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停止性問題

停止性問題. 2011/6/13. チューリング機械. 「 計算可能」の概念化 チャーチ ・チューリングのテーゼ 機械的 に計算 できること は（無限の時間が与えられれば）すべてチューリング機械で計算できる. 万能 チューリングマシン. 任意のチューリングマシンをエミュレートできる チューリングマシン 2 本のテープを入力とする 1 本は TM の表現 1 本はその TM に対する入力 プログラミングの概念に相当. 計算可能性. 任意の チューリングマシンとその入力が停止するかどうかを判定できるチューリングマシンを構成できるか？

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停止性問題

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Presentation Transcript

  1. 停止性問題 2011/6/13

  2. チューリング機械 • 「計算可能」の概念化 • チャーチ・チューリングのテーゼ • 機械的に計算できることは（無限の時間が与えられれば）すべてチューリング機械で計算できる

  3. 万能チューリングマシン • 任意のチューリングマシンをエミュレートできるチューリングマシン • 2本のテープを入力とする 1本はTMの表現 1本はそのTMに対する入力 • プログラミングの概念に相当

  4. 計算可能性 • 任意のチューリングマシンとその入力が停止するかどうかを判定できるチューリングマシンを構成できるか？ • 任意のチューリングマシンをX、その入力をYとする • XとYを入力として、X(Y)が停止するならyes、X(Y)が停止しないならnoを出力する機械Hが構成可能か？

  5. 背理法による証明 • H(X,Y)が判定可能なら、H(X,X)も判定可能- • 上記のようなHが構成できたとすると、次のようなWを構成できる。 H(X,X)→YESならW（X)は止まらない H（X,X)->NOならW（X)は停止する

  6. W(W)が停止したとすると、Wの定義よりH(W,W)=NO。Hの定義より H(W,W)=NOとなるのはW(W)が停止しないときのみなので、矛盾。W(W)が停止したとすると、Wの定義よりH(W,W)=NO。Hの定義より H(W,W)=NOとなるのはW(W)が停止しないときのみなので、矛盾。 • W(W)が停止しないとすると、Wの定義よりH(W,W)=YES。Hの定義より、H(W,W)=YESとなるのはW(W)が停止するときのみなので、矛盾。 （wikipedia)

  7. 対角線論法 • Cantorが実数の個数に対する考察を行うために使う 実数と整数は両方とも無限個あるが、どちらが多いのか？（無限のランク付け） 濃度　ℵ • 連続体仮説

  8. （例）実数の連続性

  9. 任意のプログラムはそのまま自然数とみなすことができる任意のプログラムはそのまま自然数とみなすことができる （ゲーデル化） Printf(“hello world\n”) 1380813917884613958130139 • プログラムへの入力も自然数とみなすことができる 7971985719134

  10. あらゆるプログラムとその入力は 自然数Nx自然数Nの行列で表現可能 • 対角線(A(A))に注目する （プログラム的には、自分自身を入力とするプログラム）

  11. 対角線論法により￢A(A)なるプログラムMは存在しえない対角線論法により￢A(A)なるプログラムMは存在しえない • しかしHが構成できるならMが構成できてしまう • Hは構成できない

  12. 直観的解釈 • プログラムはたかだか自然数と同じ個数しかつくることはできない • 自然数以上の問題を扱うことはできない 　　　　　　　解決不能な問題が存在する

  13. 不完全性原理 • どんな定理導出もたかだか自然数個しか構成できない • その体系内では導出不能な定理が存在する • 証明不可能な真理

  14. 計算の困難性 • 計算不可能 • クラスNP非決定性TMで多項式時間で計算可能 • クラスP決定性TMで多項式時間で計算可能

  15. 参考文献 • プログラミングによる計算可能性理論 　　サイエンス社 • ゲーデル・エッシャー・バッハ 　　白泉社 • 数学は楽しい 　　日経サイエンス別冊

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