解析几何课件 ( 第四版 )

解析几何课件(第四版) 吕林根许子道等编第一章矢量与坐标第二章轨迹与方程第三章平面与空间直线第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章二次曲线的一般理论

第一章矢量与坐标 §1.1矢量的概念 §1.2 矢量的加法 §1.3 数乘矢量 §1.4矢量的线性关系与矢量的分解 §1.5标架与坐标 §1.6 矢量在轴上的射影 §1.7两矢量的数性积 §1.8两矢量的矢性积 §1.9 三矢量的混合积

第二章轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 §2.2曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4空间曲线的方程

第三章平面与空间直线 §3.1平面的方程 §3.2平面与点的相关位置 §3.3两平面的相关位置 §3.4空间直线的方程 §3.5直线与平面的相关位置 §3.6空间两直线的相关位置 §3.7空间直线与点的相关位置

第四章柱面锥面旋转曲面 与二次曲面 §4.1柱面 §4.2锥面 §4.3旋转曲面 §4.4椭球面 §4.5双曲面

第五章二次曲线的一般理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 §5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3二次曲线的切线 §5.4二次曲线的直径 §5.5二次曲线的主直径和主方向 §5.6二次曲线方程的化简与分类

| | 或矢量的大小. 矢量的模：或 §1.1 矢量的概念定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做矢量，或称向量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 矢量(向量)既有大小又有方向的量. 有向线段矢量的几何表示：有向线段的长度表示矢量的大小, 有向线段的方向表示矢量的方向. 下一页返回

或定义1.1.2如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做相等矢量.记为单位矢量：模为1的矢量. 零矢量：模为0的矢量. ＝所有的零矢量都相等. 定义1.1.3两个模相等，方向相反的矢量叫做互为反矢量. 上一页下一页返回

定义1.1.4平行于同一直线的一组矢量叫做共线矢量.定义1.1.4平行于同一直线的一组矢量叫做共线矢量. 零矢量与任何共线的矢量组共线. 定义1.1.5 平行于同一平面的一组矢量叫做共面矢量. 零矢量与任何共面的矢量组共面. 上一页返回

定理1.2.1如果把两个矢量 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线矢量 §1.2 矢量的加法 B O A 这种求两个矢量和的方法叫三角形法则. 下一页返回

B C O A 这种求两个矢量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2矢量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）上一页下一页返回

A4 A1 A3 A2 An-1 O An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回

C A B 上一页返回

§1.3 数乘矢量 下一页返回

定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：两个向量的平行关系上一页下一页返回

‖ 证充分性显然；必要性两式相减，得上一页下一页返回

按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 上一页下一页返回

A C M B (图1.11) 例1设AM是三角形ABC的中线，求证: 如图证因为所以但因而即上一页下一页返回

例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 下一页返回

定理如果向量不共线，那么向量与 1 . 4 . 2 e , e r 1 2 共面的充要条件是可以用向量线性表示， e , e r e , e 1 2 1 2 或者说向量可以分解成的线性组合，即 r e , e 1 2 = + （－） r x e y e 1 . 4 2 1 2 并且系数被唯一确定 x , y e , e , r . 1 2 这时叫做平面上向量的基底 e , e . 1 2 定理如果向量不共面，那么空间 1 . 4 . 3 e , e , e 1 2 3 任意向量可以由向量线性表示，或说空间 r e , e , e 1 2 3 任意向量可以分解成向量的线性组合，即 r e , e , e 1 2 3 = + + - r x e y e z e , ( 1 . 4 3 ) 1 2 3 并且其中系数被唯一确定 x , y , z e , e , e , r . 1 2 3 上一页下一页返回

这时叫做空间向量的基底 e , e , e . 1 2 3 证设四面体一组 ABCD 对边的中点的连 AB , CD E , F 线为它的中点为其余 EF , P , 1 两组对边中点分别为 P , P , 2 3 下只需证三点重合 P , P , P 1 2 3 就可以了取不共面的三向量 . = = = AB e , AC e , AD e , 1 2 3 先求用，，线性表示的 AP e e e 1 1 2 3 关系式 . 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分. D e3 F P1 C e2 A E e1 上一页 B 下一页返回

连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有上一页下一页返回

³ 定义对于个向量，如果存 1 . 4 . 2 n ( n 1 ) a , a , , a L 1 2 n l l l 在不全为零的个数使得 n , , , L 1 2 n l + l + + l - ＝（ a a a 0 , 1 . 4 4 ) L 1 1 2 2 n n 那么个向量叫做线性相关，不是线性相 n a , a , , a L 1 2 n 关的向量叫做线性无关 . = 推论一个向量线性相关的充要条件为 a a 0 . ³ 定理在时，向量线性相关的 1 . 4 . 4 n 2 a , a , , a L 1 2 n 充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合 . 定理如果一组向量中的一部分向量线性相关 1 . 4 . 5 那么这一组向量就线性相关 . 推论一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关 . 返回上一页下一页

定理两向量共线的充要条件是它们线性相关 1 . 4 . 6 . 定理三个向量共面的充要条件是它们线性相关 1 . 4 . 7 . 定理空间任何四个向量总是线性相关 1 . 4 . 8 . 例4 设为两不共线向量，证明共线的充要条件是上一页下一页返回

共线线性相关，即存在不全为0 证的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回

竖轴纵轴定点横轴 §1.5 标架与坐标三个坐标轴的正方向符合右手系. 空间直角坐标系下一页返回

Ⅲ 面面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 2、坐标面与卦限空间直角坐标系共有八个卦限上一页下一页返回

坐标轴上的点 坐标面上的点有序数组 3、空间点的直角坐标空间的点称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 特殊点的表示: 上一页下一页返回

称为向量的坐标分解式. 4、空间向量的坐标返回上一页下一页

在三个坐标轴上的分向量： 显然，向量的坐标：向径： (点M关于原点O) 上一页下一页返回

5、利用坐标作向量的线性运算 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回

为直线上的点， 设 6、线段的定比分点坐标解返回上一页下一页

7、其它相关定理 定理1.5.4已知两个非零向量则共线的充要条件是定理1.5.6已知三个非零向量，则共面的充要条件是上一页返回

§1.6 矢量在轴上的射影 空间一点在轴上的投影下一页返回

空间一向量在轴上的投影 上一页下一页返回

由此定义， 关于向量的投影定理（1）证上一页下一页返回

定理1的说明： 投影为正；投影为负；投影为零； (4)相等向量在同一轴上投影相等；上一页下一页返回

关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个）上一页下一页返回

关于向量的投影定理（3） 上一页下一页返回

解上一页返回

§1.7 两矢量的数性积 实例 M2 M1 启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 下一页返回

定义结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”. 上一页下一页返回

关于数量积的说明： 证证上一页下一页返回

（3）若为数： 若、为数：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：上一页下一页返回

两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回

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