Историја броја π

1. Историја броја π др Ђура Паунић Департман за математику и информатику, ПМФ Нови Сад 5. децембар 2009.

2. Историја бројаπ • Шта је π? Број који повезује • површину круга и квадрат полупречника. • обим круга и пречник. • Како да израчунамоπ? • Геомeтријски • Аналитички • Којеπима особине?

3. Историја бројаπ • π у Старом Египту • π у Месопотамији • π у Старој Грчкој • π код Кинеза, Арапа и Индуса • π у Европи у средњем веку

4. πу Старом Египту Површина округле њиве једнака је површини квадрата чија је страница 8/9 пречника круга. (Површина шрафираног осмоугла је 7/9 = 63/81 ≈ 64/81) Тада је((8/9)d)2 = (64/81)d2 ≈ π(d/2)2 па је π≈ 256/81 ≈ 3.16...

5. πу Месопотамији У Месопотамији нема броја π. Површина круга израчунава се тако да се обим квадрира и помножи константом да се добије површина круга. (Израчунава се површине пресека снопа ако се зна дужина ужета потребног да се он повеже) Тада је(2rπ) 2c=r 2π па јеконстанта за круг c=1/(4π) ≈ 1/12. То је еквивалентноπ≈ 3

6. πу Старој Грчкој У Старој Грчкој Архимед први успешно израчунава број π. Aрхимед прво доказује да се исти број користи за израчунавање и површине и обима круга. Тада је површина кругаr2π, а обим круга је 2rπ.

7. πу Старој Грчкој Обим круга Архимед израчунава тако да израчунава обиме уписаних и описаних правилних полигона. У првом кораку израчунава обиме уписаног и описаног шестоугла, а затим удваја број страница. Користи полигоне са 6, 12, 24, 48 и 96 страница.

8. πу Старој Грчкој После компликованог рачунау коме се обими уписних полигона Un заокружују на мање, а обими описаних полигона Onзаокружују навише Архимед добија: U96 : 2r > 6336 : 20171/2> 3 10/71 O96 : 2r < 14688 : 4673 1/2 < 3 1/7, па је 3 10/71 <π < 3 1/7

9. πу Старој Грчкој Обим круга је више од три пута већи од пречника, при том је вишак мањи од једне седмине, а већи од десет седамдесетпрвих делова пречника. Дакле,πје приближно 22/7 или 31/7. 150 година после Архимеда Птоломеј проналази π≈ 3; 8, 30 = 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 ≈ 3.141666...

10. πкод Кинеза • Кинези користе Архимедов поступак • за израчунавање броја π : • У III веку Лиу Хуи израчунава • π≈3.14159, тачно на 5 децимала. • У V веку Цу Чунг-Чих израчунава • 3.1415926 <π < 3.1415927 • и изводи "нетачну вредност" 22/7 и • "тачну вредност" 355/113 ≈ 3.14159292...

11. πкод Арапа Арапи користе Архимедов поступак за израчунавање броја π. Почетком XV века ал-Каши у "Расправи о кругу" пише: "Архимед је доказао да је обим круга већи од троструког пречника за мање од једне седмине, а више од десет седмадесетпрвих његових делова. Разлика међу тим разломцима је 1/497. Зато је у кругу пречника 497 фарсаха обим круга је непознат у границама једног фарсаха, а у великом кругу који се налази на Земљиној кугли та неодеђеност је у границама 5 фарсаха."

12. πкод Арапа • Арапи користе Архимедов поступак • за израчунавање броја π. • Затим ал-Каши закључује да је грешка при израчунавању обима Васионе 100000 фарсаха, па ако жели да израчуна обим Васионе са прецизношћу од дебљине коњске длаке треба да израчуна • π на 17 децимала.

13. πкод Индуса Индуси не израчунавају број π него користе грчке вредности. У XV веку Мадава проналази φ = tgφ −(1/3)tg3φ+(1/5)tg5φ−+... заφ= π/4 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... .

14. πу средњовековној Европи У XV веку Никола Кузански проналази φ ≈ 3 sin φ/(2 + cos φ). Из сличности ∆PQS~ ∆TASследиTA : AS = PQ : QS φ: 3= sin φ: (2 + cosφ)

15. πу средњовековној Европи 1596. је Лудолф из Келна, учитељ мачевања у Лајдену (Холандија), Архимедовим поступком израчунао π на 20 децимала, а касније је наставио да рачуна тако да је израчунао 35 децимала броја π која су 1611. уклесани на његовом надргобном споменику у цркви св. Петра у Лајдену. Због тога се π често назива Лудолфов број, што није много оправдано.

16. πу Европи У 1621 Вилеброрд Снел (око 1591 - 1626) нумерички проналази да је у конструкцији Кузанског АТ <φпа је3 sin φ/(2 + cos φ) <φ. φ =3αи из сличности плавог и наранџастогтроугла је sin α : cos α = AT' : (AO + OS') = AT': (1 + 2cosα) φ < AT'тада јеφ < tg α + 2 sin α

17. πу Европи па Вилеброрд Снел добија да је 3 sin φ/(2 + cos φ) <φ < tg(φ/3) + 2 sin(φ/3). Из ове неједнакости за φ =30° = π/6 добија се3.1402... < π< 3.1417... Са дванаестоуглом Снел добија боље границе него Архимед са полигоном од 96 страница. Кристијан Хајгенс (1629 - 1695) у раду "Проналасци о величини круга" из 1654. године доказује све Снелове резултате и даје нека побољшања

18. π и редови 1672 Лајбниц, Грегори, Њутн поново откривају φ = tgφ −(1/3)tg3φ+(1/5)tg5φ−+... или arctg x = x −x3/3+x5/5−+... заφ= π/4илиx = 1 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... .

19. π и редови 1706 Џон Мечин открива згодну формулу за израчунавање π/4 = 4 arctg 1/5 − arctg 1/239. овом формулом је пешке израчунато највише 527 тачне децимале (Шенкс је 1874 израчунао 707, али је само 527 било тачно, што је установљено касније). arctg x = x −x3/3+x5/5−+...

20. π и редови 1736 Ојлер доказује да је π2/6 = 1 + 1/22 +1/32 + ... + 1/п2 + ..., а нешто касније проналази формулу eπi = −1 или eπi+ 1 = 0, која се сматра најлепшом математичком формулом, јер повезује све најзначајније математичке константе.

21. Аритметичка природа π Ојлерова формула eπi = −1 омогућила је да Ф. Линдеман 1882. године докаже да је π трансцендентан број. То значи да не постоји једначина anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0 = 0 са целим коефицијентима чије је решење π.

22. Квадратура круга Из трансцендентости броја π следи да је квадратура круга немогућа. Ако се неки број може конструисати лењиром и шестаром тада се он може израчунати помоћу низа линеарних и квадратних једначина. Низ једначина може да се сведе на једну једачину вишег степена па сваки број који може да се конструише решење је неке једначине довољно високог степена са целим коефицијентима. πније решење ни једне једначине са целим коефицијентима па π не може да се конструише.

23. Приближна конструкција заπ OR = 2r, RA = r, OE = OA, OP = 3r, PF = PE = (3+√5)r добија се да јеπ = PQ = 3(3+√5)/5 ≈ 3.14164...r. Ово је Џонстонова конструкција (из 1939) Вијетове апроксимације π

24. π и редови Постоји много формула за аркус тангенс. Гаус је пронашао π/4 = 12 arctg 1/18 + 8 arctg 1/57 − 5 arctg 1/239. Штермер је пронашао π/4 = 6 arctg 1/8 + 2 arctg 1/57 + arctg 1/239. Ове формуле су се користиле 1961 за израчунавање 100000 децимала π 1974 за израчунавање 1000000 децимала π

25. π и редови 1914 Рамануџан проналази ред 1/π= 2√2Σn=0((4n)!(1103 +26390n))/(44n (n!)4994n+2). ∞ __ сваки нови сабирак поправља збир за 8 децимала. Сриниваса Рамануџан (1887 - 1920) је био генијални индијски самоуки математичар.

26. π и редови Осмдесетих Григорије Чудновски проналази 1/π = 12 Σn=0(−1)n((6n)! (13591409 + 545140134n))/ ((3n)!(n!)36403203n+3/2). ∞ Сваки нови сабирак поправља збир за 15 децимала,па се и на малим рачунарима лако израчунава π Браћа Григорије (седи) и Давид Чудновски су руски емигранти из Украјине који живе у Њујорку

27. Најкраћи програм заπ /* Израчунавање π на 32372 децимале.*/ /* Величина програма: 152 знака */ /* by Ch. Haenel, after Dik T. Winter, CWI Amsterdam */ unsigned a=1e4,b,c=113316,d,e,f[113316],g,h,i; main(){for(;b=c,c-=14;i=printf("%04d",e+d/a),e=d%a) while(g=--b*2)d=h*b+a*(i?f[b]:a/5),h=d/--g,f[b]=d-g*h;}

28. Хвала вам напажњи и стрпљењу