سلام

1. t

2. سلام

3. طراحی الگوریتم ارائه دهنده: میلاد صفری Milad.safari95@yahoo.com اسفندماه۱۳۹۱

4. اعداد صحیح روی محاسباتی اعمال بزرگ

5. منظور از اعداد صحیح بزرگ اعدادی هستند که سخت افزار کامپیوتر قادر به نمایش انها نیست. تغییر حالت به ممیز شناور نیز در صورتی که بخواهیم تمام ارقام معنی دار در نتیجه کار حفظ شود ارزشی ندارد. تنها راه باقی مانده برای نمایش این اعداد و در نتیجه انجام محاسبات روی انها استفاده از نرم افزار و دستکاری این اعداد است. الگوریتم استفاده شده برای انجام محاسبات روی این اعداد،برای اعداد در پایه ی 10 است ولی این روش را برای هر پایه ی دیگری نیز می توان به کار بست.

6. نمایش اعداد صحیح بزرگ •••••••••••••••••••••••••••••••••• یک راه صریح برای نشان دادن یک عدد صحیح ،استفاده از یک ارایه از اعداد صحیح است که هر محل از آن یک رقم را نگهداری می کند. Exp: 543127 S[1]=7, s[2]=2, s[3]=1, s[4]=3, s[5]=4, s[6]=5 برای نگهداری اعداد مثبت یا منفی کافیست بالاترین محل ارایه را برای علامت عدد رزرو کنیم،که اگر 1 در آن محل قرار گیرد عدد منفی و اگر0 قرار گیرد عدد مثبت است. از نوع داده ی large_integerاستفاده می کنیم تا آرایه ای را که نشان می دهیم به قدر کافی بزرگ باشد که اعداد مورد نظر ما را در آن بگنجد.

7. برخی از دستورهای استفاده شده در الگوریتم 1) u* 2) u divide 3) u rem

8. ضرب اعداد صحیح بزرگ الگوریتمی که در اینجا ارائه می شود مبتنی بر روش تقسیم و حل است. بدین صورت که یک عدد صحیح nرقمی را به دو عدد صحیح با حدود n/2 رقم تقسیم می کنیم. Exp: 567832=567*+832 6 3 3

9. به طور کلی اگر nتعداد ارقام صحیح u باشد،آن را به دو عدد صحیح که یکی دارای رقم است و دیگری دارای رقم است تبدیل می کنیم: u=x* n به این ترتیب،نمای mعبارت است از: m=

10. اگر دو عدد صحیح n رقمی داشته باشیم: u=* v=w* حاصل ضرب آنها طبق رابطه ی زیر بدست می آید: uv=(*)*(w*)=xw*+(xz+wy)*+yz در اینصورت می توانیم uوv را با چهار عمل ضرب روی اعداد صحیح و با حدود نیمی از ارقام در هم ضرب کنیم.مثال زیر مفهوم را بهتر نشان می دهد: 567832*9423723=(567*+832)(9423*+723)= 567*9423*+(567*723+9423*832)*+832*723 سپس این اعداد کوچک را می توان با تقسیم آنها به اعداد کوچکتر، در هم ضرب کرد. این فرایند انقدر ادامه می یابد تا به یک مقدار استانه برسیم که در ان زمان عمل ضرب به طریق استاندارد انجام می شود.

11. اگر چه متد بعد را با استفاده از اعداد صحیحی نشان می دهیم که تعداد ارقام انها تقریبا یکی است اما در غیر اینصورت نیز قابل استفاده است.(به این نکته به دقت توجه کنید) کافیست ازm=برای تبدیل هر دو عدد استفاده کنیم،که در آن mتعداد ارقام موجود در عدد بزرگتر است. الگوریتمی که ارائه می دهیم تا زمانی ادامه می یابد که یکی از اعداد صحیح صفر شود یا به یک مقدار استانه برای عدد صحیح بزرگتر برسیم که در آن عمل ضرب با استفاده از سخت افزار کامپیوتر(روش معمول) انجام شود.

