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第一章 概率与统计

第一章 概率与统计. 二 统计. 1.5 正态分布. 1.5 正态分布. 一、复习. 1 、回顾样本的频率分布与总体分布的关系 ：. 由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。. 一般样本容量越大 , 这种估计就越精确。. 2 、从上一节得出的 100 个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线 ---- 总体密度曲线。. y. a. x. b. O. 总体密度曲线

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第一章 概率与统计

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Presentation Transcript

  1. 第一章 概率与统计 二 统计

  2. 1.5正态分布 1.5正态分布

  3. 一、复习 1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。 一般样本容量越大,这种估计就越精确。 2、从上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线----总体密度曲线。

  4. y a x b O 总体密度曲线 样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线 两头低，中间高，左右对称 它反映了总体在各个范围内取值的概率． 根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

  5. 3、观察上节总体密度曲线的形状，有什么特征？3、观察上节总体密度曲线的形状，有什么特征？ “中间高，两头低” 而具有这种特征的总体密度曲线，一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式。

  6. f(x)= ，x∈(－∞, +∞) ①

  7. 图1－4中画出了三条正态曲线：（1）μ=－1，σ=0.5；（2）μ=0，σ =1；（3）μ=1，σ =2．正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征． 式中的实数、(>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布。f(x)的图象称为正态曲线 正态分布由参数、唯一确定，正态分布常记作N(、2) 图1-4

  8. 例1:给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差σ。例1:给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差σ。 (1) (2) (3) =0，=1 =1，=2 =-1，=0.5

  9. 正态曲线的性质： (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交 (2)曲线关于直线x=对称 (3)当x=时，曲线位于最高点 (4)当x<时，曲线上升(增函数)；当x>时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 (5)一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中

  10. y x O 标准正态曲线:当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是 其相应的曲线称为标准正态曲线

  11. 利用P.58页表，可求出标准正态总体在任一区间 内取值的概率。 公式： 即，可用如图的蓝色阴影部分表示。

  12. 如果 ，那么由下图中两个阴影部分面积相等知： 由于标准正态曲线关于 轴对称，表中仅给出了对应与非负值 的值 。

  13. y x O x0 x0 x2 x1 即，若服从正态分布N(,2)，则 服从标准正态分布 正态分布表中，相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率 (x0)=P(x<x0)，用图形表示为(阴影部分面积) 说明： (1) (x0)=1(x0) (2)标准正态总体在任一区间(x1, x2)内取值的概率 P(x1<x<x2)= (x2)  (x1) (3)对任一正态总体N(,2)，取值小于x的概率

  14. 例2.求标准正态总体在(1,2)内取值的概率． 解：利用等式P=(x2)(x1)有 P=(2)(1)= (2) {1[(1)]} = (2)+ (1)1=0.9772+0.84131=0.8185 例3. 若x～N(0,1),求(l)P(2.32<x<1.2)；(2)P(x2). 解：(1)P(2.32<x<1.2)=(1.2)(2.32) =(1.2)[1(2.32)]=0.8849(10.9898)=0.8747. (2)P(x2)=1P(x<2)=1(2)=l0.9772=0.0228.

  15. 解：∵服从正态分布N(1,4)，则= 服从标准正态分布 例4. 服从正态分布N(1,4)，试求:(1) F(3) (2)P(2<<5) =(2)(0.5)=0.97720.6915=0.2857

  16. 例5．分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ－σ, μ+σ)， (μ－2σ, μ+2σ)，(μ－3σ, μ+3σ)内取值的概率． 解：F(μ+σ)=Ф( )=Ф(1), F(μ－σ)=Ф( )=Ф(－1),

  17. 所以正态总体N(μ, σ2)在(μ－σ，μ +σ)内取值的概率是 F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1) = Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1 =2×0. 8413－1≈0.683； 同理，正态总体N(μ，σ2)在的(μ－2σ，μ +2σ)内取值的概率是 F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2) ≈0.954； 正态总体N(μ，σ2)在的(μ－3σ，μ +3σ)内取值的概率是 F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3) ≈0.997；

  18. 上述计算结果可用下表和图来表示：

  19. 下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想．下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想． 我们从上表看到，正态总体在(μ－2σ, μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．

  20. 查表求下列各值 (0.5)、(2.3)、(1.45) (0.5)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085 (2.3)=0.9893 (1.45)=1-Φ(1.45)=1-0.9265=0.0735

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