La construction du concept de nombre à l’école primaire

1. La construction du concept de nombre à l’école primaire Ce document est en ligne à cette adresse : http://pernoux.perso.orange.fr/anim/consnombre.pps 1°) Qu’est-ce qu’un nombre ? 2°) De façon générale, et quel que soit le niveau de classe, qu’est-il important, de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? 3°) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle 4°) L’introduction de notre système de numération au cycle 2 5°) L’introduction de nouveaux nombres au cycle 3 6°) Un exemple d’une même notion travaillée du cycle 1 au cycle 3 : la notion d’addition Page de liens en rapport avec le thème abordé : http://pernoux.pagesperso-orange.fr/anim/liens1.htm D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

2. Ces ensembles qu’on peut mettre en correspondance terme à terme ont quelque chose d’abstrait en commun : il ont le même nombre d’objets. La construction du concept de nombre 1°) Qu’est-ce qu’un nombre ? (connaissances pour l’enseignant) Le concept de base est le concept de nombre entier. Ce concept a été introduit comme outil pour résoudre des problèmes (« Tous les animaux du troupeau sont-ils toujours là ? », par exemple) A l’école, on étudie d’abord les entiers naturels (entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, …) La notion de nombre entier n’est pas facile à définir : Le nombre entier permet d’indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre)

3. Nombres rationnels = 0,75 0 1 67 56 = 0,5 Nombres décimaux = 3,4 Remarque : savoir que de 200g vaut 250 g ne veut pas nécessairement dire qu’on considère comme un nombre. Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Au cycle 3, on introduit de nouveaux nombres : Rappel : il s’agit de connaissances pour l’enseignant

4. Remarque concernant les écritures fractionnaires : • dans les IO 2002, on précisait qu'à l'école élémentaire de pizzas c'était 5 morceaux de pizzas • égaux chacun à de pizza et on disait que l'autre sens de l'écriture • ( de pizza c'est ce qu'on a chacun quand on est 4 à se partager 5 pizzas) devait être abordé • au collège. - dans les IO 2008 pour l’école on ne dit plus rien (comme sur beaucoup d'autres sujets…) • Brissiaud, de son côté, a toujours affirmé (en 2002 comme en 2008) que pour lui il était important • de voir dès l'école ces deux significations de l'écriture fractionnaire (ce qu’il fait dans son manuel • « J’apprends les Maths » publié chez Retz).

5. L’idée qui permet d’arriver aux décimaux est, devant la difficulté des calculs avec les fractions, de privilégier les fractions ayant pour dénominateurs des puissances de 10 (en écrivant par exemple que 3/8 = 3/10 + 7/100 + 5/1000). On peut alors prolonger notre système de numération et arriver aux écritures du type 0,375 qui sont bien plus faciles à utiliser que les fractions pour effectuer des opérations dans notre système de numération . Il y a quand même une difficulté : on ne peut pas faire correspondre une écriture à virgule finie à chaque fraction (certains nombres rationnels comme 2/3 ou 3/7 ne sont pas des décimaux). Remarque importante : Pour chacun de ces ensembles de nombres on définit des relations (exemple : 3 < 4) et des opérations (exemple : 3 + 1 = 4) qui lient les nombres entre eux. On ne peut concevoir la notion de nombre sans considérer les liens qui unissent les nombres. Conclusion : Il est difficile de définir la notion de nombre qui, comme toutes les notions mathématiques, fait appel à l’abstraction. Les différents ensembles de nombres ont été inventés (découverts ?) par l’homme pour modéliser « le monde réel » et résoudre des problèmes de quantités posés dans « ce monde réel ».

6. 2°) De façon générale qu’est-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre ? a) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l’élève …) Exemples au cycle 1(GS) Premier exemple (inspiré d’une proposition de Dominique Valentin) Salle de jeu Dortoir Combien de bébés font encore la sieste dans le dortoir ? Combien de bébés ont fini leur sieste et sont dans la salle de jeux ? Remarque : pour consulter une fiche de préparation concernant cette activité, vous pouvez cliquer ICI (document sur le site du GDM 68)

7. Deuxième exemple : 17 On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ?

8. Exemple au cycle 2 (CP) : Dans mon porte-monnaie, j’ai trois pièces de 1 € et trois pièces de 2 €.Est-ce que je peux acheter ce livre qui coûte 7 € ? Exemple au cycle 3 (CM1) : Si quatre enfants se partagent deux pizzas, combien en auront-ils chacun ? Si quatre enfants se partagent trois pizzas, combien en auront-ils chacun ? b) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre

10. c) Faire comprendre le fonctionnement de notre système de numération décimale (voir 4°) 384 billes c’est trois paquets de cent billes, huit paquets de dix billes et quatre billes d) Faire comprendre que les nombres sont « liés les uns aux autres » Exemples en PS : Idées et illustration extraites de l’ouvrage de Rémi Brissiaud « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » « quatre » « un » « un » « un » « et un » (cliquer sur l’image pour plus d’informations) En utilisant les doigts, on peut aussi montrer que : « deux » « et encore un » « ça fait trois »

11. 3°) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle Pour voir quelles activités à quels niveaux, cliquer ICI a) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante(si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) b) Il est souhaitable de varier les types de dénombrement : • dénombrement par comptage : on utilise la comptine numérique • dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) Remarque concernant le dénombrement par comptage : Ce qui est difficile c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombreprononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Pour cela, on peut travailler les décompositions: « Un, un, un et encore un ça fait quatre » « Trois et un ça fait quatre » On peut aussi procéder ainsi :

12. Si les objets sont déplaçables : « trois » « quatre » « un » « deux » Si les objets ne sont pas déplaçables : « quatre » « trois » « deux » « un » Remarque : pour réussir à dénombrer les éléments d’une collection par comptage l’enfant doit - connaître la comptine numérique- savoir associer à chaque élément de l’ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l’ordre- comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets- comprendre que la nature des objets à compter n’a pas d’importance- comprendre qu’on peut compter les objets dans n’importe quel ordre.

13. Remarque supplémentaire concernant le dénombrement par comptage : Savoir dénombrer par comptage un par un suppose de savoir énumérer les éléments d’une collection c’est-à-dire de savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois. Pour des précisions concernant l’énumération, voir, par exemple : http://www.afec-info.org/actescolloquelille/afec_actes_colloque_lille_2006.pdf (à partir de la page 60 et en particulier à partir de la page 62)

14. Voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l’ouvrage de l’équipe Ermel pour la GS : e) On peut utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS) c) Les activités permettant de de faire comprendre le lien entre "aspect cardinal" et "aspect ordinal" du nombre sont intéressantes (exemple avec le calendrier : faire comprendre qu'un numéro de jour représente aussi une quantité de jours écoulés) d) Les activités mises en place doivent être signifiantes pour les élèves : il s'agit de mettre en place des problèmes ayant du sens pour les élèves et les amenant à comprendre que les nombres sont utiles.

15. 4°) L’introduction de notre système de numération au cycle 2 • Le passage au cycle 2 va être caractérisé dans le domaine de la construction du concept de nombre par : • le fait qu’on va donner du sens à chacun des chiffres d’une écriture comme 24 (ce qui nécessite, bien sûr, que l’élève ait compris le sens des écritures 2 et 4) • le passage progressif du comptage au calcul (quand on calcule, on ne dispose plus d’objets ; on travaille uniquement avec des écritures symboliques) a) Une représentation des nombres qui peut être utilisée au cycle 1 et au cycle 2 et qui, de mon point de vue, est intéressante au niveau de la liaison GS/CP : les cartes à points Ce matériel a été conçu par Jean-Luc Brégeon Pour plus de précisions, voir, par exemple : http://perso.orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%208.htm ou http://www.mission-laique.com/pedagogie/pdf/math50/am50p11.pdf

16. Un exemple d'utilisation : Tableau des absents-présents dans une classe de MS-GS (document Jean-Luc Brégeon ; source : http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%208.htm) 

17. b) Quelques remarques (en vrac) concernant l’apprentissage de la numération au cycle 2 Ce qui est important ce n'est pas seulement que l'élève fasse des paquets de dix puis des paquets de cent puis … mais surtout qu'il comprenne l'intérêt de faire de tels paquets L’utilisation d’une file numérique (collective ou individuelle) puis d'un tableau de nombres aide à la compréhension de la numération L'utilisation d'un compteur est également une aide précieuse. Les activités où on est amené à comparer deux entiers permettent de travailler sur la signification des différents chiffres intervenant dans les écritures des nombres. Au début de l'apprentissage de la numération au CP, il est souhaitable de privilégier les activités de groupement (« on met dix jetons dans une boîte ») par rapport aux activités d'échanges (« 1 jeton rouge vaut 10 jetons jaunes » ). Au moment de l’apprentissage, l’enseignant ne peut se permettre un langage approximatif (ne pas confondre les mots « chiffre » et « nombre » par exemple). Il faut faire en sorte que peu à peu l’enfant arrive à comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 maisque le nombre de dizaines vaut 62 mais c'est un objectif à "long" terme et il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté.

