Введение в компьютерные методы метрико-топологических построений.

1. Введение в компьютерные методы метрико-топологических построений. Г.Г.Рябов (МГУ) 2007г

2. Современная вычислительная среда. • Глобальная модель циркуляции «атмосфера-океан»(МITcgm)-107-109узлов(кубов). • Обтекание «Аэробуса»-107 тетраэдров. • Биотомограф-1000х1000х1000(109)вокселов. • Фармацевтика- триангуляция молекулярной поверхности-107. • Перколяционные задачи- решетка 109. • Архитектура и строительство -минимальные поверхности. • Научно-техническая визуализация -107-108треугольников.

3. Геометрико - топологические особенности. • Меры по сохранению устойчивости решения(число и геометрия тетраэдров). • Проведение оперативных преобразований среды.(кластеризация и разбиениедля распараллеливания вычислений). • Сохранение при преобразованиях топологических инвариантов и заданных геометрических отношений(тел).

4. Digital geometry and topologyDiscrete differential geometry • США ( MIT, Caltech, Stanford) • Франция(INRIA) • Германия (Un.Gumbold) • Швеция (Un.Upsala) • Венгрия (Un.Seged) • Нов.Зеландия (Un.Oakland) • Япония (Un.Chiba)

6. Комбинаторная топология. • Конечный элемент-симплекс. • Комплекс –множество правильно расположенных симплексов. • Звездный полиэдр-окрестность. • Преобразование комплексов -сумма допустимых преобразований звездных полиэдров.

7. Целые точки и простые ребра. • Симплексы с вершинами в целых точках и простыми ребрами (не имеющими внутренних целых точек). • Модельные множества (Zn, Up), n-размерность пространства, p-норма простых ребер(p=max IxiI;i=1-n). • Основные построения для n=3,4,5,6 ; p=1;

8. Основная последовательность базисных построений. • Построение однородных звездчатых полиэдров (стереоэдров) на простых симплексах. • Покрытие такими полиэдрами всего пространства(нормальное,правильное разбиение). • Определение симплициальных комплексов. • Аналоги гомотопных преобразований на комплексах-преобразования на граничных зв.полиэдрах (гомотопные волны).

9. (Z2, U1) и все 6 типов 2d зв.полиэдров

10. Перестройки разбиения - выделение параллелограммов и замена диагоналей.

11. Двоичный код-инвариант при перестройках 1-го типа (диагональ-диагональ)

12. Классификация типов зв. полиэдров. • 1.Транслируемые. • 2.Конгруэнтные. • 3.Парнотранслируемые.

13. Перечисление всех неконгруэнтных триангуляций куба. • Любая триангуляция на вершинах куба порождает диагональное разбиение граней куба. • Каждому разбиению соответствует вектор степеней вершин (инцидентных диагоналей). • Разные векторы-неконгруэнтные триангуляции. • v1-1,v2-1,v3-2,v4-2,v5-3,v6-1, v7-0,v8-2; • (1,3,3,1)

14. Диофантовы уравнения. • i-число диагоналей сходящихся к вершине. • xi-число вершин с i сходящимися диагоналями. • Σ xi =8; i=0-3; • Σ i xi=12; i=0-3; • Решения: (2,2,2,2);(0,6,0,2); (1,3,3,1); (2,0,6,0);(4,0,4,0);(0,4,4,0);

15. Все типы неконгруэнтных триангуляций куба. • (0,6,0,2) (2,0,6,0) (1,3,3,1) (2,2,2,2) (4,0,0,4)

16. Решение (0,4,4,0) не соответствует никакой триангуляции. • Ни при какой диагонали внутри куба невозможно правильное разбиение на пирамиды.

17. Все 3d звездчатые полиэдры (4 типа симплексов) на (Z3,V1).

18. Разбиение кубов проекциями-транслируемая полиэдризация R3. • Разбиение единичного куба на 6 тетраэдров-симплексов.

19. Ребра и грани вокруг (0,0,0) • Трансляция построений во все кубы R3. • Звездный полиэдр для (0,0,0)

20. Cтруктура полиэдра. • 24 симпплекса внутри транслируемого звездного полиэдра. • Объем полиэдра V=24x1/6=4.

21. Транслируемый 3d звездчатый полиэдр MSP. • Кубододекаэдр-14,36,24. • Вершин-15 (1+14) • Ребер- 50(14+36) • Граней-48(24+24) • 3d cимплексов-24 • Объем=4 • Строго выпуклый (по Малеру)

22. Дуальный полиэдр.

23. Построение транслируемых nd-полиэдров как отображение Rnна подпространства.

24. Транслируемый 4d зв. полиэдр. • Два полярных 4d куба с одной общей вершиной и доп. ребрами.

