第五章 静定平面桁架

1. 第五章 静定平面桁架 • 桁架的特点和组成 • 结点法和截面法 • 零杆判定 • 两种方法的联合应用 • 组合结构的计算

2. §5.1 概述 桁架是由梁演变而来的 

3. FN FN 桁架基本假定: ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ 1.结点都是光滑 的铰结点 2.各杆都是直杆且 通过铰 的中心 3.荷载和支座反力 都作用在结点上。 计算简图 各杆只 受轴力,称其为理想 桁架。 上弦 斜杆 竖杆 上下弦杆承 受梁中的弯矩, 下弦 腹杆(竖杆和 斜杆)承受梁中的剪力。 由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力。 

4. 桁架的分类: 按几何组成可分为以下三种 1、简单桁架 ——由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加 二元体所组成的桁架 2、联合桁架——由简单桁架按 几何不变体系组成法则所组 成的桁架。 

5. 3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。 

6. A • 1、结点法 §5.2 结点法、截面法 取单结点为分离体， 其受力图为一平面汇交力系。 它有两个独 立的平衡方程。 为了避免解联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始计算。 FN Fy Fx 对于简单桁架，可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。 L A Ly Lx FN/L=Fx/Lx= Fy /Ly 斜杆轴力与其分力的关系 

7. 5 7 3 4m 1 8 2 4 6 40kN 60kN 80kN 3m×4=12m 7 90 75 15 100 75 8 75 100 -90 -90 例 试求桁架各杆内力 60 30 75 15 0 解： 1 、整体平衡求反力 ∑Fx=0 FH=0 ∑ M8＝0 Fy1=80kN ∑ Fy=0 Fy8=100kN ＋ － － ＋ 40 40 50 80 100 20 25 100 80 125 60 60 75 75 FH =0 Fy1=80kN Fy8=100kN Fy13 =－80， ∑ Fy=0 2、求内力 FN35 FN23 结点2 N24 由比例关系得 结点3 -60 Fy13 Fx34 FN13 校核 60kN Fx13 =－80× 3 /4 =－60kN 40kN Fx13 1 ∑Fx=0 40 FN13 FN24=60kN -80 FN34 FN12 Fy34 =－80× 5 /4 =－100kN ∑ Fy =0 FN23=40kN ∑ Fy=0 Fy34 =80-40=40kN 80kN FN34 Fx34 =40×3/4=30kN = 40×5/4=50kN = 60kN ∑ Fx=0 FN12 ∑Fx=0 FN35 = -60- Fx34 = -90kN 依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。 

8. E FN3 FN1=FN2 F FN1 FN2=FN1 FN3 F N4 G β β FN1=0 FN1=0 C H D FN3=0 FN2 FN1 FN2=－FN1 α FN2=F FN2=0 F B FN4=FN3 F A （注意：这些特性仅用于桁架结点） 特殊结点的力学特性 例：求图示结构各杆内力。 FNBC 解：先找出零杆 α 由B点平衡可得 FNBA F ∑Fy=0, F+FNBAsinα=0 FNBA=－F/sinα ∑Fx =0, FNBC+FNBAcos α =0 FNBC =Fctg α 

9. 对称性的利用 P P 2 1 D P P 1 P P P P P 1 P/2 P/2 P P 一、对称荷载作用下内力呈对称分布。 • 对称轴上的K型结点无外力作用时， • 其两斜杆轴力为零。 对称性要求： N1=N2 （注意：该特性仅用于桁架结点） N1=－N2 由D点的竖向平衡要求 所以 N1=N2=0 二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。 1 • 与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零 杆1受力反对称 • 与对称轴重合的杆轴力为零。 N =0 N =0 

10. ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ q q 

11. FN3 FN1=FN2 FN1 FN2=FN1 FN3 FN4 β β FN1=0 FN1=0 FN3=0 FN2 FN1 FN2=－FN1 FN2=0 FN2=F F FN4=FN3 1、桁架的基本假定：1）.结点都是光滑的铰结点；2）各杆 都是直杆且通过铰 的中心；3）荷载和支座反力都 用在结点上。 温故而知新 2、结点法：取单结点为分离体，得一平面汇交力系，有两个独 立的平衡方程。 3、截面法：取含两个或两个以上结点的部分为分离体，得一平 面任意力系，有三个独立的平衡方程。 4、特殊结点的力学特性 ： 5、对称结构在对称荷载作用下 对称轴上的K型结点无外力作 用时， 其两斜杆轴力为零。 （注意：4、5、仅用于桁架结点） 6、对称结构在反对称荷载作用下内力 • 与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零 • 与对称轴重合的杆轴力为零。 

