単位名　　学部　 : 天体輻射論 I 　　大学院：恒星物理学特論 IV 教官名中田　好一

I：線吸収 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００６年１２月１１日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　単位名　　学部　 :天体輻射論I 　　大学院：恒星物理学特論IV 教官名中田　好一授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート＋出欠」でつけます。レポート出題は今日が最終回です。授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 休講：１月１５日、１月２９日

Ｉ．１．古典的双極子による吸収 p p p 固有振動数νoの双極子モーメント p=‐qz が密度Nで散らばる媒質を考える。この媒質の誘電率をεとすると、 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E　である。この媒質を振動数νの電磁波Eが伝わる時、電磁波に起こる変化を求めよう。入射電磁は真空中（屈折率ｍ＝１）で　　 E=Eo exp[ 2πi(νt – kx)] 媒質（屈折率ｍ＝ｎ－iκ）中で　　 E=Eo exp[ 2πi(νt – mkx)] ＝ Eo exp[2πi(νt – ｎkx+iκkx)] 電荷ｑの運動は、　　　 γ=g/m, (２πνo)2=K/m, と置き、

－q z q z=A exp(i2πνt)とおいて、(－(2πν)2＋i2πγν＋(2πν0)2 ) A= －(qEo/m) ν＝νoで共振がおき、振幅が大きくなる。双極子モーメントp=－qzは従って、ｐ＝αE, (α=感受率 susceptibility) とおくと、

次に、双極子モーメントｐが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。次に、双極子モーメントｐが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E ε＝誘電率（dielectric constant）複素屈折率　　　m=n－iκ複素誘電率　　　　　　ε＝ｍ２＝(n－iκ)2 （ refractivity）　　　　　　　　　　　　（dielectric constant）　星間空間では、誘電率ε＝１＋Δεとすると、Δε＜＜１である。したがって、ｍ＝１＋（Δε/２）と近似できる。ｍを実部と虚部に分けて、

上ではν＝ν０付近のみを考えて、(νo 2 –ν2)=2ν０(νo –ν)と近似している。真空中(m=1)でＥ＝Ｅ０exp[ 2πi(νt – kx)] の電磁波が屈折率ｍ＝ｎーｉκ の空間に入ると、Ｅ＝Ｅ０exp[ 2πi(νt –ｍkx)]＝Ｅ０exp[ -2πκkx)]exp[ 2πi(νt –ｎkx)] となる。これは減衰する電磁波を表している

X －2(γ/4π) ０ 2(γ/4π) (νo –ν) (Nq2/mνoγ) 媒体の複素屈折率ｍ＝ｎ－ｉκ κ ０ n-1 E=Eo・exp(－2πκkx）・ exp[ 2πi(νt – nkx)] E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)] ｜E|2=Eo2 ｜E|2=Eo2exp( -4πκkx)

D σ(ν)＝双極子１個の吸収断面積、Ｎ＝双極子の数密度とすると、｜E|２＝Eo2 exp( -Nσ x) である。前ページの｜E|2=Eo2exp( -4πκkx) と比べると、 4πκ(ν)k(ν)＝4πκ(ν)(ν/c)=Nσ(ν) [復習]κとσの関係 σ＝吸収断面積( m2 )ｎ＝粒子数密度 (m-3) N=nSD＝ S×Dの筒内粒子数透かして見ると、Ｓの内不透明部分の面積Ｘ＝Ｎσ ＝ nSDσ 入射光線Ｆ＝ＩＳが距離Ｄを通過する間にX/Sが失われるから、 dI=－I(X/S)=－I(nSDσ) /S= －I nσD=－IκD S

Ｉ．２．振動子強度　（Oscillator Strength、f-value） σ(ν)=(q2/mc) (4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}　の双極子が数密度ｎで分布する媒質を考える。厚みＬの媒質を通過した光は、　　Ｉ´（λ）＝Ｉ（λ）ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)）　　Ｉ´（λ）ＬＩ（λ）Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）＝Ｉ（λ）[１－ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)）] 弱吸収では、　[Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ） = ｎＬσ(ν) Fc 等値巾　（Equivalent Width) W=∫ [Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ）ｄλ 弱い吸収では上式より、　 W＝ ∫ｎＬσ(ν)ｄλ 　　　＝ｎＬ∫σ(ν)ｄλ Fλ Wλ F=0 λ

吸収断面積の積分からはγが消える σ(ν) a π ( )d = ( ) ∫σ ν ν σ ν f[2mc /(h /4 ) ] 3 2 γ π a 2 fc/ c 2 3 π α π λ =( q /mc)f 2 π o-2 /4 o- /4 o o+ /4 o+2 /4 ν γ π ν γ π ν ν γ π ν γ π 2 /4 γ π νo-2γ/4π νo-γ/4π νo νo+γ/4π νo+2γ/4π 吸収断面積σ(ν) (q2/mc)(4π/γ) 積分値= (πq2/mc) はγに依らない。 γ/2π

結局、等値巾Ｗは吸収が弱い近似で計算すると、結局、等値巾Ｗは吸収が弱い近似で計算すると、で、どの吸収線も強度は一定となる。しかし、実際には吸収線毎にその強度は様々な値を取る。古典的電気双極子モデルではこの違いを説明できなかった。量子力学によって電気双極子の吸収を計算すると、古典電磁気学が与えた吸収断面積にｆという係数をかければよいことが分かる。したがって、量子力学的双極子による吸収断面積は f＝oscillator strength またはf-値( f-value) 。また、等値巾Ｗは

