Þyngd

1. Þyngd Eðlisfræði 1 V/R 15. fyrirlestralota 8. kafli í Fylgikveri,13. kafli hjá Benson

2. 13. Þyngd: Yfirlit Sbr. Benson 265, en breytt • Aðdragandinn að aflfræði Newtons • Þyngdarlögmálið • Staðarorka vegna þyngdar, brautir hluta og hnatta • Tregðumassi og þyngdarmassi • Sviðshugtakið, þyngdarsvið, þyngdarhröðun • Þyngdarhröðun og virk hröðun við jörð • Þrjú lögmál Keplers um hreyfingu reikistjarna • Setning Newtons um þyngdarsvið frá kúlu • Sjávarföll, orsakir þeirra og einkenni

3. Hvað vissu menn? - 1 Myndir úr Heimsmynd á hverfanda hveli II

4. Hvað vissu menn? - 2 • Þekktu til dæmis umferðartíma T og fjarlægðir r fyrir tungl og reikistjörnur • Fá þannig hornhraða w = 2p/T og síðan hröðun a = w2r • Til dæmis er atungl = g/3600 • Það er lykillinn að sögunni um eplið og tunglið því að rtungl = 60 repli • Svo vissu menn auðvitað fjöldamargt annað af þessu tagi

5. Hvað gerði Newton? • Menn eins og Galíleó og Descartes höfðu áttað sig á meginatriðum tregðulögmálsins • Menn voru líka að nálgast F = k/r2 • (en hvorki hvað það þýðir nákvæmlega né hvað k væri) • En Newton tengdi þetta allt saman í eina heild með F = ma og þyngdarlögmálinu

6. Hver var Newton? • Isaac Newton, 1642-1733 • Fæddur föðurlaus, erfið æska, sérkennilegt barn, föndrari, síðar hvumpinn einfari, vafasöm siðfræði á köflum, prófessor og síðar við myntsláttu, náði mikilli viðurkenningu, jarðaður í Westminster Abbey með viðhöfn, engan veginn “dæmigerður” vísindamaður! • Skoðum nokkrar myndir frá sama stað og áður

7. Mynd af Ísak • Ísak hafði ánægju af að láta mála af sér myndir Mynd úr bókinni Undur veraldar, Reykjavík: Mál og menning 1998, þar birt með leyfi National Portrait Gallery í London

8. Æskuheimilið og eplið

9. Eplið og tunglið • Hvað er breytt frá fyrri mynd á síðustu glæru? • Hvað táknar breytingin? • Svarið er hér

10. Titilsíða og spegilsjónauki

11. Gervitungl og halastjarna

12. Massi og þyngd • Massinn m er efnismagn, eiginleiki hlutar, mældur í kg, á skálavog • Þyngdin W = mg er þyngdarkrafturinn sem verkar á hlutinn, ekki eiginleiki hlutar heldur háð stað og jafnvel tíma, mæld í N, t.d. á gormvog

13. Þyngdarlögmálið F. 29-30, B. 266 • Þyngdarkraftur milli tveggja punktmassa m1 og m2 er alltaf aðdráttarkraftur eftir línunni milli þeirra og hefur stærðina F = G m1m2/r2 • þar sem G er svokallaður þyngdarstuðull, og r er fjarlægðin milli massanna. • Ath.: Villa í fyrstu málsgrein í 13.1 hjá Benson, bls. 266: Ekkert hægt að álykta af F = ma

14. Staðarorka í þyngdarsviði F. 31, B. 159 • Tengsl krafts og staðarorku: F = - gradU, UB-UA = A F.ds • Þetta gefur fyrir U, ef við setjum U() = 0: U = - GmM/r • Gera má Taylor-nálgun fyrir r = Rj + y, y << Rj: DU = mgy • Heildarorkan er E = ½ m v2 - GmM/r B

15. Reglan um samlagningu krafta B. 266-267 • Mismunandi kraftar, t.d. kraftar frá mismunandi hlutum, leggjast saman sem vigrar: F1 = F12 + F13 + ... + F1N • Athugið að massi á milli hefur ekkert að segja!

16. Tregðumassi og þyngdarmassi 1 B. 267-268 • Táknið m í F = ma lýsir tregðumassa mt; viðbrögðum við krafti • Massinn m í þyngdarlögmálinu F = GMm/r2er hins vegar þyngdarmassi mþ ; tengist þyngdarkrafti frá hlutnum og á hann.

17. Tregðumassi og þyngdarmassi 2 • Fyrir hlut við yfirborð jarðar fæst: F = mta = mtg = GmþMj/Rj2 g = (mþ/mt) GMj/Rj2 = (mþ/mt) g0 • En tilraunir sýna alltaf sama g, óháð efninu í hlutnum! • Þetta leiðir af sér jafngildislögmál almennu afstæðiskenningarinnar

18. Hugtakið þyngdarsvið B. 269 • Þyngdarkrafturinn berst milli hlutanna án þess að þeir snertist, og smýgur um allt rúmið óháð öðru sem þar er • Þetta fannst (og finnst!?) mörgum skrýtið. Newton sjálfur lét gott heita og sagði um það fræg orð: Ég skálda ekki tilgátur (Hypotheses non fingo) • Smám saman sættu menn sig við þetta með hjálp sviðshugtaksins sem var að þróast á sama tíma í rafsegulfræði (rafsvið, segulsvið; Faraday o.fl.)

