONE

17. TEORIA RELATIVISTICA DELLA GRAVITAZIONE. RELATIVITÀ GENERALE (RG) Il famoso esperimento della caduta dei gravi, eseguito da Galileo è rimasto per secoli senza una vera spiegazione fisica. Se in un razzo in accelerazione, nello spaziosenza gravità, un osservatore la- scia liberialcuni oggetti, questi rimango- no fermimentre lui accelera perchè ancorato alsuolo del razzo. Il pavimento raggiungerà tutti gli oggetti allo stesso tempo. L’osservatore all’interno del razzo vedra cadere gli og- getti verso il pavimento, alla stessa velocità, nello stesso modo in cui Galileo vide cadere gli oggetti dalla torre. Albert Einstein vide una forte analogia tra i due esperimenti. Vide cioè una simmetria tra il moto accelerato e la forza di gravità. -1916 A.Einstein pubblica Die Grundlagen der algemeinen Relativitàtstheorie dove espone una teoria completa dell’accelerazione e della gravitazione. In questo articolo matema- ticamente molto complesso, fa vedere che in un esperimento in un razzo accelerato la luce ha una traiettoria curva ma difficile da misurare perchè, su 3m, si sposta al massimo delle dimensioni di un nucleo 10-12cm Per verificare la teoria e l’equivalenza tra gravità ed accelerazione, suggerì di verificare la curvatura della luce provocata dalla gravità, lente gravitazionale, osservando una stella dietro al sole, in un eclisse totale di sole. L’esperimento è stato fatto da una spedizione inglese nel oceano Atlantico di fronte all’Africa nel 1919. Il successo della misura confermò l’equivalenza tra accelerazione e gravità. P. Dalpiaz Università di Ferrara

18. CURVATURA DELLO SPAZIO Mentre per noi non è difficile compredere se una superficie è curva, dato che pos- siamo ossevarla dall’esterno, non è ovvio compredere il concetto di spazio curvo in tre dimensioni dato che, per noi, non è possibile vederlo dall’esterno. Il modo mi-gliore per discutere le proprietà dello spazio curvo e di rifarsi ad una analogia con esseri immaginari a due dimensioni che vivono su una superficie ed ignorano una altra dimensione perpendicolare alla loro superficie. Come potrebbero essi dire se la superficie sulla quale vivono è piana, sferica o di qualsivoglia altra forma? Potrebbero disegnare dei triangoli o delle altre figure, sulla superficie, e misurare gli angoli. Nella figura si vedono una superficie piana, una sferica ed una iperbolica. Sulle superfici sono disegnati dei grandi triangli, per quella piana la somma degli angoli sarà di 180o, per la sferica sarà >180o e per l’iperbolica (sella) sarà <180o. Se nel nostro caso tre astronomi si collocano su Marte, Venere e Terra e tringolano. Dato che la luce viene deviata dal Sole troveranno che lo spazio intorno al Sole è sferico. Se ripetono l’esperimento tra Giove, Saturno ed Urano tro- veranno che lo spazio è si sferico ma molto più debolmente dato che la gravità del Sole devierà molto meno la luce che nel primo caso. Se osserviamo dall’alto una palla da bigliardo che rotola su una superficie piana con degli av- vallamenti, vedremo la palla accellerare e dece- lerare in loro presenza. Penseremo che la palla sia sottoposta a forze e non ad una questione geometrica. Anche in questo caso le forze. ha una analogia con la geometria P. Dalpiaz Università di Ferrara

19. Sulla base delle precedenti considerazioni Einstein formulò una teoria secondo la quale tutte le interazioni gravitazionali potrebbero essere inter- pretate come il risultato della curvatura dello spazio. Utilizzò la geometria degli spazi curvi a n dimensioni elaborata qualche decennio prima da Riemann e la matematica dei tensori elaborata da Levi Civita. Lo spazio utilizzato da Einstein era a quattro dimensioni x, y, z e ict. Correlando il così detto “tensore di curvatura” del continuo spazio-tempo con la distri- buzione dei movimenti e delle masse ottenne la famosa formula: dalla quale ottenne le leggi della gravita- zione di Newton, ma con una piccola discrepanza nel moto dei pianeti: Infatti Newton aveva dimostrato che secondo la sua legge di gravità, i pianeti percorrono orbite elittiche attorno al sole in pieno accordo con le leggi empiriche scoperte da Keplero. Nella teoria di Einstein tutti i movimenti vanno studiati in uno spazio quadridimensionale (x, y, z, ict), che se sono presenti campi gravitazio- nali è uno spazio curvo. In figura sono rappresentate le linee che illustrano la storia del movimento di un pianeta nel mondo a 3-D (x, y e t). Devono essere geodetiche, cioè le più brevi, e sono calcolabili con la RG. Il continuo spazio temporale nelle vicinanze del Sole è curvato e la linea universale del pianeta corrispondente della retta (geodetica) nello spazio curvo. La linea ABCD rappresenta la minima distanza tra A e D nel continuo spazio tempo a 3-D e la sua proiezione sul piano (x,y) è l’orbita del pia- neta intorno al Sole.Un esame rigoroso ha rive- lato che l’elisse non è stazionaria nello spazio ma ruota lentamente spostando il suo asse mag- giore di un picolissimo angolo nel corso di una rivoluzione. Questo effetto è stato trovato nel orbita di Mecurio, dato che la sua orbita è molto elittica e si trova molto vicina al Sole. La teoria della RG dopo 200 anni ha innovato le teorie gravitazionali di Newton. Tutti i tentativi fatti da Einstein e da altri per geometrizzare il campo elettromagnetico e gli altri campi sono falliti. P. Dalpiaz Università di Ferrara

20. CONSERVAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA La conservazione della carica elettrica è legata alla SIMMETRIA DI GAUGE LOCALE. Questa simmetria ha un nome astruso ma rappresenta anche un concetto molto astratto e non evidente. Infatti si tratta della simmetria del valore della fase delle onde di materia definite nella meccanica quantistica derivate dall’Equazione di Schrodinger. La fase di queste onde può variare localmente in modo casuale, facendo perdere coerenza alle onde di materia. L’esistenza del campo elettromagnetico ripristina la fase globalmente. La conseguenza più evidente di questa simmetria è la conservazione della carica elettrica. CONSERVAZIONEDELLA CARICAELETTRICA SIMMETRIA DI GAUGE LOCALE -1923 H.Weyl propose che lo spazio abbia una simmetria di gauge locale e che questo implicasse la conservazione della carica (Einstein demolì l’idea). -1927 F.London riprese l’idea di Weyl e dimostrò che la teoria di gauge locale doveva essere applicata alla fase delle onde di materia dell’equa- zione di Schrodinger e non allo spazio e fu una proposta fruttuosa. P. Dalpiaz Università di Ferrara

21. La Simmetria di Gauge (misura) può essere esemplificata con un esempio di economia: Un oggetto che ha un valore intrinseco che tradotto in moneta è di 1936.27L quando entra in funzione il nuovo sistema Monetario costerà 1euro, la misura cambia ma il suo valore identico. L’esempio la Simmetria di Gauge locale: Se consideriamo ora un mercato globale possiamo pensare che i prezzi della merce per svariate ragioni possano variare localmente in modo casuale. Ma sappiamo che la forza della legge di Mercato intempi relativamente brevi li riporta all’equilibrio. Ecco che abbiamo avuto una violazione locale della simmetria che è stata ripristinata dalla forza globale del Mercato. Analogamente la fase delle onde di materia di Schrodinger può variare localmente, ma la forza del campo elettromagnetico ristabilisce l’equilibrio. Possiamo affermare che tutti i fenomeni elettromagnetici sono originati per riequilibrare le violazioni locali della simmetria di fase delle onde di materia di Schrodinger. I campi delle interazioni Deboli e Forti hanno un ruolo simile a quello Elettromagnetico. Possiamo dire, metaforicamente, che i campi Elettrodeboli e Forti fungono da lucchetti della stabilità della materia. P. Dalpiaz Università di Ferrara

22. z Cambiamento di segno delle coordinate spaziali y x x y z CONSERVAZIONE DELL PARITÀ Nella riflessione speculare si invertono le coordinate (x,y) e non la coordinata z (alto basso) In natura sono numerosi gli esempi di assimmatria spaziale. In biologia le molecole organiche sono tutte di un tipo (sinistrose). La nostra faccia è sim- metrica le mani non lo sono. Nel mondo microscopico la simmetria è perfetta per le interazioni gravitazionali, elettromagnetiche e per quelle forti. Al punto che la simmetria spazi- ale fa corrispondere un numero quantico di parità che deve consevarsi nelle interazioni. Ogni parti- cella ha una parità positiva o negativa ed il prodot- to per ogni membro di una reazione deve essere identico altrimenti la parità non si conserva e la reazione non può avvenire. -1956 T.D.Lee e C.N.Yang propongono che la parità sia violata per le in- terazioni deboli. In numerosi esperimenti con interazioni deboli C.S.Wu, L.Ledermann ed altri hanno dimostrato che effettivamente la parità è violata nelle interazioni deboli. Fu una grande sorpresa. P. Dalpiaz Università di Ferrara