25. Структура n-куба. • f(In)=(f0,f1,f2,…fn-1,fn) – вектор граней. • f0-число вершин; • f1-число ребер; • f2-число квадратов; • f3-число кубов;… • fn-In; • fk=C(n,k)2n-k; • f(I4)=(16,32,24,8,1);

26. Характеристика Эйлера-Пуанкаре • Формула Эйлера:В-Р+Г=2 • Топологический инвариант • χ=f0-f1+f2-f3+…+(-1)n-1fn-1;

27. Треугольник и пирамида Паскаля. • Треугольник C(x,y)=C(x-1,y)+C(x,y-1);C(0,0)=1; • Пирамида V(x,y,z)=V(x-1,y,z)+V(x,y-1,z)+V(x,y,z-1); V(0,0,0)=1;

28. Триномиальные коэффициенты. • (a+b+c)n • V(n,k,l)albkcn-k-l • l=x;k=y;n=x+y+z; • V(n,k,l)= n!/l!k!(n-k-l)! • Σ V(n,k,l)=C(n,k)2n-k; l=1-(n-k); • ΣV(n,k,l)=fk; • (16,32,24,8)

29. Кодирование k-граней. • Каждой k-грани соответствует кратчайший путь по решетке в вершину слоя n c y=k; • Каждый путь кодируется троичным кодом. {0,1,2}

30. Кодировка I4 • 0000 в 0001 в 0002 р 0010 в 0011 в 0012 р • 0020 р 0021 р 0022 к 0100 в 0101 в 0102 р • 0200 р 0201 р 0202 к 0210 р 0211 р 0212 к • 0220 к … 2220 г 2221 г 2222 I4 • Вершины- традиционная кодировка. • Ребра- коды с одной «двойкой» • К-грани- с к «двойками»

31. Геометрическая интерпретация • Код 2120 • Ребра 0020 и 2000 -> грань 2020 • Грань 2020 транслируется из (0000) в (0100)

32. Генерация примитивной триангуляции (путевые симплексы) • Симметрическая группа подстановок Sn. • si € Sn • 12 3 … n • ai1 ai2 ai3… ain • eai1, eai1+eai2, eai1+eai2+eai3,… -последовательные вершины симплекса • Рис. -> 1 2 4 3

33. Примитивная триангуляция I4. • 24 cимплекса могут быть закодированы 5-ью двоичными разрядами.

34. 3d звезда-полиэдр и ее симплексы. • Вклад кубов (по числу симплексов) из 8 октантов, содержащих (000).

35. Симплициальная структура транслируемого nd звезды-полиэдра • W(k)-число симплексов с вершиной r=k • S(k)-число n-кубов с вершиной r=k в (00…0) • W(k)=k!(n-k)!; • S(k)=C(n,k); • S=Σ W(k)S(k)= (n+1)!; • V(P)=n+1;

36. Кодирование симплексов . • 1234,1243,1324,1342,1423,1432, • 0 1 2 3 4 5 • 2134,2143,2314,2341,2413,2431, • 5 7 8 9 10 11 • 3124,3142,3214,3241,3412,3421, • 12 13 14 15 16 17 • 4123,4132,4213,4231,4312,4321 • 18 19 20 21 22 23 • a0 n!+a1(n-1)!+…+an-2 2!+an-1 1!=№; ak<k+1; • 21=(3,1,1) -> 4231:3+1=4, 1+1=2-ая из ост. ->2, 1+1=2-ая из ост.->3; и ост.1

37. Транслируемые звездчатые nd-полиэдры. • 2d 3d 4d 5d 6d 7d • В 6 14 30 62 126 254 • S 6 24 120 720 5040 40320 • V 3 4 5 67 8

38. Гомотопные расширения и сжатия комплексов-сумма преобразований MSP на границе комплексов. • Топологический контроль-проверка связности в MSP до и после преобразования. • Для общего 3d случаяобъем вычислений Q~N3xVxExN(для N=103 Q= 1014память M=100Гb ) • Для топол. процессора Q=1011 M=1Гb

39. Допустимые преобразования без склеек и разрывов. • Расширение «желтого» без склеек и разрывов «желтого» и «красного» зависит только от ситуации в «выколотом» зв.полиэдре.

40. Анализ связности множеств М1 и М2 на границе полиэдра. • М1 на границе несвязно. • М2 на границе связно. • Если переход (000) в М1, то М1 и М2 связны- изменения в связностях недопустимы!

41. Три 2d комплекса

42. Расширение черного.

43. Расширение черного.

44. Сжатие черного.

45. Приближение к евклидовой метрике на Zn. • Метрика на ребрах звездчатых полиэдров (многогранная метрика) далека от евклидовой. • Расширить множество простых ребер (увеличить норму) в зависимости от заданной погрешности приближения.

46. Линейные преобразования на решетках. • Унимодулярные матрицы- модуль определителя =1. • Линейные унимодулярные преобразования сохраняют площадь (объем) фигур(тел).

47. Составление веера. • Стыковку секторов веера обеспечивают «соседние» унимодулярные матрицы.

48. Несократимые дроби и простые ребра (веер Фарея). • В каждом секторе целые точки образуют решетки с базисами {(0,1),(1,1)}; {(1,1),(1,0)}. • С увеличением порядка Ф(к) длина по ребрам решеток приближается к евклидовой. • Δ=L-Le/Le=~ φ2/4+o(φ4);

49. Увеличение порядка Ф(к).

50. Увеличение порядка Ф(к).