제 7 장 Z 변환

1. 제7장 Z변환

2. 7.1 서론 • 푸리에 변환 및 라플라스 변환: 연속시간 신호의 경우에 시간 영역에서의 계산을 다른 영역에서 해석하고 주어진 문제를 풀기 위한 도구 • 푸리에 변환은 라플라스 변환의 부분집합으로서 라플라스 변환을 허수 축에서만 생각한 것이 푸리에 변환 • 공통점: 두 방법 모두 시간영역에서의 중첩적분이 변환된 영역에서는 곱으로 나타나는 특징을 이용하여 입력 신호와 시스템의 임펄스 신호의 중첩적분을 계산하지 않고 각각의 변환을 곱하고 이를 다시 역변환하여 출력을 얻을 수 있었다. • 차이점: 푸리에 변환이 시스템과 신호가 모두 안정한 경우에만 존재하는데 비하여 라플라스 변환으로는 불안정한 신호와 시스템까지도 표현할 수 있다는 것이다. • 라플라스 변환: 주어진 입력에 대한 출력을 구하는 경우에는 보통 많이 사용 • 푸리에 변환: 시스템의 주파수 응답을 알아내거나 입력을 어떻게 필터링할 것인가를 알아볼 때 • z변환과 이산시간 푸리에 변환의 관계: 라플라스 변환과 연속시간 푸리에 변환의 관계와 같다. : 즉, 이산시간 푸리에 변환은 z변환의 일부 영역에서의 결과이고 이산시간 푸리에 변환은 안정한 신호와 시스템의 표현에만 사용될 수 있는 반면에 z변환은 불안정한 신호와 시스템도 표현 가능. 그리고 필터링, 시스템의 주파수 응답 등의 응용 시에는 푸리에 변환을 많이 사용하고, 시스템의 입력에 대한 출력을 구할 때에는 z변환을 많이 사용한다. 그러나 입력과 시스템이 안정한 대부분의 실제 응용 분야에서는 푸리에 변환과 z변환은 변수를 달리 표현했을 뿐 똑같은 것. • 7장에서는 우선 z변환이 어떻게 정의된 것인가를 생각해 보고 이산시간 신호와 시스템을 z변환으로 표현해 본다. 그리고 입력과 시스템의 임펄스 응답이 주어졌을 때 이들 각각의 z변환을 구하고 이들을 곱한 후 그 결과를 역변환 하여 출력을 얻는 과정을 살펴본다. 유용한 몇 가지 z변환의 특성 및 z변환 결과도 마지막으로 알아보도록 한다.

3. 7.2 z변환 • 라플라스 변환의 가장 주요한 특성 중의 하나가 시간 영역에서의 중첩적분을 변환 영역에서는 곱으로 나타낼 수 있어서 계산 면에서 시간 영역에서 수행하는 것보다 유리할 뿐만 아니라 직관적으로도 주파수 분포, 시스템의 특성 등에 대한 정보를 쉽게 얻을 수 있다는 것이다. • 중첩합이 변환영역에서 곱으로 표현되는가? (예) 그림 7.1에서와 같이 계수가 인 3탭 필터에 가 입력되고 있다고 하자. 그러면 앞에서 배운 바와 같이 입출력의 관계는 다음과 같은 중첩합이 된다 (7.1) 그림과 같은 탭이 3개 입력이 3개 뿐인 시스템 (7.2) 위 식으로부터 또는 그림 7.1에서와 같이 입력을 그려가면서 출력을 구할 수 있다. (7.3) 그림 7.1 3탭 FIR 필터

4. 이와 같은 중첩합을 곱으로 나타내는 변환은 어떤 것일까? : 결국 을 변환한 것과 의 변환을 곱하였을 때 그 결과의 역변환이 이 되도록 하는 변환을 정의하여야 한다. [해] 신호와 시스템이 각각 3개씩으로 각각의 z변환은 다음과 같다. (7.5) (7.6) (7.7) : (7.7)의 역변환을 통하여 출력을 구해 보면 식 (7.3)의 출력과 일치함을 알 수 있다.(역변환은 단순히 의 계수가n번째 출력) • 식 (7.4)～(7.6)은 신호가 시간 0 이상에서만 존재하는 경우와 같은 특별한 경우에 대한 식이고, 일반적인 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (7.8) • 이산시간 신호의 푸리에 변환 (5.18): z변환의 z 대신에 를 대입한 것 • 연속시간 신호와 시스템에서 푸리에 변환: 라플라스 변환의 s대신에 를 대입한 것 [해석] 1) 연속시간 시스템: s라는 복소 평면에서 허수 축을 따라 라플라스 변환을 살펴 본 것이 푸리에 변환이라는 것 2) 이산시간 시스템: z라는 복소평면에서 라는 단위원에서 z 변환을 계산한 것이 푸리에 변환이 되는 것이다. 즉, 푸리에 변환은 z변환의 일부인 단위원 상에서의 값이며 는 0부터 까지 그 의미를 갖는다.

