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1. 离散　　数学 冯伟森 计算机学院 Email：fws365@scu.edu.cn 2014年10月31日星期五

2. 主要内容 1、群中元素的周期和性质。 2、左（右）陪集 3、Lagrange 定理 4、正规子群与商群 计算机学院

3. 元素的周期 设a是群G的生成元，对（a）={an|nZ}，有以下两种不同的情况： • 存在整数i和j(i≠j)，有 ai＝aj • 对任意的整数i和j(i≠j) ，有 ai≠aj 第一种情况表明有无限多个整数n，使得 an=e。 由此引出元素周期的概念。 计算机学院

4. 定义15.5设<G，*>是一个群，对aG，若有an=e，(其中：nZ+，且n是使得an=e成立的最小的正整数)，则称n为元素a的周期或为元素a的阶数；若对aG，这样的n不存在，则称元素a的周期为。定义15.5设<G，*>是一个群，对aG，若有an=e，(其中：nZ+，且n是使得an=e成立的最小的正整数)，则称n为元素a的周期或为元素a的阶数；若对aG，这样的n不存在，则称元素a的周期为。 例如：在剩余类加群<Z6，>中， 元素[1]、[5]的周期是6； 元素[2]、[4]的周期是3； 元素[3]的周期是2；元素[0]的周期是1。 计算机学院

5. 定理15.10 设<G，*>是一个群，对aG，若a的周期为n，则 am =e当且仅当n|m； ai＝aj当且仅当n|(i-j) 由a生成的子群恰有n个元素，即 （a）= ｛e，a，a2，a3，…，an-1｝ 计算机学院

6. 证明：①“”(反证法) 设am=e。 若n|m不成立，则qZ，使得 m=nq+r(1rn-1)， 由a的周期为n，且am=e，有： am＝anq+r＝anq*ar＝(an)q*ar＝eq*ar＝ar＝e 由于1rn-1，这就与a的周期为n矛盾， 所以有n|m。 “”设n|m。 则kZ，使得m=nk，于是有： am＝ank＝(an)k＝ek＝e 所以有am=e。证毕。 计算机学院

7. 例15-3.1 设<G，*>是一个群，对a，bG，若a的周期为2，b的周期为3，且有：a*b=b*a，证明a*b的周期为6。 解：设a*b的周期为n，则有 (a*b)n=e，由于a*b=b*a，且运算“*”满足结合律，所以有： (a*b)6=a6*b6=e*e=e， 由定理15.10 知： n|6，即n=1，2，3，6， 若n=1，2，3，则有： (a*b)¹=a*be (因若a*b=e，则由a²=e， 有a*a=a*b，由消去律知：a=b，矛盾) (a*b)²=a²*b²=e*b²=b²e (因b的周期为3)， (a*b)³=a³*b³=a³*e=ae (因a的周期为2)， 所以，只有当n=6时，才有 (a*b)n=e。 计算机学院

8. 陪集 群的子群反映了群的结构和性质，因此需要研究群与子群的关系和子群的性质。 定义15.6　设<G，*>是一个群，<H，*>是<G，*>的任一个子群， aG，集合 Ha＝{h*a|(一切hH)} 称为H在<G，*>中关于a的一个右陪集； aH＝{a*h|(一切hH)} 称为H在<G，*>中关于a的一个左陪集； 由左（右）陪集构成的集合的基数称为 子群的指数。 计算机学院

9. 例15-4.1 三次对称群<S3，>的一个子群为H={（1），（1 2）}，其左、右陪集分别为： （1）H=（1 2）H=H， (1 3)H=(1 2 3)H={(1 3),(1 2 3)}， (2 3)H=(1 3 2)H={(2 3),(1 3 2)}。 H（1）=H（1 2）=H， H（1 3）=H（1 3 2）={(1 3),(1 3 2)}， H（2 3）=H（1 2 3）={(2 3),(1 2 3)}。 从此例我们可以发现以下事实： 计算机学院

10. 事实 • H关于同一元素的左（右）陪集可能不相同，如 （1 3）H≠H（1 3）； • 凡是同属某个左（右）陪集的元素，它们对应的左（右）陪集相同； • 任何两个左（右）陪集要么相同，要么无公共元素； • 所有左（右）陪集的元素数目相同。 根据这些事实，我们可以建立下述关于群中元素间的等价二元关系。 计算机学院

