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第四章 二元关系和函数

第四章 二元关系和函数. 本章主要内容 :. 集合的笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数. 关系的闭包. 定义 4.11 设 R 是非空集合 A 上的关系 ,R 的 自反闭包 ( 对称闭包或传递闭包 ) 是 A 上的关系 R’, 且 R’ 满足以下条件 : (1)R’ 是自反的 ( 对称的或传递的 ) ； (2)R  R’ ； (3) 对 A 上的任何包含 R 的自反关系 ( 对称或传递关系 )R” 都有 R’  R”.

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第四章 二元关系和函数

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  1. 第四章 二元关系和函数

  2. 本章主要内容: • 集合的笛卡尔积与二元关系 • 关系的运算 • 关系的性质 • 关系的闭包 • 等价关系和偏序关系 • 函数的定义和性质 • 函数的复合和反函数

  3. 关系的闭包 定义4.11 设R是非空集合A上的关系,R的自反闭包(对称闭包或传递闭包)是A上的关系R’,且R’满足以下条件: (1)R’是自反的(对称的或传递的)； (2)RR’； (3)对A上的任何包含R的自反关系(对称或传递关系)R”都有R’  R”. 一般将R的自反reflexive闭包记作r(R),对称symmetric闭包记作s(R),传递transitive闭包记作t(R)。

  4. 例4.10设A＝{a,b,c,d},R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},则R和r(R),s(R),t(R)的关系图如图4.6所示,例4.10设A＝{a,b,c,d},R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},则R和r(R),s(R),t(R)的关系图如图4.6所示,

  5. A上关系R的闭包 • 定理4.4设R为非空集合A上的关系,则有 (1)r(R)＝R∪R0； (2)s(R)＝R∪R-1； (3)t(R)=R∪R2∪R3∪… (4)A是含有n个元素的集合t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk , k≤n

  6. 例4.10设A＝{a,b,c,d},R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},则r(R),s(R),t(R)有例4.10设A＝{a,b,c,d},R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},则r(R),s(R),t(R)有 解: (1)r(R)＝R∪R0 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>.<b,b>,<c,c>,<d,d>} (2)s(R)＝R∪R-1 ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}∪{<b,a>,<a,b>,<c,b>,<d,c>} ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<c,b>,<d,c>} (3)t(R)=R∪R2∪R3∪… ={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}∪{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>} ∪{<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>} ={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>, <c,d>}

  7. 闭包的矩阵表示(定理4.4的公式转换成矩阵表示）闭包的矩阵表示(定理4.4的公式转换成矩阵表示） Mr＝M＋E Ms=M+M’ Mt=M+M2+M3+… 其中E表示同阶的单位矩阵(主对角线元素为1,其他元素都是0) M'表示M的转置,而+均表示矩阵中对应元素的逻辑加。

  8. 在例4.10中3个结果矩阵是:

  9. 4.5 等价关系和偏序关系 定义4.12设R为非空集合A上的关系,如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.对任何x,y∈A,如果<x,y)∈等价关系R,则记作x~y.

  10. 下面是一些等价关系的例子. (1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系,而朋友关系不一定是等价关系,因为它可能不是传递的.一般称这种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关系,但相容关系不一定是等价关系. (2)动物是按种属分类的；“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系. (3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系. (4)在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系,但直线间的平行关系不是等价关系,因为它不是自反的.

  11. 例4.11 A＝{1,2,…,8},R＝{<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)},其中x-y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除. R为A上的等价关系,它的关系图如下所示,其中1~4~7,2~5~8,3~6.

  12. 把模3的等价关系推广,对任何正整数n可以定义整数集合Z上模n的等价关系.把模3的等价关系推广,对任何正整数n可以定义整数集合Z上模n的等价关系. R＝｛<x,y>|x,y∈Z∧x≡y(mod n)} 例如,当n＝5时,整数之间的等价性满足: ···~－10~－5~0~5~10~…, …~－9~－4~1~6~11~… …~－8~－3~2~7~12~… ···~－7~－2~3~8~13~…, …~－6~－1~4~9~14~….

  13. 设R是非空集合A上的等价关系,则A上互相等价的元素构成了A的若干个子集,叫做等价类.设R是非空集合A上的等价关系,则A上互相等价的元素构成了A的若干个子集,叫做等价类. 定义4.13设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x∈A,令 称 为x关于R的等价类,简称为x等价类,简记为[x]. 在例4.11中有 [1]＝[4]＝[7]＝{1,4,7}, [2]＝[5]＝[8]＝{2,5,8}, [3]＝[6]= {3,6}.

