Do ğ rusal Model

1. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU* Doğrusal Model Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir. *Bu konu Christopher Dougherty’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır. 1

2. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Yukarıda verilen model iki durum bakımından dorusaldır. Model değişkenler bakımından doğrusaldır. Ayrıca parametreler bakımından da doğrusaldır. 2

3. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametreler her bir terimde çarpımsal olarak yer almaktadır. 3

4. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişken ve parametre bakımından doğrusallık: Parametre bakımından doğrusal, değişken bakımından doğrusal olmama: İkinci model parametre bakımından doğrusalken, değişken bakımından doğrusal değildir. 4

5. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Bu modellerde bir sorun yoktur. Yeni değişkenler yukarıdaki gibi tanımlanabilir. 5

6. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu: Yapılan yüzeysel dönüşümler ile hem parametre hem de değişkenler doğrusal duruma getirilir. 6

7. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu: Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu: Parametre bakımından doğrusal olmama durumu: Üçüncü model katsayı bakımından doğrusal değildir. X4 değişkeninin katsayısı, X2 ve X3 değişkenleri katsayılarının çarpımıdır. Parametre bakımından doğrusal olmayan modeller uygun dönüşümler sayesinde doğrusallaştırılabilir. 7

8. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Muz Gelir (lbs) ($10,000) HanehalkıYX 1 1.71 1 2 6.88 2 3 8.25 3 4 9.52 4 5 9.81 5 6 11.43 6 7 11.09 7 8 10.87 8 9 12.15 9 10 10.94 10 Doğrusallaştırma için yukarıdaki örnek ile başlayalım. 10 hanehalkına ait yıllık muz tüketimi ve yıllık gelir bilgileri yukarıdaki gibidir. 8

9. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Verilerin dağılımı grafikte verilmiştir. 9

10. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU . reg Y X Source | SS df MS Number of obs = 10 ---------+------------------------------ F( 1, 8) = 17.44 Model | 58.8774834 1 58.8774834 Prob > F = 0.0031 Residual | 27.003764 8 3.3754705 R-squared = 0.6856 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6463 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = 1.8372 ------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- X | .8447878 .2022741 4.176 0.003 .378343 1.311233 _cons | 4.618667 1.255078 3.680 0.006 1.724453 7.512881 ------------------------------------------------------------------------------ Doğrusal modelin sonuçları çıktı olarak verilmiştir. Dağılma diyagramından görüldüğü gibi X’in katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. R2 değeri oldukça iyidir. 10

11. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Regresyon doğrusu çizildikten sonra dağılım diyagramı yukarıda yine verilmiştir. 11

12. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Grafiğe tahmin değerleri ve hata terimleri eklenmiştir. Hata terimleri modelin bazı bakımlardan yanlış belirlenmiş olabileceğini göstermektedir. 12

13. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X Eğer model doğru olarak belirlenmiş olsaydı hata terimleri tesadüfi olarak dağılacaktı. Bu durumda tesadüfi değildir. Negatif hata terimini altı tane pozitif hata terimi ve bunları da üç tane negatif hata terimi takip etmektedir. 13

14. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Yeniden düzenlenmiş model: Y değişkeninin ilişkisinin 1/X ile daha uygun olabilir. Eğer 2 < 0 ise, Y değişkeni X ile yine artacaktır, fakat artış oranı düşecektir. 14

15. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Gözden geçirilmiş model : Yukarıdaki model doğusal değildir. X değişkeninin tersi olarak bir Z değişkeni tanımlanırsa model doğrusal olabilecektir. 15

16. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU MuzGelir (lbs) ($10,000) Hanehalkı YXZ=1/X 1 1.71 1 1.00 2 6.88 2 0.50 3 8.25 3 0.33 4 9.52 4 0.25 5 9.81 5 0.20 6 11.43 6 0.17 7 11.09 7 0.14 8 10.87 8 0.13 9 12.15 9 0.11 10 10.94 10 0.10 Yeni adım Z değişkenini X değişkeni yardımı ile hesaplamaktır. Böylece eski değişkenlerden yeni değişkenler elde edilebilir. 16

17. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y Z Bu kez Y ve Z arasındaki dağılma diyagramı yukarıdaki gibidir. 17

18. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU . g Z=1/X . reg Y Z Source | SS df MS Number of obs = 10 ---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000 Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038 ------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331 ------------------------------------------------------------------------------ Yeni Z değişkeni ile elde edilen model çıktısı yukarıdadır. 18

19. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU . g Z=1/X . reg Y Z Source | SS df MS Number of obs = 10 ---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000 Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038 ------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331 ------------------------------------------------------------------------------ Regresyon modeli 19

20. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y Z Regresyon doğrusu ve verilerin dağılım diyagramı 20

21. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU Y X X değişkeninin tersini alarak Z değişkeninin yer alması ve elde edilen modelin orijinal veriler ile grafiği çizildiğinde daha uygun olduğu görülmektedir. 21

22. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Doğrusal olmayan regresyon modellerinin hata yapısını ele alalım. 1

23. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Doğrusal modellerde regresyon sonuçları istenilen özelliklere sahiptir. Dönüştürülen modelde hata terimi toplamsal olmalıdır ve Gauss-Markov şartlarını sağlamalıdır. 2

24. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Geleneksel testlerin gerçekleştirilebilmesi için, dönüştürülmüş model hata terimi normal dağılmalıdır. 3

25. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer orijinal modeldeki hata terimleri istenilen özelliklere sahip ise, doğrusal olmayan regresyon modelindeki hata terimleri de istenilen özelliklere sahiptir. Dönüşümden etkilenmemektedir. 4

26. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Log-log bir modelde hata terimi dışlansın. 5

27. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Bununla birlikte, dönüştürülmüş modelde hata teriminin toplamsal olduğu varsayılsın. 6

28. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Ancak orjinal modelde tesadüfi bileşen çarpımsaldır. eu. 7

29. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Orijinal modeldeki çarpımsal terimi v ile gösterelim. 8

30. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ u sıfıra eşit olduğunda, log Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. Aynı biçimde v 1’e eşit olduğunda ise Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. 9

31. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ 1 değerinden büyük olan v değerlerine karşılık gelen pozitif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde pozitif etkiye sahiptir. 0 ve 1 değerleri arasındaki v değerlerine karşılık gelen negatif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde negatif etkiye sahiptir. 10

32. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Ayrıca Gauss-Markov şartlarını sağlanması, t ve F testlerini gerçekleştirebilmek için u teriminin normal dağılması gerekmektedir. 11

33. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Eğer v lognormal dağılıma sahip ise şekli yukarıdaki gibi olacaktır. 12

34. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v u = 0 iken, dağılımın modu v =1 olmaktadır. 13

35. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Aynı çarpımsal hata terimi yarı-logaritmik modelde de olmalıdır. 14

36. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ f(v) v Bu dağılımda büyük pozitif tesadüfi etkiye maruz kalan gözlemlerde küçük oransal değişme beklenecektir. 15

37. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Örnekte kazanç ve eğitim yılına ait verilerin dağılımı yukarıdaki gibidir. Birçok aykırı gözlem bulunmaktadır ve bunların üç tanesi sarı ile gösterilmiştir. 16

38. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yukarıda yarı-logaritmik modelin regresyon doğrusu etrafındaki dağılma diyagramı gösterilmektedir. Aynı üç değer hala aykırı gözlem olarak görülmektedir. 17

39. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yukarıdaki histogram doğrusal ve yarı-logaritmik modellerin hata terimlerini karşılaştırmaktadır. Hata terimleri standart sapması bir olacak şekilde standartlaştırıldığında karşılaştırılabilir. 18

40. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer regresyon modelindeki hata terimi normal dağılıyorsa yukarıdaki gibi gösterilir 19

41. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Yarı-logaritmik modelden elde edilen hata terimleri yaklaşık olarak normal iken; doğusal modelden elde edilen model hata terimleri normal değildir. Bu da yarı-logaritmik modelin daha iyi tanımlama olduğunu göstermektedir. 20

42. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer tam logaritmik yada yarı-logaritmik model hata terimi çarpımsal yerine toplamsal olursa ne olur? 21

43. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ Eğer böyle bir durum söz konusu ise, verilerin logaritması alınarak doğrusallaştırılamaz. log(b1Xb + u)’i basitleştirmenin bir yolu yoktur. Bu durum için bazı doğrusal olmayan tekniklerin kullanılması gerekmektedir. 2 22

44. BOX-COX TESTİ* Bir regresyon modelinin tanımlanmasında bağımlı değişken aynı iken R2, modelleri karşılaştırmak için kulllanılabilir. *Bu konu Applied Econoemtrics A Modern Approach” Dimitrios Asterious and Stephen G. Hall, Basic Econometrics, Damodar Guharati ve Econometrics Models and Economic Forecasting, Pindcyk ve Rubinfield kitaplarından alınmıştır. 1

45. BOX-COX TESTİ Ancak bağımlı değişken aynı değilse karşılaştırma yapılamaz. 2

46. BOX-COX TESTİ Bu modeller aynı değildir ve karşılaştırma yapılamaz. Farklı fonksiyonel biçimlerin Box-Cox dönüşümü ile karşılaştırılması mümkündür. 4

47. BOX-COX TESTİ Box-Cox dönüşümü yapılmadan önce Box-Cox dönüşüm parametresi olan λ nın bulunması gerekmektedir. λ belirlendikten sonra bağlım değişkene ilişkin dönüşüm aşağıdaki gibi yapılmaktadır. λ değeri eğer sıfır olarak bulunmuş ise, gerçek bağımlı değişken(Y) ile logaritmik bağımlı değişken (logY) birbiri yerine kullanılabilmektedir. λ nın sıfırdan farklı olması durumunda yukarıdaki formülden hesaplanan yeni bağımlı değişkeni oluşturulup Box-Cox testi aşamaları gerçekleştirilebilir.

48. BOX-COX TESTİ • negatif, pozitif ya da sıfır olabilmektedir. (1) nolu eşitlik Box-Cox regresyon modeli olarak adlandırılmaktadır. ’nın aldığı değerlere göre Tablodaki modeller elde edilmektedir. Doğrusal ve logaritmik-doğrusal modeller Box-Cox dönüşümünün özel durumlarıdır.

49. BOX-COX TESTİ denkleminde yerine konursa olmaktadır. olmaktadır.

50. BOX-COX TESTİ  = 0 olduğu zaman (Y - 1) / belirsiz olmaktadır. Taylor serisi açılımı kullanılarak Y aşağıdaki gibi ifade edilebilir: