МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S- СПЛАЙНОВ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S-СПЛАЙНОВ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИСТОРИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ФЕДОСОВА А.Н., СИЛАЕВ Д.А.

2. Цели и задачи апробация нового подхода к решению задач теории упругости; в основу заложено применение недавно разработанных S-сплайнов высоких степеней класса С4; в данной работе речь пойдет о S-сплайнах седьмой степени, которые сохраняют четыре производные и при этом остаются устойчивыми; обеспечение более высокой точности получаемого численного решения.

3. Выбор объекта применения метода • для демонстрации преимуществ такого подхода выбрана одна из классических моделей теории упругости – модель изгиба круговой пластины под действием внешней нагрузки.

4. ИСТОРИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ • Впервые задачу об изучении колебаний пластинки Бернулли поставил в письме к Эйлеру • в октябре 1735 [1]. • Но лишь в 1772, Эйлер получает уравнение 4-го порядка [Nov.Comm.Ac.Petr, 1772(1773)]: • . книга Хладни, 1802 [2];

5. Конкурс Академии Наук, 1809 [3];Октябрь 1811,единственный претендент – Софи Жермен [3].Уравнение Софи Жермен-Лагранжа [3]: U-прогиб пластинки,D-жесткость пластинки при изгибе,q-интенсивность поперечной нагрузки

6. Кирхгоф – основатель классической теории изгиба пластин, 1850 [5]ГипотезыКирхгофа [4]:о прямых нормаляхо недеформируемости срединной плоскости. несмотря на наличие большого числа новых уточнений, применяют методы, основанные на гипотезах Кирхгофа [4] математические методы [4] : Болотин, Власов, Ильюшин, Колосов, Мусхелишвили, Пшеничников, Релей, Филиппов и многие другие .

7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ • Прогиб срединной плоскости тонкой идеально упругой пластинки не зависит от z [6]: • w-прогиб пластинки, • D-жесткость пластинки при изгибе, • q-интенсивность поперечной нагрузки.

8. краевые условия (5) . • КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ • Аналитическое представление - формулы Колосова-Мусхелишвили [7,8,9]; • Численные методы

9. Приближенные методы[33] • - базисные функции; • - неизвестные коэффициенты. Трудоемкость растет с ростом числабазисных функций [6]

10. ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВВ данной работе будем применять классический метод Бубнова-Галеркина [10,11,12]Cплайн [13]- кусочно-полиномиальная функция, склеенная с определенной степенью гладкости из кусков алгебраических многочленовS-сплайн [14,15,16]– сплайн , первые коэффициенты которого определяются условиями гладкой склейки, а все остальные – методом наименьших квадратов

11. Что такое S-сплайн класса Сp? Рассмотрим на отрезке равномерную сетку: Рассмотрим также укрупненную сетку: h H R Пусть Обозначим - множество полиномов c фиксированными коэффициентами

12. Определение S-сплайна В классе ищется такой полином , который минимизирует функционал 1. Метод наименьших квадратов 2. Стартовые условия 3. Условия гладкой склейки и удовлетворяет следующим условиям: , …, . ,…, Определение 1: S-сплайном назовем функцию S(x), которая совпадает с на отрезке ,…, Определение 2: Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке [а,b]. Заметим, что здесь стартовые условия заменены условиями гладкой склейки при l=0 (-1=L-1).

13. В случае если функция задана таблицей, • можно пользоваться формулами где - интерполяционный полином, построенный по значениям • можно считать, что функция задана неточно ,

14. Система уравнений определения коэффициентов Запишем систему в матричной форме. Пусть и Уравнения двух видов: а) склейки и б) для определения коэффициентов при старших степенях полиномов Прямоугольные матрицы и и квадратные матрицы и и

15. Теоремы существования и единственности периодическогоS-сплайна Т е о р е м а 1. Пусть числа m,M, p, n таковы, что det не равен 0 и собственные числа матрицы устойчивости U не равны корню степени L из единицы (здесь L –число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции , заданной на отрезке своими значениями в точках , существует и единственен периодический сплайн . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формул а) и б) следует, что . и Отсюда Затем последовательно находим

16. Устойчивость и теорема о сходимости Пусть Т е о р е м а 2. Пусть числа m, M, n, p таковы, что и собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн класса с узлами на равномерной сетке имеет дефект и для справедливы следующие оценки: Аналогичные теоремы имеют место и для непериодического случая.Для малых m, M, n, pЮ.К.Кочневым вычислены собственные числа матрицы U.

