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第九章 梁的弯曲

第九章 梁的弯曲. 9.1 工程中梁弯曲的概念. 梁平面弯曲的概念. 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为 弯曲变形 或简称 弯曲 。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。. 当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为 平面弯曲 。. 9.1.2 单跨静定梁的类型 梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式： (1) 简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。 (2) 悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

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第九章 梁的弯曲

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  1. 第九章 梁的弯曲

  2. 9.1 工程中梁弯曲的概念 梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形 或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

  3. 当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为 平面弯曲。 9.1.2单跨静定梁的类型 梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式： (1)简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。 (2) 悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。 (3) 外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座之外。

  4. 9.2 梁的内力—剪力和弯矩 9.2.1梁的­剪力和弯矩 梁在外力作用下，其任一 横截面上的内力可用截面 法来确定。现分析距A端 为x处横截面m-m上的内 力。如果取左段为研究 对象，则右段梁对左段梁 的作用以截开面上的内力 来代替。存在两个内力 分量：内力FQ与截面相 切，称为剪力， 内力偶矩M称为弯矩，

  5. 9.2.2剪力和弯矩的正负号规定 即微段有左端向上而右端向下的相对错动时， 横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。 当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时， 横截面上的弯矩为正号，反之为负号。

  6. 9.2.3计算指定截面上的剪力和弯矩 例题9.1外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2 都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接 近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。

  7. 解：1.根据平衡条件求约束反力 2.求截面1-1的内力 3.求截面2-2的内力

  8. 4.求截面3-3的内力 5.求截面4-4的内力 比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧 截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。

  9. 比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面 上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即： 若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。

  10. （2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧 （左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力 矩的代数和。即： 若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正” 或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。

  11. 例题9.2一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。例题9.2一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。

  12. 解：1.根据平衡条件求出约束力反力 2.求指定截面上的剪力和弯矩 截面C：根据截面左侧梁上的外力得： 截面B左、B右：取右侧梁计算，得：

  13. 在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力； 在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。

  14. 9.3梁的内力图—剪力图和弯矩图 9.3.1 剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数， 梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)

  15. 9.3.2剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。

  16. 例题9.3图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图例题9.3图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程 (0＜x＜l ) (0≤x＜l) 2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：

  17. 例题9.4简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力由对称关系，可得：

  18. 2.列剪力方程和弯矩方程 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端，其值为FQ,max= 最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax

  19. 例题9.5简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。例题9.5简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段： （0<x<a） (0≤x≤a)

  20. 例题9.6简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。例题9.6简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 2.列剪应力方程和弯矩方程 AB段： （0<x<l）

  21. CB段： (a<x<l) (0≤x≤l) 3.作剪力图和弯矩图

  22. AC段： (0≤x≤a) CB段： (a<x≤l) 3.绘出剪力图和弯矩图

  23. 例题9.6简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。例题9.6简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 2.列剪应力方程和弯矩方程 AB段： （0<x<l）

  24. CB段： (a<x<l) (0≤x≤l) 3.作剪力图和弯矩图

  25. 9.4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系 9.4.1 分布荷载集度与剪力、 弯矩 (q与FQ、M)之间的微分关系 微段的平衡，得

  26. 弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线， 若q(x)>0,弯矩为上凸曲线， 弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致. 9.4.2 常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系 1.剪力图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时， 若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线； 若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。

  27. 剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；

  28. (2)无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外 力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图 是连续无变化。 2.弯矩图与荷载的关系 • 在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。 (2)当q(x)朝下时， M图为上凹下凸。 当q(x)朝上时， M图为上凸下凹。

  29. (3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力 向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针 方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之， 由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于 该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次 抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时， M图为斜直线。

  30. (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之， 弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。 左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。 例题9.7简支梁如图所示， 试用荷载集度、剪力和弯 矩间的微分关系作此梁的 剪力图和弯矩图。 解： 1. 求约束反力 2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下：

  31. FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN FQD=5kN F QB左=－15kN 3. 画M图 MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－10kN×2m=40kN.m M­D右= 15kN×4m－5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0

  32. 例题9.8一外伸梁如图示。试用荷载集度、 剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。 解：1.求约束力 2.画内力图 (1)剪力图 ACB段： FQ图为一水平直线 FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。

  33. FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0 作梁的剪力图 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m FQ<0,故M图为一右上斜直线， 在C处弯矩有突变。 CB段： MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线， MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m, MD=0

  34. 9.5 用叠加法作梁的弯矩图 叠加法是先求出单个荷载作用下的内力 （剪力和弯矩），然后将对应位置的内力相加， 即得到几个荷载共同作用下的内力的方法。 例题9.9 简支梁所受荷载如图，试用叠加法作M图。

  35. 解：1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图 3. 叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图 注意：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的相加。

  36. 9.6 应力状态与强度理论 • 9.6.1 应力状态的概念 一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点的 各个不同截面上的应力情况。 应力状态分类： 应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。 全部应力位于同一平面内时，称为平面应力状态； 全部应力不在同一平面内，在空间分布， 称为空间应力状态。

  37. 主应力、主平面： 在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零， 而只有正应力。这样的单元体称为主单元体， 这样的单元体面称主平面。主平面上的正应力 称主应力。 通常按数值排列，用字母σ1、σ2和 σ3分别表示。 应力状态按主应力分类： （1）单向应力状态。在三个相对面上三个主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个主应力中有两个主应力不等于零。

  38. （3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。 例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在 三向应力状态下， • 9.6.2 强度理论 1、最大拉应力理论（第一强度理论）： 理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素 。 最大拉应力σ1达到该材料在简单拉伸时最大拉 应力的危险值材料引起断裂。 其强度条件为：σ1≤[σ] 理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。

  39. 2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)： 理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。 拉断时伸长线应变的极限值为 断裂准则为： 第二强度理论的强度条件： 理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时的断裂破坏。

  40. 3、最大剪应力理论（第三强度理论） 理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。 单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的 τmax= s/2时 任意应力状态下 屈服准则：

  41. 第三强度理论建立的强度条件为： 在机械和钢结构设计中常用此理论。 4、形状改变比能理论(第四强度理论)： 第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。 单向拉伸时，的形状改变比能。 就是导致屈服的形状改变比能的极限值。

  42. 形状改变比能屈服准则为： 在复杂应力状态下，单元体的形状改变比能为: 整理后得屈服准则为：

  43. 按第四强度理论得到其强度条件为： 最大剪应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服 现象 5、莫尔强度理论 莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫尔摩擦定律)。 综合最大剪应力及最大正应力的因素 把一点处材料破坏时的最大应力圆称为极限应力圆。

  44. 莫尔认为：材料在各种不同的应力状态下，发生莫尔认为：材料在各种不同的应力状态下，发生 破坏时的所有极限应力圆的包络线为材料的极限 曲线；无论一点处的应力状态如何，只要最大应 力圆与极限曲线相切，材料就发生强度失效， 其切点对应该破坏面。 莫尔强度条件为： 对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、岩石和土体等，在以压为主的应力状态下，该理论与试验结果符合的较好。

  45. 综合以上强度理论所建立的强度条件，可以写出统一的形式： σr≤[σ] σr称为相当应力

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