1 / 57

LUKUALUEET

LUKUALUEET. MAA0. Luonnolliset luvut N =  0,1,2,3,…  Kokonaisluvut Z =  … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,… . Merkinnät:. x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon. x ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon. Rationaaliluvut Q luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina. MAA0.

baina
Download Presentation

LUKUALUEET

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. LUKUALUEET MAA0 Luonnolliset luvutN = 0,1,2,3,… KokonaisluvutZ = … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,… Merkinnät: x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon x ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon

  2. Rationaaliluvut Q luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina MAA0 Jokainen kokonaisluku Päättyvä desimaaliluku Päättymätön jaksollinen desimaaliluku Esimerkki 2 Esitä x supistettuna murtolukuna, kun x = 0,444… x = 0,444... 10x = 4,444… 10x - x = 4,444… - 0,444… 9x = 4 |:9 x = 4/9

  3. 1.1.3 - 4. Laskutoimituksia rationaaliluvuilla 1. Laventaminen Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. 2. Supistaminen Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. E.1. Lavenna luvulla 4 E.2. Supista

  4. 3. Kertolasku Sekamurtoluvut muutetaan ensin varsinaisiksi murtoluvuiksi. Tulon osoittajaksi osoittajien tulo ja nimittäjäksi nimittäjien tulo. Lopuksi supistetaan, jos voidaan. (Supistaa voi jo tekijöitäkin!) 4. Jakolasku Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Jatko kuten edellä 3:ssa E.4. Laske E.3. a)Laske b)

  5. 5. Yhteenlasku Murtolukuja saa laskea yhteen ja vähentää, kun niillä on sama nimittäjä. Tarvittaessa lavennetaan. Tällöin osoittajaksi tulee osoittajien summa (erotus) ja nimittäjäksi yhteinen nimittäjä E.5. a)Laske

  6. Laskulait Vaihdantalait a + b = b + a ab = ba Liitäntälait (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) Osittelulaki a(b + c) =ab + ac 2(3x+1) = 2∙3x + 2∙1 =6x + 2 Tulon nollasääntö ab = 0, jos ja vain jos a = 0 tai b = 0  MAA0

  7. Vastaluku Luvun a vastaluku on -a Vastalukujen summa on nolla: a + (-a) = 0 Käänteisluku Luvun a käänteisluku on 1/a (a0) Käänteislukujen tulo on yksi: a ∙ 1/a = 1, a  0 MAA0 Esimerkki4 Määritä a) Luvun -8 vastaluku b) 2/3 käänteisluku a) 8, sillä -8 + 8 = 0. Siis -(-8) = 8 b) 3/2, sillä

  8. Vastaluvun ominaisuuksia -(-a) = a -(a + b) = -a - b a - b = a + (-b) a(-b) = (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab a(b - c) = ab - ac MAA0 Esimerkki 5 a) 2 * (-4) *(-5) = 40 b) 6(2x - 4) = 12x - 24 c) (-2)4 = 16 d) (-2)5 = -32

  9. Likiarvot Merkitseviä numeroita Kaikki muut paitsi desimaaliluvun alussa olevat nollat Kokonaisluvun lopussa olevien nollien merkitsevyys riippuu asiayhteydestä MAA0 Esimerkki 6 Kuinka monta merkitsevää numeroa on a) 2001 4 b) 0,0023 2 c) 32 000 2 / 5, esimerkiksi asukasluku / pankkilaina

  10. MAA0 Laskeminen likiarvoilla Tulos ilmoitetaan niin monen merkitsevän numeron tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa Jos kyse ainoastaan yhteen- tai vähennyslaskusta, vastaus ilmoitetaan niin monen desimaalin tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa Esimerkki 7 Likiarvoille a) 1,03 * 2,5 = 2,575  2,6 b) 2,30 + 120,1  122,4

  11. 1.2.3. Itseisarvo *luvun etäisyys nollasta • Siis • positiivisen luvun itseisarvo on luku itse • negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku • nollan itseisarvo on nolla

  12. E.1 a) = 4 b) = 4 c) sillä on negatiivinen

  13. PROSENTTILASKUJA PROSENTTI PROMILLE 1 % = = 0,01 1 ‰ = = 0,001 1) p% luvusta a

  14. Esimerkki 1 Pesuaineessa on 8 % fosforia? Kuinka paljon sitä on 1500 grammassa? tai Muunnetaan p% desimaaliluvuksi Kerrotaan luku a tällä desimaaliluvulla 0,08 * 1500 g = 120 g