17. Собственные числа матрицы U n p M m m/M n p M m m/M

18. Фундаментальные S-сплайны Фундаментальный S-сплайн – это S-сплайн построенный по начальным данным Линейная комбинация представляет из себя S-сплайн аппроксимацию выборки

19. Фундаментальный сплайнс номером 6

20. ОДНОМЕРНЫЕ СПЛАЙНЫ. Периодические сплайны. Система периодических сплайнов, n=7, М=7, m=2, отличие - условие периодичности:

21. Под i-м одномерным фундаментальным S-сплайном будем понимать S-сплайн, построенный по данным: Для обеспечения гладкости в нулевой точке система непериодических фундаментальных S-сплайнов дополняется четырьмя S-сплайнами, построенным по начальным условиям (значения функции во всех точках принимается равным нулю) .

22. ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВ вводим на круге равномерную сетку по z=1…Z; k=0…K+1; Разбиение круга

23. Mетод Бубнова-Галеркина Будем искать приближенное решение задачи в виде : - одномерные фундаментальные периодические S-сплайны седьмой степени по класса ; - одномерные фундаментальные непериодические S-сплайны седьмой степени по класса Поскольку решается уравнение 4-го порядка, применяются в разложении по базису сплайны 4-го порядка гладкости (классическое решение). Заметим, что для определения нагрузок это решение следует дважды численно дифференцировать.

24. Бигармонический оператор в полярных координатах Системадля определения неизвестных .

25. Из граничных условий 2*Z уравнений. Всего Z*(K+6) неизвестных и Z*(K+6) уравнений Интеграл разбивается на 8 слагаемых: Рассмотрим первый интеграл, остальные аналогично Аппроксимация и устойчивость метода Галеркина определяются выбором базисных функций, значит, получаем устойчивую схему восьмого порядка аппроксимации.

26. ОЦЕНКА СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА для решения задачи методом Бубнова-Галеркина получена теоретическая оценка [37]:

27. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА Алгоритм построения сплайнов и решение задачи методом Бубнова-Галеркина реализован в среде MATLAB-2007 программа занимает примерно 20 страниц текста время проведения расчета на типичной сетке (4*24) занимает примерно 20 минут

28. §6. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Тестовая задача #1:

29. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫТестовая задача #1

30. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Рис5. Приближенное решение задачи #1при h=0,5236

31. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Рис6. Приближенное решение задачи #1при h=1,0472

32. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2 Тестовая задача #2:

33. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2

34. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫТестовая задача #2 Рис7. Приближенное решение задачи #2 при h=0,5236

35. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2 Рис8. Приближенное решение задачи #2 при h=0,2618

36. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Заключение Результаты полностью подтвердили изначальные предположения: небольшое число узлов сетки (2*12) позволяет получить близкое к точному решение (0,1%); высокая эффективность данного метода; изящное решение, вычисление значений которого в каждой точке требует знания лишь двух арифметических операций;

37. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1960 Chladni E.F.F. Die Akustik. Leipzig, 1802 Тимошенко С.П. История сопротивления материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений.- М: «Гостехиздат», 1957 Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций./Монография-М.: Изд-во ассоциации строительных ВУЗов, 2005 Kirchhoff G.R. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe//Crelle Journal fur die reine und angewandte Mathematik.- 1850.-Bd 40.