11. 定理15.11 设H是群G的子群，a，bG，在G中建立二元关系：aRbbaH，则R是G上的一个等价关系。（这里的R是以同属一个左陪集为判断标准） 因为等价关系R可以确定群G的一个等价划分，每个左陪集就是分划中的一块（等价类），所以G可以表示为 G=H∪a1H∪a2H∪‥‥ 同理，也可以得到右陪集的分解式 G=H∪Ha1∪Ha2∪‥‥ 计算机学院

12. 定理15.12设<H，*>是群<G，*>的子群，则 H的所有左（右）陪集都是等势的。 证明： 只需证明对aG，都有aH～H就行了。 由于aH＝{a*h|hH}，对h1,h2H，且h1h2，有：a*h1a*h2 (若a*h1＝a*h2，因G是群，所以满足消去律，两边消去元素a，有h1＝h2，矛盾)，所以，可定义H上的双射f：H→aH如下：对hH，f(h)=ah； 因此 aH～H。 计算机学院

13. 例15-4.2 求群<Z4，>的子群<{[0]，[2]}，>的一切左、右陪集。 解　所有的右陪集有： H0＝{[0]，[2]}0＝{[0]，[2]}， H1＝{[0]，[2]}1＝{[1]，[3]}， H2＝{[0]，[2]}2＝{[2]，[0]}， H3＝{[0]，[2]}3＝{[3]，[1]}， 即有：H0＝H2，H1＝H3，H0∪H1＝Z4； 同理，所有的左陪集有： 0H＝2H，1H＝3H，0H∪1H＝Z4。 计算机学院

14. 拉格朗日定理 定理15.13 一个n阶有限群<G，*>的任一个子群<H，*>的阶必是n的因子。 证明： ∵G是n阶有限群，且 G=H∪a1H∪a2H∪‥‥ ∪akH ∴ |G|=|H|+|a1H|+|a2H|+‥‥+|akH| 即|H|是|G|的因子。 拉格朗日定理是从元素的数目角度给出了群的子集成为子群的必要条件,但它不是充分条件。即当m是n的因子时,n阶群不一定有m阶子群。 (如8是24的因子，但<S4，>却无8阶子群） 计算机学院

15. 推论15.13.1 有限群<G，*>中任意元素a的周期都能整除群的阶。 证明　设群G的阶为n，a的周期为m，则集合H＝{e，a，a2，…，am-1}是G的子群，而且H还是G的以a为生成元的循环子群，则由拉格朗日定理有k＝|G|／|H|是整数，即m|n。 推论15.13.2阶数为n的有限群<G，*>中，对a∈G，有 an＝e。 推论15.13.3阶数为n的有限群<G，*>都有循环子群存在，该子群的生成元的周期均能整除n。 计算机学院

16. 正规子群 由前可知，对于群G的子群H来说，H的一个左陪集aH未必等于右陪集Ha，但对G的某些子群而言，却可能有aH＝Ha（对任意的a∈G），这是一种十分重要的子群。 定义15.7 设<H,*>是群<G，*>的一个子群，如果对aG，都有aH＝Ha，则称H是G的不变子群(或正规子群)，此时H的一个左、右陪集叫做H的陪集。 计算机学院

17. 例15-5.1 任意群<G，*>的平凡子群（仅由幺元构成的群和群本身）都是G的不变子群。 交换群<G，*>的任意一个子群<H，*>都是G的不变子群； 一个循环群<G，*>的任意一个子群<H，*>都是G的不变子群。 整数加群、实数加群、有理数加群、复数加群的任意一个子群都是不变子群； 素数阶群<G，*>没有非平凡不变子群。 计算机学院

18. 定理15.14 群<G，*>的子群<H，*>是不变子群对aG，有： aHa-1H 即： 对hH 有 a*h*a-1H。 证明“”若aG，Ha＝aH， 则对h1*aHa (h1H)，a*h2aH(h2H)， 使得：h1*a＝a*h2， 即有：h1＝a*h2*a-1H。 计算机学院

19. “”对aG， aHa-1H 先证 aHHa 对 ah1aH，由 aHa-1H 必h2H，使得：a*h1*a-1＝h2， 所以有：a*h1＝h2*aHa， 同理可证 HaaH 即有：aH＝Ha； 所以H为G的不变子群。 计算机学院

20. 商群 定义15.8 设<H,*>是<G,*>的一个正规子群，G/H表示G的所有陪集的集合，则<G/H, ·>是一个群，称为商群。其中“·”定义为： • aH,bH∈G/H，aH·bH=(a*b)H。 计算机学院

21. 习题十五 • 18、19、21、22、23、 • 24(1)(3)(5)、25(1)(2) 计算机学院