12. 1 C 2 h A 3 D F F 6a FN1 F F C h FN2 D FN3 F F 2a a 2、截面法 取桁架中包含两个或 两个以上结点的部分为 分离体,其受力图为一平 面任意力系,可建立三个 独立的平衡方程。 例：求指定三杆的内力 解：取截面以左为分离体 得 由 ∑ MD=2aF+FN1h=0 FN1=－2Fa/h 由 ∑ MC=3aF－Fa－FN3h=0 得 =2Fa/h FN3 得 Fy2=0 ∴ FN2=0 由 ∑ Fy= Fy2+F－F=0 截面法可用来求指定杆件的内力。 对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影 列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。 

13. Ⅰ Ⅰ C Fx2 Fy2 2m 1m F/2 Fx3 Fy3 4m 2m D F 例: 1 2 1m 2m 3 2m×6=12m FN1 将它们去掉 【解】：先找出零杆， 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 F 得 N1=－F FN2 ∑MD=0, 3FN1+F/2×6=0 ∑MC=0, 2Fx3－F/2×2=0 得 Fx3=F/2 FN3 FN3/4.12=Fx3/4, ∴FN3 =0.52F ∑Fx=0, FN1+Fx2+Fx3=0 ∴ Fx2=F/2, FN2/5=Fx2/4, ∴F N2=5F/8 

14. ⅠⅠ FN1 FN2 FN3 联合桁架先用截面法求出三个联系 杆件内力，再用结点法求其它各杆 轴力 如图示结构取ⅠⅠ以内为分离体， 　对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得三力全为 零。 　本题也直接可用力学概念判定三杆轴力为零。 　由三力平衡汇交定理知， 该三力不相交而使物体平衡， 它们必为零。 　或由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。 

15. FN1 O 截面法中的特殊情况 当所作截面截断三根以上的杆件 时： 如除了杆1外，其余各杆均交于一点O 则对O点列矩方程可求出杆1轴力 　　如除了杆1外，其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆1轴 力。 1 1 VA 

16. E E 3d a Fxa C C A B A Ⅰ Ⅰ FNa F F 3d Fya F å = + = M F 2 d Fya 3 d 0 × × A 2 5 5 = - Fya F = = - FN Fya F 3 a 2 3 B 

17. §5.3 结点法和截面法的联合应用 单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了寻找有效的解题途径，必须综合应用结点法和截面法。那就是要注意： ①选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标； ②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少。 ③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。 

18. F E Na N D N N N b a Nb P β N N N N N F E Na N d d D 2d 2d d 例：求 a、b 杆轴力 解：1、由内部X形结点知： 位于同一斜线上的腹杆内力 相等。 2、由周边上的K形结点 知各腹杆内力值相等，但正 负号交替变化。所有右上斜 杆同号（设为N），所有右 下斜杆同号（设为－N）。 3、取图示分离体： 4、取DEF为分离体 5、取分离体如图 

19. F F/2 F F F/2 Ⅱ Ⅰ 5 1 4 3m 3 5 2 6 6 3m 1 4 2 3 Ⅱ Ⅰ 4m 4m 4m 4m 2P 2P 2P 2F 2P 2P 2P 2P 2F 2P F/2 F FN1 F/2 F 5 5 FN1 4 FN2 FN5 FN3 6 FN4 FN6 1 FN4 1 2 2 2F 2F F FN1 FN7 FN5 FN3 FN2 求指定杆的轴力。 7 先求出反力。 1、弦杆 FN4= F FN1= －F, 2、斜杆 ∵结点6为K型结点。 ∴FN6=－FN5 再由∑Fy=0 得Fy5－ Fy6+2F－F －F/2=0 ∴ Fy6=F/4 , Fy6/3=FN6/5 ∴ FN6=5F/12 ∑M2=FN1×6+（2F－F/2）×4=0 FN1= －F ∑M5=FN4×6 － （2F－F/2）×4=0 FN4= F 3、竖杆 取结点7为分离体。由对称性:FN3=FN5 由∑ Fy =0 得： Fy5+ Fy3+ F+FN2=0 ∴FN2=－F/2 