  14. 等价类的性质. 定理4.5设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x,y∈A,下面的结论成立. (1) [x]≠,且[x]A； (2) 若xRy,则[x]=[y]； (3) 若xRy,则[x]∩[y]＝； (4) =A.

  15. 商集 定义4.14设R为非空集合A上的等价关系,以R的不交的等价类为元素的集合叫做A在R下的商集,记作A／R, A／R＝{ ｜x∈A}. 在例4.11中,A在R下的商集是 A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}} 例4.13 (1)非空集合A上的恒等关系 是A上的等价关系,对任意x∈A有[x]＝{x},商集A/ ={{x}|x∈A}.

  16. (2)在整数集合z上模n的等价关系,其等价类是 [0]＝{···,－2n, －n,0,n,2n,···}={nz|nz∈Z}＝nZ, [1]＝{···,－2n＋1,－n十1,1,n＋1,2n＋1,…} ={nz＋1｜z∈Z}＝nZ＋1 [2]＝{···,－2n＋2,－n＋2,2,n＋2,2n十2,…} ={nz＋2｜z∈Z}＝nZ＋2, ······ [n－1]＝{···,－2n＋n－1, －n＋n － 1,n－1,n＋n－1,···｝={nz+n －1｜zZ }=nZ+n －1. 商集为{[0],[1],…,[n－1]｝

  17. 划分 定义4.15设A是非空集合,如果存在一个A的子集族(P(A))满足以下条件 (1)； (2)中任意两个元素不交； (3)中所有元素的并集等于A, 则称为A的一个划分,且称中的元素为划分块.

  18. 例. 考虑集合A＝{a,b,c,d}的下列子集族 (1) {{a},{b,c},{d}}, (2) {{a,b,c,d}}, (3) {{a,b},{c},{a,d}}, (4) {,{a,b},{c,d}}, (5) {{a},{b,c}},

  19. 例4.15设A＝{1,2,3},求出A上所有的等价关系. 解: 先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有两个划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划分5,请看下图|

  20. 设对应于划分i的等价关系为Ri,i＝1,2,…,5.则有设对应于划分i的等价关系为Ri,i＝1,2,…,5.则有 R5＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>}＝ IA； R1＝{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}∪IA＝EA； R2＝{<2,3>,<3,2>}∪IA； . R3＝{<1,3>,<3,1>}∪IA； R4＝{<1,2>,<2,1>}∪IA.

  21. 偏序关系 定义4.1 设R为非空集合A上的关系,如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系.简称偏序,记作≤. 任何集合A上的恒等关系, 集合的幂集P(A)上的包含关系, 实数集上的小于等于关系, 正整数集上的整除关系都是偏序关系.

  22. 定义4.17一个集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集,记作<A,R>.定义4.17一个集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集,记作<A,R>. 定义4.18设<A,≤>为偏序集,对于任意的x,y∈A,如果x≤y或者y≤x成立,则称x与y是可比的,如果x＜y(即x≤y∧x≠y),且不存在zA使得x<z<y,则称y盖住x.

  23. 例如,<A,≤>是偏序集, 其中A＝{1,2,3,4,5}, ≤是整除关系. 那么,对任意x∈A都有1≤x,所以,1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的.对于1和2来说,1＜2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2盖住 1.同样,4盖住2,但4不盖住1,因为有1＜2＜4成立.显然,如果x与y不可比,则一定不会有x盖住y或y盖住x.

  24. 全序关系 • 定义4.19设<A,≤>为偏序集,若对任意的:x,y∈A,x和y都可比,则称≤为A上的全序关系,且称<A,≤>为全序集. 例如,{1,2,3,4,5}上的 小于等于关系 是全序关系, 而整除关系 不是全序关系.

  25. 例4.16画出<{1,2,…,12},R整除>和<P({a,b,c}), >的哈斯图. 解 :哈斯图如图4,9所示

  26. 例4.17设偏序集<A,≤>的哈斯图如图所示,求出集合A的偏序≤.例4.17设偏序集<A,≤>的哈斯图如图所示,求出集合A的偏序≤. 解 A＝{a,b,c,d,e, f, g, h>. ≤＝{<a,c>,<a,d>,<a,e>, <b,c>,<b,d>,<b,e>,<c,e>,<d,e>,<f,g>}∪ IA.