  15. MAA0 2) Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b Esimerkki 2 Kuinka monta prosenttia 5 on luvusta 200? = 2,5 % tai muunnetaan prosenteiksi = 2,5 %

  16. MAA0 3) p% lukua a suurempi luku Esimerkki 3 Mikä luku on 4 % suurempi kuin 25? 1,04 * 25 = 26

  17. MAA0 4) p% lukua a pienempi luku Esimerkki 4 Mikä luku on 4 % pienempi kuin 25? 0,96 * 25 = 24

  18. MAA0 5) Kuinka monta prosenttia luku a on suurempi kuin luku b a>b>0 Esimerkki 5 Kuinka monta prosenttia luku 15 on suurempi kuin 12? 15-12 = 3

  19. MAA0 6) Kuinka monta prosenttia luku b on pienempi kuin luku a a>b>0 Esimerkki 6 Kuinka monta prosenttia luku 12 on pienempi kuin 15? 15-12 = 3

  20. MAA0 Esimerkki 7 Vaaleissa erästä puoluetta kannatti 12 % Edellisellä kerralla kannatus oli ollut 8 %. Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus oli muuttunut? 12- 8 = 4 4 prosenttiyksikköä

  21. Esimerkki 8. Korko 4,5 % Kuinka suuri talletuksen on oltava, jotta korko olisi 180 € vuodessa? x = talletuksen määrä 0,045 * x = 180 :0,045 x = 4000 V: 4000 € MAA0

  22. Kirjan esimerkki Lääkeliuoksen väkevyys 10%. Litra liuosta Kuinka paljon vettä on lisättävä, jotta saadun liuoksen väkevyys 4 % MAA0 x = lisättävän veden määrä LiuosVäkevyysMäärä (l)Lääkkeen määrä Vanha 10 % 1 0,1 Uusi 4 % 1+x 0,04(1+x) 0,04(1+x) = 0,1 0,04 + 0,04x = 0,1 0,04x = 0,1-0,04 0,04x = 0,06 | :0,04 x = 1,5 (l)

  23. Kirjan esimerkki Työntekijöiden palkkoja korotettiin 10 % Tämän jälkeen palkkoja alennettiin 10 % Työntekijöiden alkuperäinen palkka = 100a I: 1,1* 100a = 110a II: 0,9 * 110a = 99a Tämä on 99 % alkuperäisestä palkasta, joten palkka ei ole sama kuin alussa vaan 1 % pienempi (10 % otettiin eri luvuista!!!!!) MAA0

  24. Suoraan verrannollisuus MAA0 * Suureiden suhde pysyy vakiona ts. suureet muuttuvat samassa suhteessa x y x1 y1 x2 y2 kerrotaan ristiin x1y2 = x2y2 Jos muuttujat y ja x suoraan verrannollisia, niin y = kx (k = verrannollisuuskerroin) kuvaaja origon kautta kulkeva suora

  25. Esimerkki 1 Ratkaise verranto MAA0 2x = 3*5 2x = 15 |:2 x = 7½

  26. Esimerkki 2 MAA0 15 kg porkkanoita maksaa 34,50 mk. a) Kuinka paljon maksaa 11 kg porkkanoita b) Muodosta porkkanoiden määrän x ja hinnan y välinen yhtälö a) b) 15 11 34,50 y 15 x 34,50 y = = 15y = 34,50x |:15 y = 2,3x 15y = 11 *34,50 15y = 379,50  :15 y = 25,30 V: 25,30 mk

  27. Esimerkki 3 Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Auto pysähtyi nopeudesta 80 km/h 35 metrin matkalla. Kuinka pitkä jarrutusmatka vähintään tarvitaan pysäyttämään nopeudesta 50 km/h? MAA0 802x = 502 *35 6400x = 87500 |:6400 x 14 V: 14 m

  28. Kääntäen verrannollisuus MAA0 * Suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa* Suureiden tulo pysyy vakiona x y x1 y1 x2 y2 ELI x1y1 =x2y2 Jos muuttujat x ja y ovat kääntäen verrannollisia, niin y = (k = verrannollisuuskerroin) kuvaaja hyperbeli