18. On peut utiliser un matériel de numération construit par les élèves et auquel on donne du sens en le construisant. L’utilisation systématique de couleurs pour les différents chiffres (le chiffre des unités est écrit en utilisant toujours la même couleur, le chiffre des dizaines en utilisant toujours une autre couleur, etc.) est-il à déconseiller ? Il s’agit d’un surcodage qui risque d’amener l’élève à ne pas s’intéresser à la position des différents chiffres. Pourtant, si les couleurs utilisées sont en rapport avec le matériel utilisé (ce qui leur donne du sens) ce peut être, éventuellement, une aide provisoire pour des élèves en difficulté Enfin, et c'est peut-être le plus important, il faut être conscient qu'une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale : en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit on "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.).

19. c) on peut aussi utiliser les cartons Montessori EN NOIR Remarques : a) dans le document d’application du programme du cycle 2 de 2002, on disait d'accepter de travailler avec des nombres qu'on ne sait pas encore lire. • b) on peut envisager de s’inspirer des propositions de Stella Baruk (« Comptes pour petits et grands » Tome 1 édité chez Magnard) et de Rémi Brissiaud (Livre du maître du fichier « J’apprends les maths avec Tchou CP » édité chez Retz). • Pour Brissiaud, on peut consulter • http://ame.95.free.fr/divers/Brissiaud-Copirelem-Tours.pdf • et • http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/PE2/Cycle2/IntroTchou/introtchou.html (extraits vidéo)

20. EN VERT d) Voir quelques propositions pour évaluer un élève dans le domaine de la numération à cette adresse : http://dpernoux.free.fr/Eval_num.pdf

21. 5°) L’introduction de nouveaux nombres au cycle 3 Quoi qu’on fasse il y a une rupture au moment de l’introduction des écritures à virgule. Certaines propriétés, certaines techniques de calcul qui étaient valables avec les entiers restent valables, d’autres ne le ont plus : Le nombre qui a l’écriture la plus longue n’est pas nécessairement le plus grand (2,123 < 2,45) mais ça arrive (2,456 > 2,3). Pour multiplier par 10, on n’ajoute pas un 0 à la fin : 1,6 x 10 ne vaut pas 1,60 Remarque : au cycle 2, il semble important de donner du sens à la multiplication par 10 (25×10 c’est 25 « paquets de dix » et 25 « paquets de dix » ça s’écrit 250) Une écriture à virgule ce n’est pas « la juxtaposition de deux entiers » et, pourtant de nombreux élèves font comme si c’était le cas : 2,17 < 2,125 car 17 < 125 2,95 × 2 = 4, 190 « Il n’y a pas de nombre entre 1,16 et 1,17 » (car il n’y a pas d’entiers entre 16 et 17) etc.

22. Ce qui me semble important : Essayer de faire en sorte que l’élève établisse des liens ECRITURES FRACTIONNAIRES Pour l’élève, représente-t-il aussi un nombre où uniquement quelque chose qui permet « d’opérer sur les grandeurs » c’est-à-dire de faire des calculs du type ? L’élève établit-il un lien ? L’élève établit-il un lien ? L’élève établit-il un lien ? AUTRES ECRITURES ECRITURES A VIRGULE 8 : 4 Pour l’élève, l’écriture 1,25 représente-t-elle un nombre ou uniquement une juxtaposition de deux entiers (1,25 € = 1€ 25 c) ? 1,25 L’élève établit-il un lien ? L’élève voit-il qu’on peut passer de à en divisant 5 par 4 ?

23. On peut introduire les fractions dans une situation oùles élèves peuvent se rendre compte, par eux-mêmes, que les entiers ne suffisent plus pour répondre au problème posé , par exemple une situation de mesurage de longueurs à l’aide d’une unité u puis introduire les fractions particulières que sont les fractions décimales puis introduire les écritures à virgule à partir de ces fractions décimales. Ce qui semble important, quelle que soit la manière choisie pour introduire les fractions et les écritures à virgule, c’est de ne pas oublier qu’on veut arriver à faire comprendre que :

24. On pourra consulter : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/PE2/Resources/FractPDF.zip http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/PE2/Cycle3/FracCM1Ermel/presentation.html (vidéos en ligne)

25. 6°) Un exemple d’une même notion travaillée du cycle 1 au cycle 3 : la notion d’addition • Exemples de situations additives en maternelle • Voir : http://www.crdp-strasbourg.fr/cddp68/maternelle/decmonde/index.htm • (Voir les situations « les bandes de gommettes » et « le dortoir » dans la rubrique « Des exemples de problèmes ») b) Au cycle 2, on va introduire le signe + et résoudre un certain nombre de problèmes additifs (problèmes faisant appel à l’addition ou à la soustraction) en utilisant des procédures personnelles ou des procédures expertes. Voir : http://pernoux.perso.orange.fr/Problemes/doc4.pdf c) Au cycle 3, on va travailler le passage des procédures personnelles aux procédures expertes. Voir : http://pernoux.perso.orange.fr/Problemes/doc6.pdf D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr