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数学实验简明教程

MATLAB 入门. 数学实验简明教程. 东南大学数学系. http://math.seu.edu.cn. 2009.10. 前 言 第 1 章 初识 MATLAB 1.1 MATLAB 界面 1.2 简单的计算与图形功能 第 2 章 矩阵及其基本运算 2.1 矩阵的输入与生成 2.2 矩阵运算 第 3 章 线性方程组 3.1 求线性方程的唯一解或特解 3.2 求线性方程的通解 第 4 章 二维绘图和三维绘图 4.1 二维图形的绘制 4.2 三维图形的绘制 附 录 实验报告模板. 前 言.

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  1. MATLAB入门 数学实验简明教程 东南大学数学系 http://math.seu.edu.cn 2009.10

  2. 前 言 第1章 初识MATLAB 1.1 MATLAB界面 1.2简单的计算与图形功能 第2章 矩阵及其基本运算 2.1矩阵的输入与生成 2.2矩阵运算 第3章 线性方程组 3.1求线性方程的唯一解或特解 3.2求线性方程的通解 第4章 二维绘图和三维绘图 4.1二维图形的绘制 4.2三维图形的绘制 附 录 实验报告模板

  3. 前 言 MATLAB: 美国MathWorks公司 20世纪80年代中期 • 优秀的数值计算/符号计算能力 • 卓越的数据可视化能力 在欧美等高校，MATLAB已经成为 线性代数/自动控制理论/概率论及数理统计/ 数字信号处理/时间序列分析/动态系统仿真 等高级课程的基本教学工具， 是攻读学位的 大学生/硕士生/博士生 必须掌握的基本技能。 

  4. 前言 MATLAB的主要特点是： • 有高性能数值计算的高级算法，特别适合矩阵代数领域； • 有大量事先定义的数学函数和很强的用户自定义函数的能力； • 有强大的绘图功能； • 具有教育/科学和艺术学的图解和可视化的二维/三维图； • 基于HTML的完整的帮助功能； • 适合个人应用的强有力的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言； • 与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力； • 有在多个应用领域解决难题的工具箱。 

  5. 前言 关于本教程： • 提供了使用MATLAB的入门指导， • 基于MATLAB7.0.4版， • 内容较浅， • 针对大一的《几何与代数》的课程需要， • 对一些基本命令的格式作了简单的说明， • 并配备了例题说明其用法， • 安排了两个实验报告模板， • 对于初学者自学是有帮助的。 

  6. 前言 需要了解MATLAB的更多内容的读者可 以使用MATLAB软件自带的帮助系统，也可 以参考有关书籍，如 [1] 李继成: 数学实验, 高等教育出版社, 2006年10月, 第1版. [2] 罗建军: MATLAB教程, 电子工业出版社, 2005年7月, 第1版. [3] 徐金明等: MATLAB实用教程, 清华大学出版社， 2005年7月, 第1版. [4] 张圣勤: MATLAB7.0实用教程, 机械工业出版社, 2006年7月, 第1版. 

  7. 第一章 初识MATLAB §1.1 MATLAB界面 一. 安装MATLAB7.0.4 • 和安装大多数软件一样， • 把MATLAB7.0.4安装盘插入光驱， • 它就会自动启动安装程序， • 用户可根据安装程序的提示和个人需要 • 顺利地完成MATLAB7.0.4的安装。 • 这里假定用户的硬件和软件系统是符合 • MATLAB7.0.4的安装需求的。 

  8. §1.1 MATLAB界面 第一章 初识MATLAB 二. 打开MATLAB • 桌面快捷按钮 • 开始菜单 

  9. §1.1 MATLAB界面 第一章 初识MATLAB 三. MATLAB7.0.4界面 标题栏 菜单栏 工具栏 当前路径窗口 命令窗口 命令历史记录窗口 

  10. §1.1 MATLAB界面 第一章 初识MATLAB 四. 获取帮助 

  11. §1.1 MATLAB界面 第一章 初识MATLAB 五. 自由探索 如果不小心关闭了当前路径窗口、命令历史记录 窗口或命令窗口 

  12. §1.2 简单的计算与图形功能 第一章 初识MATLAB §1.2 简单的计算与图形功能 一. 大材小用 1.369^2+sin(7/10*pi)*sqrt(26.48)/2.9 ans = 3.3097 >> 

  13. §1.2 简单的计算与图形功能 第一章 初识MATLAB >> 0.5-0.42-0.08 ans = 1.3878e-017 >> 0.5-0.08-0.42 ans = 0 >> 0.5-sym(0.42)-0.08 ans = 0 >> sym(0.5-0.42-0.08) ans = 2^(-56) >> 

  14. f = §1.2 简单的计算与图形功能 第一章 初识MATLAB 二. 打开简单的图形窗口 funtool 

  15. >> 第二章 矩阵及其基本运算 a = [1, 2, 3] %输入完这一行,按回车键 §2.1 矩阵的输入与生成 a = 1 2 3 >> 一. 实数值矩阵的输入 X_Data=[2.3 3.4; 4.3 5.9] %2阶方阵 X_Data = 2.3000 3.4000 4.3000 5.9000 >> clear %清除以上输入的变量 clc >> 

  16. 智能ABC输入法5.0版的几种输入状态 >> Matrix_B = [1 2 3; 2 3 4; 3 4 5] Matrix_B = 1 2 3 2 3 4 3 4 5 >> [1 2；3 4] ??? [1 2；3 4] | Error: The input character is not valid 

  17. >> §2.1 矩阵的输入与生成 第二章 矩阵及其基本运算 二. 特殊矩阵的生成 B = zeros(2,3) %生成23全零阵 B = 0 0 0 0 0 0 >> C = zeros(2) %生成22全零阵 C = 0 0 0 0 >> 

  18. >> §2.1 矩阵的输入与生成 第二章 矩阵及其基本运算 二. 特殊矩阵的生成 a = [1 2 3] a = 1 2 3 >> C = zeros(size(a)) %与a同类型的全零阵 C = 0 0 0 >> 

  19. §2.1 矩阵的输入与生成 第二章 矩阵及其基本运算 和前面生成全零矩阵的方法类似, 我们可以用函数ones生成全1矩阵. 格式: Y=ones(n) %生成n×n全1阵 Y=ones(m,n) %生成m×n全1阵 Y=ones(size(A))%生成与A相同大小的全1阵 此外, 我们还可以用函数eye生成单位矩阵. 

  20. ans = 1 0 0 1 >> §2.1 矩阵的输入与生成 第二章 矩阵及其基本运算 >> eye(2) %生成2×2的单位阵 eye(size(A)) %生成与A同阶的单位阵 ??? Undefined function or variable 'A'. >> 

  21. C = 6 8 10 12 注意：分号的作用. >> §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 §2.2 矩阵运算 一. 加、减运算(+，-) >> A=[1,2;3,4];B=[5,6;7,8];C=A+B 

  22. 注意：逗号的作用. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> A=[1,2;3,4],B=[5,6;7,8],D=A-B >> A=[1,2;3,4],B=[5,6;7,8],D=A-B A = 1 2 3 4 B = 5 6 7 8 D = -4 -4 -4 -4 

  23. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 二. 乘法(*) >> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] %两个矩阵的乘积 >> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 >> >> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 >> A=[1,2;-1,0];B=[1,2,3;4,5,6];C=A*B >> [1,2;-1,0]*[1,2,3;4,5,6] %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 >> A=[1,2;-1,0];B=[1,2,3;4,5,6];C=A*B C = 9 12 15 -13 -2 -3 

  24. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A %矩阵的数乘 >> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 >> >> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 >> A=[1,2,3;4,5,6];C=A*(-2) %矩阵的数乘 >> A=[1,2,3;4,5,6];B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 >> A=[1,2,3;4,5,6];C=A*(-2) %矩阵的数乘 C = -2 -4 -6 -8 -10 -12 

  25. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) %向量的点积 >> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 >> >> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 >> c=[3;4];d_2=dot(a,c),d_3=a*c >> a=[1,2];b=[3,4];d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 >> c=[3;4];d_2=dot(a,c),d_3=a*c d_2 = 11 d_3= 11 