  29. MAA0 Esimerkki 4 Viisi maalaria maalasi talon seitsemässä tunnissa. Kuinka monta maalaria tarvitaan, jotta työ valmistuisi kahdessa tunnissa? Työn kesto (h) maalareiden lukumäärä 7 5 2 x 7 2 x 5 2x = 35 :2 x = 17,5 V: 18 maalaria =

  30. POTENSSIT MAA0 n kpl eksponentti kantaluku an = a ·a · · · ·a nZ+ e) 31 = 3 f) 05 = 0 Esim 1a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. b) (-2)4 = (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) = 16 c) -24 = -(2 · 2 · 2 ·2) = -16 d) (-2)3 = -2 · (-2) ·(-2) = -8

  31. POTENSSIN LASKUSÄÄNTÖJÄ MAA0 Esimerkki 2 a) x3 · x2 = x3+2 = x5 1) am ∙ an = am+n 3) (ab)n = an bn c) (2x)3 = 23x3 = 8x3 5) (am)n = amn e) (x3)4 = x12

  32. MAA0 Esimerkki 3 = 6x2 Käytetään kaavaa (ab)n = an bn käänteiseen suuntaan c) 0,01999 · 100999 =(0,01 · 100)999 =1999 = 1 = x9-7 = x2

  33. Nollas ja negatiivinen potenssi MAA0 a0 = 1, a  0 siis 00 ei ole määritelty

  34. Esimerkki 4 a) 50 = 1 b) 2-3 MAA0 Eli kun luku korotetaan potenssiin -1, niin saadaan luvun käänteisluku c) 4-1 Kun eksponentti on 0 tai negatiivinen, niin potenssin laskulait säilyvät

  35. Kymmenpotenssimuoto MAA0 Kerroin on ykkösen ja kymmenen välillä sekä eksponentti kokonaisluku a·10n, missä 1a10 ja nZ Tarkista laskin 290 1,24 ·1027 2-90 8,08 ·10-28 32 000 000 000 000 / 16 000 000 000 = 2000 3,2 EXP 13 / 1,6 EXP 10 3,2 x 1013 / 1,6x1010 Esimerkki 1 a) 320 000 000 000 = 3,2 · 1011 b) 0,000 000 232 = 2,32 · 10-7

  36. Neliöjuuri MAA0 Luvun a neliöjuuri: Juurrettava a ei saa olla negatiivinen

  37. Esimerkki 1 Laske neliön sivun pituus. MAA0 A=14,6m2 a) b) A=9m2 Esimerkki 2 = 0,3 4 0 42 = 16 Ei ratkaisua reaalilukujen joukossa

  38. MAA0 Esimerkki Tutki neliöjuuren määritelmän avulla, onko i) 1234 0 ii) 12342 = 1522756  1522766 Vastaus: ei ole

  39. Yhtälö x2 = a x2 = a MAA0 Jos a < 0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua Jos a=0, niin yhtälön ratkaisu on x=0

  40. Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö a) x2 = 9 MAA0 c) 4x2 + 16 = 0  4x2 = -16 |:4  x2 = -4 ei ratkaisua reaalilukujoukossa  x = 3 b) x2 - 121 = 0  x2=121  x = 11

  41. Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö MAA0 | :2 x = 62 x = 36

  42. Kuutio ja kuutiojuuri MAA0 Luvun a kuutiojuuri: Huom. Juurrettava voi olla myös negatiivinen Siis luvun a kuutiojuuri on se luku, jonka kolmas potenssi eli kuutio on a

  43. Esimerkki 1 23 = 8 (-3)3 = -27

  44. Yhtälö x3 = a x3 = a Esimerkki 2 27x3 = -1 | :27

  45. Kuutiojuuren laskusääntöjä MAA0 1. 2. 3. 4.

  46. Esimerkki 3 Sievennä MAA0 =2 = 4

  47. Muut juuret Parilliset juuret MAA0 luetaan: n:s juuri a:sta tarkoittaa yhtälön xn = a ei negatiivista ratkaisua Parittomat juuret tarkoittaa yhtälön xn = a ratkaisua

  48. MAA0 Esimerkki 4 = -2, sillä 25 = -32 ei määritelty = 2, sillä 24 = 16 ja 2  0

  49. Yleinen potenssi MAA0 Murtopotenssi Huom. Murtopotenssit vain ei-negatiivisille kantaluvuille Murtopotenssi

  50. Esimerkki 1 Esitä murtopotenssina MAA0 Esimerkki 2 Esitä juurena

More Related