  27. 最大元,最小元,极大元,极小元 定义4.20设<A,≤>为偏序集,B  A. y是B的最小元:若y∈B,使得x(x∈B→y≤x) y是B的最大元:若y∈B,使得x(x∈B→x≤y) y是B的极小元:若y∈B,使得x(x∈B∧x＜y) y是B的极大元:若y∈B,使得x(x∈B∧y＜x)

  28. 上界,下界,上确界,下确界 定义4.21设<A,≤>为偏序集,BA. y是B的上界:若y∈A,使得x(x∈B→x≤y) y是B的下界:若y∈A,使得x(x∈B→y≤x) B的最小上界或上确界:令C＝{y|y为B的上界},则称C的最小元为上确界 B的最大下界或下确界:令D＝{y|y为B的下界},则称D的最大元为下确界

  29. 在图4.9中,如果B＝{2,3,6}, B的上界?最小上界? B的下界?最大下界? B的上界是6和12,最小上界是6,B的下界是1,最大下界也是1. 而在图4.10中,令B＝{c,d,e}, 问题同上。 则B的上界和最小上界都是e,B的下界为a,b,但B没有最大下界. 如果最小上界或最大下界存在,一定是唯一的.

  30. 4.6 函数的定义和性质 • 定义4.22设F为二元关系,若对任意的x∈domF都存在唯一的y∈ranF使得xFy成立,则称F为函数. 例如,如下关系 F1＝{<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y2>} 是函数 F2＝{<x1,y1 > ,<x1,y2 > ,<x2,y1> ,<x3,y2>｝ 不是函数, 因为对于x1domF有x1Fy1,x1Fy2同时成立.

  31. 如果<x,y>∈函数F,则记作 F(x)＝y,称y是F在x的函数值. 定义4.23设A,B是集合,如果函数f满足以下条件 (1)domf＝A, (2)ranfB, 则称f是从A到B的函数,记作f:A→B. 定义4.24设A,B为集合,所有从A到B的函数构成集合BA,读作“B上A”.即 BA ={f | f:A→B },

  32. 例2：设P是一个程序，输入输出都是整数，(m, n)∈fP意为输入m时程序运行输出n。则fP是一个函数。 • 例3：标识图是一个图，每个顶点或每条边或两者都带有标记。例如一个图的顶点代表一个城市，边代表两个城市之间的距离。设V是顶点集，L是标记集，则f：V→L是一个函数。用E作边集，g：E→L，也是一个函数。

  33. 例如A＝{0,1,2},B＝{a,b},则BA={f1,f2…,f8} f1＝{<0,a>,<1,a>,<2,a>}, f2＝{<0,a>, <1,a> ,<2,b>}, f3 ＝{<0,a>, <1,b> <2,c>} f4＝{<0,a>,<1,b>,<2,b>}, f5＝{<0,b> ,<1,a>,<2,a>}, f6＝{<0,b> <1,a>,<2,b>}, f7＝{<0,b> ,<1,b>,<2,a>}, f8={<0,b>, <1,b> ,<2,b>}. |A|=m,|B|=n,m,n不是0,|BA|=?

  34. 定义4.25设f:A→B,A’A,则A’在f下的象是 f(A’)＝{f(x)|x∈A’}＝f[A’], 当A’＝A时,称f(A’)=f(A)＝ranf是函数的象.

  35. 函数的性质 • 定义4.26设函数f:A→B. (1)若ranf＝B,则称f是满射的(或到上的) (2)若对于任何的x1, x2 ∈A, x1≠x2 ,都有 f (x1)≠f(x2 ),则称f是单射的(或一一的), (3)若f既是满射的,又是单射的,则称f是双射的(或一一到上的)

  36. 例如,函数f:{1,2}→{0},f(1)＝f(2)＝0, 那么f是满射的,但不是单射的. 函数f:N→N,f(x)＝2x 是单射的,但不是满射的,因为ranf不含有奇数,即ranfN. 而函数f:Z→Z,f(x)=x＋1 是双射的.

  37. 定理. 设A，B都是有限集，|A|=|B|, • f：A→B是一个函数,处处有定义。 • f一一f满。 • f满f一一。

  38. 例4.18分别确定以下各题中的f是否为从A到B的函数,并对其中的f:A→B指出它是否为单射、满射或双射的.如果不是,请说明理由. (1)A＝{1,2,3,4,5｝,B＝{6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}.