  26. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) %向量的叉积 >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 >> >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 >> c_2=cross(b,a) >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2]; >> c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 >> c_2=cross(b,a) c_2 = -1 2 -1 >> 

  27. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 >> >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 >> d_2=dot(a,cross(b,c)) >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 >> d_2=dot(a,cross(b,c)) d_2 = -1 >> >> a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0]; >> d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 >> d_2=dot(a,cross(b,c)) d_2 = -1 >> d_3=dot(cross(c,a),b) 

  28. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 三. 除法(左除\, 右除/) >> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> >> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A >> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 >> >> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 >> X_2=C/A %XA=B的解, X=BA-1, B右除以A >> A=[1,2;0,1];B=[3,2,1;1,2,3];C=[-2,1]; >> X_1=A\B %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 >> X_2=B/A %XA=B的解, X=BA-1, B右除以A X_2 = -2 5 

  29. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 四. 方阵的乘方(^) >> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方 >> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 >> >> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 >> C=[1,2;2,1]^(-2) %相当于inv(A^2) >> A=[1,2;2,1];B=A^10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 >> C=[1,2;2,1]^(-2) %相当于inv(A^2) C = 0.5556 -0.4444 -0.4444 0.5556 

  30. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 五. 矩阵的转置(’) >> A=[1,2;3,4;5,6],B=A’ %B为A的转置 >> A=[1,2;3,4;5,6],B=A’ %B为A的转置 A = 1 2 3 4 5 6 B = 1 3 5 2 4 6 

  31. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 >> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A’ %B为A的共轭转置 >> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A’ %B为A的共轭转置 A = 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i B = 1.0000 3.0000+2.0000i 5.0000 2.0000-1.0000i 4.0000 6.0000-5.0000i >> >> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A.’ %B为A的转置 >> A=[1,2+i;3-2i,4;5,6+5i],B=A.’ %B为A的转置 A = 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i B = 1.0000 3.0000-2.0000i 5.0000 2.0000+1.0000i 4.0000 6.0000+5.0000i >> 

  32. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 六. 方阵的行列式(det) >> det([1,2;3,4]) %行列式 >> det([1,2;3,4]) %行列式 ans = -2 >> >> det([1,2;3,4]) %行列式 ans = -2 >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];D=det(A) >> det([1,2;3,4]) %行列式 ans = -2 >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];D=det(A) D = 0 

  33. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 七. 逆矩阵(inv) >> inv([1,2;3,4]) %逆矩阵 >> inv([1,2;3,4]) %逆矩阵 ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 >> 

  34. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 注意: 若A的行列式的值为0,则MATLAB在执 行inv(A)这个命令时会给出警告信息。 例如 >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];B=inv(A) >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];B=inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.203039e-018. B = 1.0e+016 * 0.3152 -0.6304 0.3152 -0.6304 1.2609 -0.6304 0.3152 -0.6304 0.3152 >> 

  35. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 也可以用初等变换的方法来求逆矩阵。例如: >> A=[1,2;3,4]; >> >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %这是A的增广矩阵 >> >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %这是A的增广矩阵 >> C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 >> >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %这是A的增广矩阵 >> C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 >> C,X=C(:,3:4) %输出C和X,其中X为A的逆, 即C的3-4列 >> A=[1,2;3,4]; >> B=[1,2,1,0;3,4,0,1]; %这是A的增广矩阵 >> C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 >> C,X=C(:,3:4) %输出C和X,其中X为A的逆, 即C的3-4列 C = 1.0000 0 -2.0000 1.0000 0 1.0000 1.5000 -0.5000 X = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 

  36. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 用format rat命令可以使输出格式为分数格式。 例如： >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format rat%用分数格式输出 >> >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format rat%用分数格式输出 >> B=inv(A) %求A的逆矩阵 >> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]; >> format rat%用分数格式输出 >> B=inv(A) %求A的逆矩阵 B = 1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0 >> 

  37. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 八. 方阵的迹(trace) >> trace([1,2;3,4]) %迹, 主对角线元素之和 >> trace([1,2;3,4]) %迹, 主对角线元素之和 ans = 5 

  38. §2.2 矩阵运算 第二章 矩阵及其基本运算 九. 矩阵的秩(rank) >> A=[2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3],r=rank(A) >> A=[2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3],r=rank(A) A = 2 1 -1 0 0 1 1 -3 2 2 0 -3 r = 2 

  39. 第三章 线性方程组 §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 一. 用克拉默法则 例3.1.1. 求方程组 的解. 