19. En hvað er svið? B. 269 • Svið í eðlisfræði er fall af stað og tíma sem lýsir einhverri eðlisfræðistærð og segir etv. til um áhrif á hlut á þessum stað og tíma. Dæmi: • Hitasvið (hiti sem fall af stað og tíma) • Vindur • Loftþrýstingur • Kraftsvið: • þyngdarsvið, rafsvið, segulsvið • Sum þessara sviða eru vigursvið (vector fields)

20. Nánar um þyngdarsvið B. 269-270 m • Þyngdarsvið er eiginlega kraftur á massaeiningu. Ef uppsprettan er punktmassinn M er sviðið g = F/m = - (GM/r2) ur • Þyngdarkraftur á massann m í þyngdarsviði er W = m g • samanber F = q E fyrir rafsvið r g ur M

21. Hröðun við yfirborð jarðar 1 B. 270 (gölluð framsetning) • Þyngdarsviðið við yfirborð jarðar er g = W/m = -(GMj/Rj2)ur (gerum ráð fyrir að jörðin sé samhverf kúla)

22. B. 270 (gölluð framsetning) Hröðun við yfirborð jarðar 2 • Hluti af g fer í hringhreyfinguna um möndul jarðar: g = ac + g’ • Staðalgildi er 981 cm/s2 en ac er ca. 3,4 cm/s2 á miðbaug. Auk þess eru önnur frávik í því g’ sem við mælum. r g g’ ac ac = w2r

23. Lögmál Keplers • Reikistjörnurnar hreyfast um sól eftir sporbaugum þar sem sólin er í öðrum brennipunktinum. • Strikið milli sólar og reikistjörnu fer alltaf yfir sama flatarmál á sama tíma • Annað veldi umferðartímans er í hlutfalli við þriðja veldi meðalfjarlægðar frá sól: T2 = ka3

24. Takmarkaðar og ótakmarkaðar brautir um jörð F. 30, 32; B. 272. • E = ½ mv2 – GMm/r varðveitt • Ef E > 0 getur r orðið óendanlegt • Þetta gerist ef v > vesc = Ö(2GM/Rj) • Upphafshraði fyrir hringhreyfingu er vc = Ö(GM/Rj)

25. Þyngdarsvið frá samfelldri massadreifingu F. 33 (sértilvik), B. 273-274 • Þyngdarlögmálið um punktmassa gefur dg = - G dm/r2 ur • Athugið að stefnan á dg er breytileg eftir dm! • Notað á reglulega hluti, sbr. reglu Newtons á næstu glæru dm ur dg P

26. Setningar Newtons um þyngdarsvið frá kúlu F. 32-34, B. 273-274. • Utan við kúluskel með jafnri massadreifingu er þyngdarsviðið eins og allur massinn væri í miðju kúlunnar (sýnt með heildun) • Innan í slíkri kúluskel er þyngdarsviðið frá henni 0, sbr. mynd hér til hliðar: Áhrif jafnast út. P

27. Sjávarföll: Tvisvar á dag B. 277 • Ef jörðin stæði kyrr væri flóð aðeins einu sinni á dag • En jörðin er á hreyfingu um sameiginlega massamiðju í kerfinu jörð-tungl • Það er hröðunin í þeirri hreyfingu sem skiptir sköpum

28. Sjávarfallakraftarnir • Það er stigull kraftsins (gradient, breyting með stað) sem skiptir máli (sbr. líka sól-tungl). Massinn hægra megin “vill falla” hraðar en massamiðjan, en massinn vinstra megin hægar. Sama mundi gilda um okkur til dæmis í falli inn að svartholi.

29. Samanburður á þyngdarkröftum frá sól og tungli • Hlutfall þyngdarsviðs frá sól og tungli hér á jörðinni er gs/gt = Msrt2/Mtrs2 = 180 • Stór tala: Sólin togar miklu meira í okkur og jörðina en tunglið!

30. Samanburður á sjávarfallakröftum frá sól og tungli • Sjávarfallakraftar F eru hins vegar í hlutfalli við stigul þyngdarsviðsins, þ.e.a.s. við 1/r3 í stað 1/r2. Því fæst Fs/Ft = Msrt3/Mtrs3 = 0,46 • Þessi tala er talsvert minni en 1 og því ræður tunglið meiru um sjávarföll en sólin þó að hún hafi sitt að segja • Athugið að fjarlægðirnar rs ogrt eru svolítið breytilegar og hlutfall þeirra í þriðja veldi breytist enn meira. Þess vegna eru stórstraumsflóðin misjafnlega mikil!

31. Nokkur atriði um sjávarföll • Tvisvar á sólarhring (yfirleitt) • Fara mjög eftir stöðum: • Lítil í innhöfum • Líka lítil hæðarbreyting í tilteknum punktum í úthöfum, en þá miklir straumar (Færeyjar) • Magnast upp á vissum stöðum (trektir) • Sums staðar aðeins einu sinni á sólarhring • Fylgja tungli frekar en sól: Færast um ca. 50 mín. á dag • Stórstreymi og smástreymi v. samspils tungls og sólar • Samanber svar 1, svar 2 og svar 3 á Vísindavefnum og leitarorð eins og þyngdarleysi, andþyngd, svarthol