20. a b 3 1 l l 2 1 A B c 3 2 l l 2l 2l x F/3 F/3 5F/3 FNa FNa 2F FNc x F/3 5F/3 x FNb FNc 求图示桁架指定杆轴力。 解：①整体平衡得： ② 1-1截面以上 5F/3 ② 2-2截面以下 ③ 3-3截面以右

21. a l l b c A B a a FNa 0 0 0 2l l l 2l b b FNb 0 x 0 0 c c A A B B D FNc FNa=－F P F F F 2F a F F F P F b F A c B F

22. a l l b c A B a a 0 0 5 F 2l l l 2l = + = - ' " FNa F FN F b Na a Na 3 b x 0 0 = + = 0 ' " c A F F F F B FNa= －2F/3 Nb Nb Nb c A B F F P F 2F = + = ' " D F F F F FNc a 2F/3 NC NC NC P F F F 3 b 2F/3 A c B F 2F/3 2F/3 对称情况下： 反对称情况下： 0

23. 1 5m 2 1 A C D 2 B E F F F 2 2×3m 4×4m 1 FN1 F F FNCE C 求图示桁架指定杆轴力。 解： ①找出零杆如图示； ②由D点 ③1-1以左 0 0 0 0 0 0 ④2-2以下

24. 钢筋混凝土 角钢 房屋中的屋架 吊车梁 桥梁的承重结构 • 组合结构由链杆和梁式杆组成。常用于 §5-4 组合结构的计算 下撑式五角形屋架 计算组合结构时应注意： ①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； ②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； ③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力； ④取分离体时，尽量不截断梁式杆。 

25. F F F A C 1 2 对称结构受对称荷载作用 2F/3 B D A C 链杆是两端是铰、中间不 受力、也无连结的直杆。 梁式杆 FNAB= × ① FN1=FN2=0 ② FN1=－FN2 ③ FN1≠FN2 ④ FN1=FN2≠0 × FNCD = 0 （ ） √ 

26. q=1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ f1=0.5m C F A f =1.2m f2=0.7m 6kN 6kN D E 3m 3m 3m 3m q=1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ α F C = + - - A FS ( 2 . 5 3 . 5 3 ) 0 . 996 15 0 . 084 × × F+ 15 = 1 . 74 kN 3.5 15 3.5 FNDE 15.4 = - + - - FN ( 2 . 5 3 . 5 3 ) 0 . 084 15 0 . 996 × × 6kN F+ D 2.5 = - 14.92 15 . 17 kN 0.75 1.25 1.74 － + － 1.24 － － + 0.75 1.75 15.17 15.13 14.97 M图(kN.m) FS图(kN) FN图(kN) ②求链杆的内力 解：①求反力 15 -3.5 + ③截面的剪力和轴力: FS=Fycosα－15sinα FN= －Fysinα －15cosα 其中Fy为截面以左所有竖向力的合力。 Sinα=0.084，cosα=0.996 3.5 15.4 15 15 ④作出 内力图 

27. f1=0，f2=1.2m 4.5 -15 C -6 16.16 E D 15 f1=0.5m， f2=0.7m 0.75 -15.08 0.75 f1=0.5m 0.75 C F -3.5 A 15 15.4 E D f =1.2m f =1.2m f2=0.7m f1=1.2m，f2=0 C -15.88 D E f =1.2m 0 15 D E 4.5 • 讨论:影响屋架内 • 力图的主要原因 • 有两个: • ①高跨比f/l • 高跨比越小轴力 • FNDE=MC0/ f • 越大屋架轴力也 • 越大。 ②f1与f2的关系 　当高度f确定 后，内力状态随 f1与f2的比例不 同而变。 　弦杆轴力变化 幅度不大，但上弦杆弯矩变化幅度很大。 

28. 结 束