直角三角形全等的判定 2

1. 直角三角形全等的判定2

2. 问题探究 回忆角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 思考 如何证明这个定理? 先分析它的条件和结论是什么?

3. A D O C P E B 定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 几何符号语言表示 ∵ OP平分∠AOB 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）

4. 强化巩固 ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD ∴=，( ) （×）

5. ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ∴=，( ) BD CD （×）

6. DC DB 不必再证全等 ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 ∴=，（ ） √

7. 问题探究 它的逆命题是什么? 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 思考 如何证明这个命题? 先分析它的条件和结论是什么?

8. A D P B O E 命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 已知：如图. PD⊥OA于D，PE⊥OB与E， 且PD=PE 求证：点P在∠AOBA的平分线上 证明：连结OP并延长(或作射线OP) ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠ODP=∠OEP=90° ∵在Rt△ODP和Rt△OEP中 几何符号语言表示： OP=OP PD=PE ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE ∴OP平分∠AOB ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL） ∴∠DOP=∠EOP ∴OP平分∠AOB

9. 练习： 1.如图，△ABC中，∠C=90°，D 在AC 上，DE⊥AB与E，且 DE=DC，∠CBD=2∠A， 则∠A=＿＿＿＿＿。 C A D C A B E D B O 18° P 2.如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点的位置在哪里？ 若要使点P也要到C、D的距离也相等，点P的位置在哪里？

10. 拓展延伸 “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在角平分线上。” 你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明它吗？ 友情提示：假设结论的反面成立， 会出现什么状况？ 练习：你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角对应的边也不相等”对吗？ 用自己的语言说说看

11. A M F O E C B P 问题.如图△ABC的角的平分线BE、CF相交于点O，观察交点O到这个三角形三边的距离，你有哪些发现？你能证明你的发现吗？ N

12. A M N O C B P 结论 （1）三角形两角平分线的交点到三边的距离相等。 （2）点O也在∠BAC的角平分线上。 （3）定理：三角形三条角平分线交于一点。

13. N A O B C P 问题.将上题中的两条内角平分线改为两条外角平分线，这时结论会有变化吗？ M

14. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。求∠B的度数已知：如图，在△ABC中，∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。求∠B的度数

15. B 1 3 2 4 D A C 例 已知：如图 DB⊥AB，DC⊥AC，B，C分别为垂足，DB=DC。 求证：DA平分∠BDC 证明：连结BC ∵ DB⊥AB，DC⊥AC， DB=DC （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∴ DA平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵∠B=∠C=90° ∴∠3=90°－∠1 ∠4=90°－∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ DA平分∠BDC

16. A P C B 小结： （1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用； （2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样做实际是重新证了一次定理）。 （3）怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。