  40. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]); >> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]); >> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]); >> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]); >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]); >> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]); >> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]); >> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]); >> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; >> x_5=D_5/D; >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]); >> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]); >> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]); >> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]); >> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; >> x_5=D_5/D; >> format rat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5] >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]); >> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]); >> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]); >> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]); >> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]); >> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; >> x_5=D_5/D; >> format rat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5] X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 

  41. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A); >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A); >> X=[]; %空矩阵 >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A); >> X=[]; %空矩阵 >> for i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1; end >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A); >> X=[]; %空矩阵 >> for i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1; end >> format rat,X >> %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 >> a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; >> a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; >> a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; >> A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5];D=det(A); >> X=[]; %空矩阵 >> for i=1:5 A=[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1; end >> format rat,X X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 

  42. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 二. 用矩阵除法 >> %把该方程组记为AX=b，则X=A\b >> A=[5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1];format rat,X=A\b >> %把该方程组记为AX=b，则X=A\b >> A=[5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1];format rat,X=A\b X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 

  43. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 三. 用矩阵的初等变换 >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format rat >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format rat >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format rat >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 >> X=C(:,6) %取C的最后一列 >> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format rat >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 >> X=C(:,6) %取C的最后一列 X = 911/402 -229/133 37/35 -79/133 95/298 思考: 为什么与前一种 方法所得到的结 果不一样? 

  44. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 例3.1.2. 求方程组 的一个特解. 解: 先用MATLAB把该方程组的增广矩阵 化为行最简形 

  45. §3.1 求线性方程组的唯一解或特解 第三章 线性方程组 >> A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8]; >> b=[1;4;0]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 >> A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8]; >> b=[1;4;0]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 C = 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0 从中可以看出该方程组有无数多解，而且 X=[1.25, – 0.25,0,0]T 就是该方程组的一个特解. 

  46. §3.2 求线性方程组的通解 第三章 线性方程组 §3.2 求线性方程组的通解 一. 求齐次线性方程组的通解 例3.2.1. 求方程组 的通解. 解: 先用函数null求系数矩阵 的零空间的一组基: 

  47. §3.2 求线性方程组的通解 第三章 线性方程组 >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> B=null(A) %求A的零空间的标准正交基 >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> B=null(A) %求A的零空间的标准正交基 B = 0.7177 -0.0286 -0.6084 0.2725 0.0857 -0.6241 0.3277 0.7317 >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> C=null(A,’r’) %求A的零空间的基 >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> C=null(A,’r’) %求A的零空间的基 C = 2.0000 1.6667 -2.0000 -1.3333 1.0000 0 0 1.0000 >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> format rat, D=null(A,’r’) >> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 >> format rat, D=null(A,’r’) D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 再写出该方程组的通解: 

  48. §3.2 求线性方程组的通解 第三章 线性方程组 D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 >> sym k1 k2%说明k1,k2为符号变量 D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 >> sym k1 k2%说明k1,k2为符号变量 >> X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解 D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 >> sym k1 k2%说明k1,k2为符号变量 >> X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解 X = 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k2 

  49. §3.2 求线性方程组的通解 第三章 线性方程组 X = 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k2 >> >> pretty(X) %让通解表达式更加精美 [2 k1 + 5/3 k2 ] [ ] [-2 k1 – 4/3 k2] [ ] [ k1 ] [ ] [ k2 ] 

  50. §3.2 求线性方程组的通解 第三章 线性方程组 二. 求非齐次线性方程组的通解 例3.2.2. 求解方程组 

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