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离散型随机变量 的期望与方差 ( 二 )

离散型随机变量 的期望与方差 ( 二 ). 2. 离散型随机变量的期望 : E ξ =. 一 : 复习 :. 1. 离散型随机变量的分布列. 3. 期望的运算性质 :E(a ξ +b)=aE ξ +b. 4. 若 ξ∽ B(n,p), 有 E ξ =np. 5. 期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平. 二 : 引入 :. 1. 初中所学的一组数据的方差的定义. 2. 数据的方差说明了这组数据的波动情况.

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离散型随机变量 的期望与方差 ( 二 )

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Presentation Transcript

  1. 离散型随机变量 的期望与方差(二)

  2. 2.离散型随机变量的期望: Eξ= 一:复习: 1.离散型随机变量的分布列. 3.期望的运算性质:E(aξ+b)=aEξ+b. 4.若ξ∽B(n,p),有Eξ=np. 5.期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平. 二:引入: 1.初中所学的一组数据的方差的定义. 2.数据的方差说明了这组数据的波动情况.

  3. 设离散型随机变量ξ可能取的值为 ，ξ取每一个值 (i＝1，2，…)的概率P(ξ＝ ，则称Dξ= 为随机变量ξ的均方差,简称为方差. Dξ的算术平方根 叫随机变量ξ的标准差,记作σξ. 1、D(aξ+b)= Dξ. 3、 三:离散型随机变量的方差: 方差与标准差都反映了随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.其中标准差与随机变量有相同的单位. 方差计算的性质: 2、如果ξ∽B(n,p)，那么Dξ=npq，其中q=1-p.

  4. 四:例题选讲 例1、已知离散型随机变量ξ，η的概率分布如下，试求这两个随机变量的期望、方差与标准差。 答案：直接利用公式求解即得：Eξ=4,Dξ=4,σξ=2; Eη=4,Dη=0.04,ση=0.2.

  5. 练习、随机变量ξ的分布为P(ξ=k)=pk(1-p)1-k (0<p<1,k=0,1)，则Eξ=,Dξ=。 解：∵P(ξ=k)=pk(1-p)1-k(0<p<1,k=0,1) ∴P(ξ=0)=p0(1-p)1-0=1-p P(ξ=1)=p1(1-p)0=p ∴Eξ=0×(1-p)+1×p=p Dξ=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p(1-p)

  6. 例2、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η分布列为例2、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η分布列为 求：（I）a,b的值。 （II）计算ξ,η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况。 解;（I）由离散型随机变量的分布列性质可知,a+0.1+0.6=1，∴a=0.3.同理0.3+b+0.3=1，b=0.4.

  7. (II)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3;同理：Eη=2，Dξ=0.81，Dη=0.6. 由计算结果知，Eξ>Eη说明在一次射击中的平均得分甲比乙高，但Dξ>Dη说明甲得分的稳定性不如乙，因而甲，乙两个人技术都不够全面。 说明：在实际问题中，若有两个随机变量ξ和η，且Eξ=Eη或Eξ和Eη比较接近时，我们常用Dξ与Dη来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明ξ较为离散，反之则表明ξ较为集中。

  8. 例3：每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止练习，否则一直试投到4次为止。已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列,例3：每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止练习，否则一直试投到4次为止。已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列, 并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留3位有效数字）。 Dξ= 解:ξ的取值为1、2、3、4。 ξ=1，表示第一次即投中，故P(ξ=1)=0.7; ξ=2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ=2)=(1-0.7)• 0.7=0.21. ξ=3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ=3)=(1-0.7)•(1-0.7)•0.7=0.063. 特别的,P(ξ=4)=(1-0.7)•(1-0.7)•(1-0.7)=0.027. 所以ξ的分布列为： Eξ=1•0.7+2•0.21+3•0.063+4•0.027=1.417,

  9. 解：设来领奖的人数ξ=k,(k=0,1,2,…,3000),则P(ξ=k)= , 例4：某寻呼台共有3000客户，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%，问：寻呼台能否向每一位客户都发出邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？ 可见，ξ∽B(3000,0.04), 所以，Eξ=3000•0.04=120>100. 故，不能都发出邀请，至少准备120份礼品。

  10. 小结: 3、D(aξ+b)= Dξ.(a,b为常数). 1、方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度. 2、方差的算术平方根叫标准差，标准差与随机变量有相同的单位，较之方差使用起来更方便. 4、对于ξ∽B(n,p)有:Dξ=npq.这里q=1-p. 5、期望与方差是离散型随机变量重要的特征数.离散型随机变量的分布列直观地反映了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些数量特点,这就需要特征数----期望与方差来反映. 作业:习题1.2 6,7,8

  11. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是______________．（用数字作答）．

  12. A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分。设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布 （2）求Eξ、Eη。

  13. 例5:一个口袋中放有若干个球,每个球上标有1~n中间 的一个整数,设标有数k的球有k个,现从中任取一球,ξ 为取的球上所标数字,求ξ的分布列、Eξ及Dξ. 解:共有1+2+…+n=n(n+1)/2个球,取到k号的概率为P(ξ=k)=2k/[n(n+1)](k=1,2,…,n).此即为ξ的分布列.

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