  39. (2) A＝{1,2,3,4,5｝,B＝{6,7,8,9,10}, f＝{<1,8> ,<3,10>,<2,6>, < 4,9>}. (3) A＝{1,2,3,4,5｝,B＝{6,7,8,9,10}, f＝{<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}.

  40. (3)A,B为实数集f(x)=x3 . (4)A,B为实数集 f(x)= (5)A,B为正整数集, f(x)＝x＋1.

  41. (6)A,B为正整数集

  42. (1)设:A→B,如果存在y∈B使得对所有的x∈A都有 f(x)＝y,则称f:A→B是常函数. (2)A上的恒等关系IA就是A上的恒等函数,对于所有的x∈A有IA(x)=x. (3)设f:R→R,对于任意的x1 ,x2 ∈R,如果x1＜x2则有f(x1)≤f(x2),称y为单调递增的.如果x1＜x2则有f(x1)＜f(x2),就称f为严格单调递增的.类似地也可以定义单调递减和严格单调递减的函数,它们统称为单调函数. (4)设A为集合,对于任意的A’A,A’的特征函数 :A→｛0,1}定义为

  43. (5)设R是A上的等价关系,定义一个从A到A/R的函数g:A → A/R且g(a)＝[a],它把A中的元素a映到a的等价类[a].我们称g是从A到商集A/R的自然映射. 例如, A＝{1,2,3},R＝{<1,2>,<2,1>}∪ IA, 则有 g(1)＝g(2)＝{1,2}, g(3)＝{3}.

  44. 4.7 函数的复合和反函数 定理⒋6设 F,G为函数,则F◦G也是函数,且满足以下条件: (1)dom(F◦G)＝{x｜x∈domG∧G(x)∈domF}, (2)对于任意的x∈dom(F◦G)有F◦G(x)=F(G(x)).

  45. 例如, G:R→R, G(x)＝x＋1, F:R+→R, F(x)＝lnx, 则有: domG=ranG=R, domF=R+ ,ranF＝R. F◦G是函数,但它的定义域不是整个实数集,只能是实数区间(－1,＋∞),且有 F◦G(x)=F(G(x))=ln(x＋1).

  46. 推论:设f:B→C，g:A→B,则f◦g:A→C,且对任意的x∈A有f◦g(x)＝f(g(x)).推论:设f:B→C，g:A→B,则f◦g:A→C,且对任意的x∈A有f◦g(x)＝f(g(x)). 定理4.7设f:B→C,g:A→B, (1)如果f,g是满射的,则f ◦ g:A→C也是满射的. (2)如果f,g是单射的,则f ◦ g:A→C也是单射的. (3)如果f,g是双射的,则f ◦ g:A→C也是双射的.

  47. 函数的逆 定理4.8设f:A→B是双射的,则f -1是函数,并且是从B到A的双射函数. 对双射函数f:A→B,称f -1 :B→A是f的反函数. 对任何双射函数f:A→B及其反函数f -1 :B→A,它们的复合函数都是恒等函数,且满足 f -1 ◦ f＝ IA, f◦f -1 = IB

  48. 例4.21设f,g,h RR,且有 f(x)＝x＋3, g(x)＝2x＋1, h(x)＝x/2. 求f◦g, g◦f, f◦f 解 所求的复合函数都是R到R的函数,且满足 f◦g(x)＝f(g(x))＝(2x＋1)＋3=2x＋4； g◦f(x)＝g(f(x))＝2(x＋3)＋1＝2x＋7； f◦f(x)=f(f(x))＝(x十3)十3＝x＋6；

  49. 例4.21设f,g,h RR,且有f(x)＝x＋3,g(x)＝2x＋1,h(x)＝x/2.求g ◦ g, h ◦ f, g ◦ h, f ◦ h, f ◦ h ◦ g g ◦ g(x)=g(g(x))＝2(2x＋1)＋1=4x＋3； h ◦ f(x)＝h(f(x))＝1/2(x+3)； g ◦ h(x)＝g(h(x))＝2·x/2＋1＝x＋⒈ f ◦ h(x)＝f(h(x))＝x/2＋3； f ◦ h ◦ g(x)＝f(h(g(x)))=(2x+1)/2＋3＝x＋7/2.

  50. 本章 重点 • 集合的笛卡尔积与二元关系 • 关系的运算 和关系的性质 • 关系的闭包 • 等价关系和偏序关系: 划分 • 函数的定义和性质及函数的复合和反函数 • 单射,满射,双射, • 特征函数,自然映射

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