5. 7.3이산시간 신호의 z변환 • 일반적인 신호의 z 변환 7.3.1 : 안정한 인과 신호(stable and causal signal) (7.9) • 공비의 크기가 1보다 작다면 위의 식은 다음과 같이 간단하게 된다. (7.10) (7.11) • 즉, 위의 영역에서 변환 표현이 가능하며 이를 ROC(region of convergence)라 한다. 이 예에서의 ROC는 식 (7.11)로부터 알 수 있듯이 복소 평면에서 반지름이 1/2인 원의 바깥부분이다. • 식 (7.11)의 ROC 내에 단위원이 포함되므로 이 예에서와 같이 안정한 신호는 변환뿐만 아니라 푸리에 변환도 존재한다. 7.3.2 : 불안정한 인과 신호 • 다음과 같이 주어진 ROC에서 변환 표현이 가능 (7.12) • 즉, 반지름 2인 원의 바깥에서 z변환이 가능하다. 이 경우는 앞의 예와는 달리 ROC가 단위원을 포함하지 않고 있으며 따라서 푸리에 변환이 존재하지 않는다. 결국 이와 같은 불안정한 신호는 z변환은 가능하지만 푸리에 표현은 불가능하다.

6. 인과 신호의 경우에 일반적인 z변환 (7.13) 7.3.3 : 불안정한 비인과 신호 (7.14) : 즉, ROC가 반지름 1/2인 원의 내부가 된다. 따라서 푸리에 변환은 없다. • 위의 식에서 분자 분모를 모두 로 나누면 (7.15) 7.3.4 : 안정한 비인과 신호 (7.16) • ROC가 반지름 2인 원의 내부이며 따라서 푸리에 변환이 존재한다. 즉, 안정한 신호의 변환의 ROC는 단위원을 포함 (7.17)

7. 비인과 신호의 경우에 일반적인 z변환 (7.18) 7.3.5불안정한 양방향의 신호: • 이 신호의 z변환 (7.20) • 위 식의 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항은 각각 다음과 같이 수렴할 것이라 기대된다. (7.21) (7.22) • 그러나 (7.21)이 성립할 조건은 이고 (7.22)가 성립할 조건은 이므로 (7.20)의 두 항이 동시에 수렴할 수 있는 공통 조건은 없다. 따라서 이와 같은 경우에는 변환이 존재하지 않는다. 7.3.6 FIR 신호의 z변환 • FIR 신호의 경우 위의 예에서와 같이 굳이 유리식으로 표현하지 않고 다항식으로 그대로 두어도 된다. • 인과 신호의 경우: ROC를 따지자면, z변환이 의 다항식이므로 을 제외한 모든 영역 • 비인과 신호의 경우: 를 제외한 모든 영역, 양방향인 경우는 이 두 곳을 제외한 모든 영역. 그러나 FIR 신호인 경우 ROC가 별 의미를 주지는 않는다.

8. 7.4이산시간 시스템의 z변환 표현 • FIR 시스템의 z변환 표현 • IIR 시스템의 z변환 표현 • FIR 필터를 사용하는 경우: IIR 필터에 비하여 안정성 등의 몇가지 장점이 있으므로 많은 응용분야에서 원하는 모양의 주파수 응답을 갖는 FIR 필터를 설계하여 사용 • IIR 필터를 사용하는 경우: 기존의 연속시간 시스템을 주파수 응답의 모양에 큰 의미를 두지 않고 연속시간영역 또는 주파수영역의 식을 그대로 이산시간 영역으로 옮기는 경우, 또는 주파수 영역에서 어떤 특별한 이유가 있고 FIR 필터로 구현하기 어려운 경우에 IIR 필터를 사용 (예) 연속시간 시스템을 이산시간에서 구현하고자 할 때 주파수 분석을 통한 FIR 시스템으로 구현하지 않고 시간 영역에서 바로 IIR 시스템으로 구현하는 가장 간단한 구체적인 예 • 1차 미분 방정식으로서 2장에서 학습한 RC필터 등이 이와 같이 모델링 (7.25) • 5.4절의 식 (5.78)을 그대로 다시 쓰면 (7.26) • 위의 식을 (7.25)에 대입 (7.27) (7.28) : 미분방정식의 경우 초기치가 주어져야 특정해를 구할 수 있으므로 가 주어진 상태이고 입력 의 식을 안다면 임의의 샘플간격 에서의 출력값 를 구할 수 있다. • (7.25)를 가장 간단한 방법으로 근사화한 이산시간 시스템의 점화식 (그림 7.2) (7.30) 여기서 , , 임펄스 응답:

9. 그림 7.2 IIR 시스템 [IIR 시스템의 z변환 표현을 위해서 우선 한 샘플 지연된 신호의 z변환 표현] • 한 인과 신호 의 z변환 (7.31) • 한 샘플 지연시킨 의 z변환 (7.32) • 비인과 신호의 경우도 결과는 동일 • 식 (7.30)의 양 변을 z변환 (7.33) • 따라서 그림 7.2의 IIR 시스템의 전달함수는 (7.34)

10. 이 시스템(7.34)의 푸리에 변환 (7.35) • 따라서 이 시스템의 주파수에 따른 크기 응답과 주파수 응답은 다음 식과 같고 인 경우 크기 응답을 구간에서 그리면 그림 7.3과 같다. (7.36) (7.37) : IIR 시스템은 전달함수가 분모만 있는 all-pole시스템과 분자분모 모두 있는 pole-zero시스템으로 구분 가능한데, 위의 예에서 본 시스템은 1차 all-pole시스템이다 그림 7.3 1차 IIR 필터의 주파수 응답

11. (예) 3차 all-pole시스템의 경우 (7.38) • 전달함수로부터 차분방정식을 구하면 (7.39) (7.40) • 시간 영역에서의 차분방정식 (7.41) • 따라서 이의 회로는 그림 7.4와 같이 구현할 수 있다. 이를 좀 더 보기 좋게 구현한 것이 그림 7.5이며 신호 흐름도는 그림 7.6과 같다. 그림 7.6식 (7.41)의 신호 흐름도 그림 7.4식 (7.41)의 구현 그림 7.5그림 7.4와 같은 회로

12. (예) Pole-zero IIR 필터의 3차 시스템 (7.42) • 시간영역에서의 차분 방정식 (7.43) • pole-zero 필터를 구현하기 위해서는 위와 같이 차분 방정식을 생각하는 것보다는 그림 7.7과 같이 (7.42)를 all-pole 부분과 all-zero 부분의 직렬 연결로 생각하는 것이 더 편리 (7.44) (7.45) • 식 (7.45)에서 보는 바와 같이 최종 출력 은 각 의 합이므로 결국 식 (7.42)의 시스템을 구현하기 위한 신호 흐름도는 그림 7.8과 같다. 그림 7.7 Pole-zero 시스템의 분리 그림 7.8 Pole-zero 필터의 신호 흐름도

13. 7.5 z역변환 • Z역변환: 어떤 신호나 시스템의 변환이 있을 때 이를 시간영역에서 표현 • 인과 신호의 경우 (7.46) • 비인과 신호의 경우 (7.47) (예) z역변환 (7.48) 부분합 표현 (7.49) (7.50) (7.51) (7.52)

14. 식 (7.52)의 역 변환은 다음과 같이 세 가지 가능성을 모두 따져야 한다. i) (7.53) ii) (7.54) iii) (7.55) (예) 이 시스템에 스텝 입력 이 들어왔을 때 출력을 구하는 방법 • 스텝 입력의 변환 (7.56) • 위 시스템도 인과 시스템이어서 >1/2에서 정의된 것이라 하면 출력 의 z변환 는 물론 >1에서 정의되며 다음과 같이 나타난다. (7.57) • 부분합 표현을 통하여 역 z변환을 수행함으로써 출력을 구할 수 있다.

15. 7.6자주 사용되는 z변환 (7.67) (7.68) (7.69) (7.70) (7.71) (7.72) (7.73) (예) 입력 이고, 시스템의 임펄스 응답도 이면,