12. الگوریتم ضرب اعداد صحیح بزرگورودی ها: اعداد صحیح بزرگ uوvخروجی ها : prod، حاصل ضرب uوv larg_integer prod(larg_integer u,larg_integer v) { larg_integerx,y,w,z; intn,m; n=maximum(number of digits in u,number of digits v) if(u==0 v==0) return 0; else if(n<=threshold) return u*v obtained in the usual way; else{ m=; x=u divide ; y=u rem ; w=v divide ; z=v rem ; return prod(x,w)*+(prod(x,z)+prod(w,y))*+prod(y,z); } }

13. تحلیل پیچیدگی زمانی در بدترین حالت برای الگوریتم زمان لازم برای ضرب دو عدد صحیح n رقمی را تحلیل می کنیم. عمل اصلی: دستکاری یک رقم دهدهی در یک عدد صحیح بزرگ 1) u* 2) u divide 3) u rem هر یک از سه دستور بالا، عمل اصلی را m بار انجام می دهد. اندازه ورودی:n تعداد ارقام ورودی هر یک از دو عدد صحیح

14. بدترین حالت زمانی است که هر دو عدد صحیح هیچ رقم مساوی صفر نداشته باشند، زیرا بازگشتی فقط زمانی پایان می یابد که به مقدار استانه ای برسیم. تحلیل این حالت: فرض کنید nتوانی از دو باشد. در این صورت x,y,z,w همگی دقیقا n/2 رقم دارند،یعنی اندازه ورودی هر یک از چهار فراخوانی بازگشتی به تابعprod، n/2 است. چون m=n/2 است، دستورات: 1) u* 2) u divide 3) u rem همگی دارای پیچیدگی زمانی خطی نسبت به n هستند.حداکثر اندازه ورودی برای دستورات بالا یکسان نیست بنابراین تعیین زمان پیچیدگی برای الگوریتم براحتی امکان پذیر نیست.

15. نکته راه حل: راه بسیار ساده این است که همه ی عملیات زمانی خطی را در یک جمله ی cn دسته بندی کنیم که c یک عدد ثابت است. اگر به الگوریتم کمی دقت کنیم می بینیم که علاوه بر prod،و داریم که باید در تحلیل پیچیدگی در نظر گرفته شوند.

16. در این صورت دستور بازگشتی چنین خواهد بود: W(n)=4w(n/2)+cn n>s W(s)=0 مقدار واقعی s که در آن نمونه دیگر تقسیم نمی شود، کوچکتر یا مساوی مقدار استانه و توانی از 2 است. انگاه با توجه به قضیه ب-5 از پیوست دوم کتاب: T(n)=at(n/b)+c T(s)=d If a>t(n) € Θ()

17. بنابراین: W(n) Θ()=

18. بررسی یک مشکل •••••••••••••••••••••••••••••••••• راه حل الگوریتم ارائه شده هنوز هم از درجه ی 2 است. مشکل اینجاست که این الگوریتم عمل ضرب را روی اعداد صحیح با نیمی از ارقام اولیه انجام می دهد. اگر بتوانیم الگوریتمی ارائه دهیم که تعداد ضرب ها را کاهش دهد الگوریتمی بهتر از حالت درجه دوم بدست میآوریم.

19. تابع prod باید موارد زیر را تعیین کند: Xw,xz+yw,yz واین کار را با چهار بار فراخوانی تابع prod برای محاسبه ی موارد زیر انجام می دهد: Xw,xz,yw,yz اگر به جای ان قرار دهیم : r=(x+y)(w+z)=xw+(xz+yw)+yz در اینصورت خواهیم داشت: xz+yw=r-xw-yz

20. در نتیجه داریم: r=(x+y)(w+z),xw,yz یعنی سه عمل ضرب و چند عمل جمع و تفریق اضافه که که زمان انها خطی است.

21. Large_integer prod2(Large_integer u, Large_integer v) { Large_integerx,y,w,z,r,p,q; intn,m; n=maximum(number of digits in u,number of digits v) if(u==0 v==0) return 0; else if(n<=threshold) return u*v obtained in the usual way; else{ m=; x=u divide ; y=u rem ; w=v divide ; z=v rem ; r=prod2(x+y,w+z); p=prod2(x,w); q=prod2(y,z); return p*+(r-p-q)*+q; } } الگوریتم ضرب اعداد صحیح بزرگ 2ورودی ها:اعداد صحیح بزرگ uوvخروجی ها:prod،حاصل ضرب uوv

22. تحلیل پیچیدگی زمانی در بدترین حالت برای الگوریتم تمامی توضیحات داده شده در الگوریتم قبل در اینجا نیز صادق است به جز دو مورد: n/2=<اندازه ورودی<=(n/2)+1 تعداد دفعات فراخوانی تابع prod2 نیز 3 بار است. پس بنابراین: 3w(n/2)+cn <= w(n) <= 3w((n/2)+1)+cn w(s)=0

23. باز هم مانند الگوریتم قبل با این تفاوت که تابع بازگشتی سه با فراخوانی شده : W(n) € Θ()=Θ() که از الگوریتم قبل بهتر است.

24. در آخر از استاد بیدکی و همة ي دوستان که وقتشان را در اختیار من قرار دادند تشکر می نمایم.

25. سوال؟؟