案例 6 等比数列求和公式

1. 案例 6 等比数列求和公式 • 《几何原本》第 9 卷命题 35

2. 案例 6 等比数列求和公式 References [1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press. [2] C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of the History and Philosophyof Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45 [3] 汪晓勤, 韩祥临 (2002). 中学数学中的数学史, 北京: 科学出版社 [4]汪晓勤等 (2003).HPM视角下的等比数列教学，中学教研（数学）, (7) [5] 汪晓勤(2006). 几何视角下的等比数列求和公式. 中学数学教学参考, (2)

3. 案例 7 椭圆的方程 N. Guisnée《代数在几何上的应用》 (1705年)

4. 案例 7 椭圆的方程 《圆锥曲线解析》(1707) M. de L’Hospital 1661-1704

5. 案例 7 椭圆的方程 斯蒂尔《圆锥曲线论》(1745)

6. 案例 7 椭圆的方程 ， 赖特（J. M. F. Wright）《圆锥曲线之代数体系》（1836）

7. 案例 7 椭圆的方程 罗宾逊（H. N. Robinson, 1806-1867） 《圆锥曲线与解析几何》 （1862）

8. 案例 7 椭圆的方程 ， 查尔斯·戴维斯（C. Davies, 1798-1876）《解析几何基础》（1867）

9. 案例 7 椭圆的方程 查理·斯密（C. Smith, 1844-1916）《圆锥曲线初论》（1890） ，

10. 案例 7 椭圆的方程 References [1] Guisnée,N. Application de l'Algebre à la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-72 [2] L’Hospital, M. de. Traité Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-25 [3] Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geometry. New York: Ivison, Phinney & Co., 1862. 140-141 [4] Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St John’s Gate, 1745. 17 [5] Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London: Black & Amstrong, 1836. 94-95 [6] Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-96 [7] Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 112-113

11. 案例8 和角公式 • 托勒密（2世纪）

12. 案例8 和角公式 • 托勒密（2世纪）

13. 案例8 和角公式 • 帕普斯（Pappus, 3世纪末）《数学汇编》

14. 案例8 和角公式 • 帕普斯（Pappus, 3世纪末）《数学汇编》

15. 案例8 和角公式 • 阿布·韦发(Abu’l-Wefa, 940-998)

16. 案例8 和角公式 • 克拉维斯（C. Clavius, 1537-1612）《星盘》(1593)

17. 案例8 和角公式 • 阿布·韦发的启示

18. 案例8 和角公式 • 阿布·韦发的启示

19. 案例8 和角公式 • 面积变换法之一

20. 案例8 和角公式 • 面积变换法之二 1 1

21. 数学史与中学数学教学 • 一座宝藏 • 一条进路 • 一缕书香 • 一种视角 • 一个领域

22. 2 一条进路 • 在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。 • 为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理） • 为什么 是无理数？（不可公度量的发现） • 为什么 ？（均值不等式） • 为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷） • 为什么函数 是奇函数？

23. 2 一条进路 • 为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为什么 ？ • 为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？ • 为什么将幂指数称为“对数”？ • 为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？ • 为什么称未知数为“元”？

24. 2 一条进路 • 为什么要将圆周分成360度？ • 1年＝360天； • 60 进制 • 迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分。

25. 2 一条进路 • 古希腊天文学家Hypsicles (c. 180 B.C.) 将黄道圆分成360等分 • 托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。

26. 2 一条进路

27. 2 一条进路 • 为什么巴比伦人选择60进制（以60为底）？ • Theon（4世纪）：60是能被1、2、3、4、5整除 的最小正整数。 • 诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899-1990）：可以将度量三 等分。 • 康托：巴比伦人知道一年有 360天；

28. 2 一条进路 • 60是一年中的月数与行星（金、木、水、火、土）个数的乘积； • 苏美尔人将等边三角形看作是基本几何图形，而等边三角形内角为60度，因此若将60十等分，则就成为基本的角度单位，圆周含60个角度单位，故巴比伦人选择60为底； • 人除左手拇指为2节外，另四指各有3节，共12节；分别用右手五指数这12部分，得60。 • 苏美尔文明融合了两种文明，其中一个文明采用12进制，另一文明采用5进制。

29. 2 一条进路 • 许凯（N. Chuquet, 1445～1488）《算学三部》 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20 • 4对应的数16自乘，等于8对应的256； • 7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。

30. 2 一条进路 • 施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《艺术新作》（1521） 0 1 2 3 4 5 … 16 1 2 4 8 16 32 … 65536 • 第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。 • 第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。 • 第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。 • 第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。

31. 2 一条进路 • 斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》（1544） 0 1 2 3 4 5 6 7 8… 1 2 4 8 16 32 64 128 256… • 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法； • 等差数列中的减法对应于等比数列中的除法； • 等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方； • 等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。

32. 2 一条进路 • 克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)《实用算术概论》(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … • 32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍； • 8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。

33. 2 一条进路 • 纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）

34. 2 一条进路 • 薛凤祚（?～1680）《比例对数表》(1653) 《数理精蕴》：“对数比例，乃西士若往·讷白尔所作。以借数与真数对列成表，故名对数表。……其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。”