38. 6. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности.- М: «Высшая школа», 1982 7. Колосов Г.В., Мусхелишвили Н.И. О равновесии круглых упругих дисков под влиянием напряжений, приложенных в точках их обвода и действующих в их плоскости.//М: ПГ. Тип, 1915 8. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М: «Наука», 1966 9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М: «Наука», 1968, с. 390-391 10. Красносельский М.А. и др. Приближенные решения операторных уравнений. //М:- Наука, 1969 11. Марчук Г.И., Агашков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М: «Наука», 1987 12. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. // М.- Мир, 1988 13. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: «Наукова Думка», 1992

39. 14. Силаев Д.А. Полулокальный сглаживающий сплайн класса. // Тезисы международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2010,НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, г. Ижевск, с. 39» 15.Силаев Д.А. , Ингтем Ж.Г. Полулокальные сглаживающие сплайны седьмой степени. Вестник ЮУрГУ, № 35(211),2010, с. 104-112 16. Силаев Д.А. Полулокальные сглаживающие сплайны и их применения. // Динамика деформируемых сред (памяти академика Е.И.Шемякина) http://math.vsu.su/department/volnogaz/contents1.htm, с. 336-343

40. Определение S-сплайна В классе ищется такой полином , который минимизирует функционал 1. Метод наименьших квадратов 2. Стартовые условия 3. Условия гладкой склейки и удовлетворяет следующим условиям: . Определение 1: S-сплайном назовем функцию S(x), которая совпадает с на отрезке Определение 2: Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке [а,b]. Заметим, что здесь стартовые условия заменены условиями гладкой склейки при l=0 (-1=L-1).

41. В случае если функция задана таблицей, • можно пользоваться формулами 0. • можно считать, что функция задана неточно ,

42. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ Продифференцируем по и приравняем к нулю:  Обозначения , = Замена а) уравнения склейки б) уравнения для определения коэффициентов при старших степенях полиномов

43. Система уравнений определения коэффициентов Запишем систему в матричной форме. Обозначим , Пусть, кроме того, Тогда =

44. Для непериодического S-сплайна первая строка заменяется на стартовые условия(E 0 ….0)X0 = Y0, Y0 = . Определитель матрицы А2 имееттри положительных корня . Поэтому при М>2существует A2-1.Система расщепляется где =

45. Теоремы существования и единственности периодическогоS-сплайна Т е о р е м а 1. Пусть числа m и M>2 таковы, что собственные числа матрицы U не равны корню степени из единицы (здесь L –число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции , заданной на отрезке своими значениями в точках , существует и единственен периодический сплайн . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему (13). Умножим 1-ю строку системы на матрицу U и сложим со 2-й строкой, полученную 2-ю строку умножим на матрицу U и сложим с 3-й и т.д. Поменяем знаки. Тогда . =

46. Устойчивость и теорема о сходимости Обозначим /2 rl= Имеет место следующее рекуррентное соотношение ,где zl=(pl,ql,rl), wl=O(h6) для любой гладкой фукции Т е о р е м а 2. Пусть периодическая функция из С6 и пусть выполнены предположения .Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн с узлами на равномерной сетке имеет дефект 3 и для справедливы следующие оценки

47. Элементыматрицы U будут иметь вид =

48. Для случая малых значений М в результате расчета были получены значения собственных чисел матрицы U Собственные числа матрицы U

49. Условие устойчивости S-сплайнов • Корни уравнения • -6.11, -3.69-5.25*i, -3.69+5.25*i . Здесь , и • Отсюда получаем, что при достаточно малых m и больших M , по модулю меньше единицы. Тем самым доказана следующая теорема. • Т е о р е м а 3. Пусть . Тогда при достаточно малых m и больших M собственные числа матрицы устойчивости по модулю меньше единицы. • Это условие устойчивости S-сплайнов аналогично условию устойчивости для кубического случая.

50. Фундаментальные S-сплайны Фундаментальный S-сплайн – это S-сплайн построенный по начальным данным Линейная комбинация представляет из себя S-сплайн аппроксимацию выборки