ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2. Определение функции нескольких • переменных • Геометрическое изображение функции • двух переменных • Частное и полное приращение функции • Предел и непрерывность функции • нескольких переменных

3. § 1. Определение функции нескольких переменных S = xy y x z V = xyz y x

4. Определение1.1 Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. или

5. Способы задания функции двух переменных • Табличный (таблица) • Аналитический (формула) • Графический (график) • Словесный (словесное описание функциональной • зависимости) S = xy x y

6. Определение1.2Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции. Геометрически: если каждую пару значений xи yизобразить точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.

7. Линия, ограничивающая область определения –граница • области • Точки области, не лежащие на границе –внутренние точки • области • Область, состоящая из одних внутренних точек –открытая • (незамкнутая) • Если к области относятся и точки границы –замкнутая • область Определение1.3 Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. |OM| < C.

8. Пример 1:Определить естественную область определения функции z = 2x –y Аналитически выражение z = 2x –yимеет смысл при любых значениях x и y. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. у О х Рис. 1

9. Пример 2:Определить естественную область определения функции Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству или Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга. у 1 О 1 х Рис. 2

10. Пример 3:Определить естественную область определения функции Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство или у Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у = –х, не включая самой прямой (рис. 3) х О у= -х Рис. 3

11. Пример 4:Площадь треугольника S с основанием х и высотой у. у х Рис. 4 Областью определения этой функции является область х> 0, у> 0(т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция.

12. Определение1.3 Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x,y, z, … , u, tсоответствует значение переменнойw, то wназывают функцией независимых переменных x,y, z, … , u, tи записывают или Область определения функции четырех или большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

13. § 2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных Рассмотрим функцию определенную в области G на плоскости Оху, и систему прямоугольных декартовых координат Охуz(рис. 5). z P Получили в пространстве точку Р с координатами х,у,z = f(x, y). z=f(x,y) O у у х х G Рис. 5

14. Определение2.1 Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных. Уравнение в пространстве определяет некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции. Параболоид вращения Рис. 6

15. § 3. Частное и полное приращение функции нескольких переменных Рассмотрим функцию Величину называют частным приращением z по х(у = const). Величину называют частным приращением z по y(x = const). Величину называют полным приращением функцииz.

16. § 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных Определение 4.1 Окрестностью радиуса rточки M0(x0,y0)называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству т. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке M0(x0,y0). y M0(x0,y0) M(x,y) r O x Рис. 7

17. Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает каким-либо свойством «вблизи точки (х0, у0)» или «в окрестности точки (х0, у0)», то подразумевают, что найдется такой круг с центром (х0, у0), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Определение4.2 Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x,y)к точке M0(x0,y0), если для каждого ε> 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство Имеет место неравенство

18. Определение4.3 Пусть точка M0(x0,y0) принадлежит области определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y)называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если имеет место равенство причем точка M(x,y) стремится к точке M0(x0,y0) произвольным образом, оставаясь в области определения функции Определение4.4 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области.

19. Пример 6: Вычислить предел Решение: В точке (0; 2) функция определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей области определения функции. Тогда для вычисления предела воспользуемся равенством Получим: Ответ:

20. Пример 7: Вычислить предел Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0. Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на величину у и произведем замену u = xy. Получим: Ответ:

21. Определение4.5 Если в некоторой точке N0(x0,y0) не выполняется условието точка N0(x0,y0) называется точкой разрыва функции z = f(x, y). Условие непрерывности может не выполняться в следующих случаях: z = f(x, y)определена во всех точках некоторой окрестности точки N0(x0,y0), за исключением самой точки N0(x0,y0); z = f(x, y)определена во всех точках окрестности N0(x0,y0), но не существует предела z = f(x, y)определена во всех точках окрестности точки N0(x0,y0) и существует предел но

22. Пример 6:Функция непрерывна при любых значениях хи у, т. е. в любой точке плоскости Оху.

23. Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области Dдостигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m Свойство 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области Dи если М и m– наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для любого числа µ, удовлетворяющего условию m< µ < М, найдется в области такая точка N*(x0*,y0*, …), что будет выполняться равенство f(x0*,y0*, …) = µ.

24. Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …) обращается в нуль.