概算の場合は、吸収線ピークの吸収断面積は線幅Dを使って、概算の場合は、吸収線ピークの吸収断面積は線幅Dを使って、 σｐ＝(πq2/mc) (λ2/c) f/D＝2.654・１０－２（ｃｍ２sec-１）ｆ・(λ2/Dc) Hα：　λ＝０．６５μ＝０．６５６3・１０－４ｃｍ D=0.00０１μ＝１０－８ｃｍｃ＝２．９９８・１０１０ｃｍ/secf=0.6407 　　を代入すると、 Hβ：　λ＝０．４８６１μ＝０．４８６１・１０－４ｃｍ D=0.00０１μ＝１０－８ｃｍｃ＝２．９９８・１０１０ｃｍ/secf=0.１１９３　　を代入すると、

　振動子強度の例 n=2 l=1 S=1/2 L=1 ｇ＝４ n=2 l=0 S=1/2 L=0 2P3/2 ｇ＝２ｇ＝２ 2P1/2 2S1/2 n=1 l=0 S=1/2 L=0 2S1/2 ｇ＝２例1：Lα線 g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2)=0.2774, ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2) =0.1387 g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2)=0.5547, ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2) =0.2774 g （n=１) ｆ（n=１n=2)=0.2774+0.5547=0.8321, ｆ（n=１n=2) =0.4161 selection rules Δｌ＝±１ ΔS＝０、ΔL=０、±１、　 ΔJ=０、±１　　　（J=0J=0、 L=0L=0を除く）

g=6 g=4 g=4 3d2D5/2 g=2 3d2D3/2 3p2P3/2 g=2 3p2P1/2 3s2S1/2 2p2P3/2 2p2P1/2 2s2S1/2 g=4 g=2 g=2 例２：Hα レベル間遷移（ライン）のｆ－値ターム間遷移（マルチプレット）のｆ－値 transition gLfLU gL fLU 2s２S1/23p２P1/2 0.5796 2 0.2898 2s２S1/23p２P3/2 1.1592 2 0.5796 2p２P1/23s２S1/2 0.05434 2 0.02717 2p２P3/23s２S1/2 0.10468 4 0.02717 2p２P1/23d２D3/2 2.782 2 1.391 2p２P3/23d２D3/2 0.5564 4 0.1392 2p２P3/23d２D5/2 5.008 4 1.252 transition gLfLU gL fLU 2s3p 0.8694 2 0.4347 2p3s 0.08151 6 0.01358 2p3d 4.6732 6 0.6955 Hα線のｆ－値 23 5.1241 8 0.6405

Ｉ．３． Voigt Profile 速度Ｖで動いている原子に、静止系で振動数νの光が当たる。原子は光の振動をνＤと見る。 v=Ｖ ν (νＤ－ν)/ν= Ｖ/cドップラーシフト νＤ＝ν＋（Ｖ/ｃ）ν＝ν＋Ｄ静止している原子の吸収断面積は、速度分布ｆ（Ｖ）で動く原子の平均吸収断面積σＴ（ν）は　？１．速度Ｖの原子の吸収断面積　σＶ（ν）＝σ（νＤ）　　ここで、Ｖは光と同じ方向の速度成分であることに注意。

２．速度分布 ｆ（Ｖ）、∫ｆ（Ｖ）ｄＶ＝１で規格化、の原子の平均吸収断面積は σＴ（ν）＝∫σＶ（ν）ｆ（Ｖ）ｄＶ＝∫σ（νＤ）ｆ（Ｖ）ｄＶ　　で与えられる。Ｄ＝（Ｖ/ｃ）ν　なので、ただし、

３．σＴ（ν）＝∫σ（νＤ）ｆ（Ｖ）ｄＶ　をＤの積分で表示すると、３．σＴ（ν）＝∫σ（νＤ）ｆ（Ｖ）ｄＶ　をＤの積分で表示すると、４．νＤで規格化する。

νＤ＝熱運動に 　　　よるドップラー巾 = Voigt function ∫V(u,a)du=1 ＝中心周波数との差＝吸収線自然巾＝ドップラーシフト熱運動をする気体原子の平均吸収断面積σT(ν) σT(ν) ドップラー　　　　核ローレンツ　　　ウィング a=0 a=0.03 ν

Ｖｏｉｇｔ関数の性質 （１）ａ<<１の場合　（自然巾＜＜熱運動の巾、大抵の吸収線では成立）Ｈ or G （２） 1/(aπ) 2a ｘ ‐u

(3) H(u=0) << G(x=-u) 、　大体　u＜≒１、　の領域では原子の熱運動によるドップラーシフトが支配的でガウス型のプロファイルとなる。吸収線の中央部分なので、ドップラーコアとも呼ばれる。 (４) H(u=0) >> G(x=-u) 、大体 1<<u、の領域では吸収線中心から離れるとドップラーシフトの影響が弱くなり、静止原子のローレンツ型プロファイルが再び出現する。

Ｉ．４．線形大気での吸収線形成 吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をする。（１）　局所平衡（ＬＴＥ）　　　　Ｓλ（τＲ）＝Ｂλ[Ｔ（τＲ）]　　　　　　　　　　（τＲ＝ロスランド光学深さ）（２）　エディントンモデル　　　　Ｔ（τＲ）４＝（３/４）Ｔｅ４（ τＲ＋２/３）　　　（３）　線形大気　　　　Ｓλ（τＲ）＝Aλ＋Ｂλ・τλ 生憎、（１）と（３）は厳密には両立しない。そこで、（１）をτＲ＝０のまわりで一次式で展開して近似的に（３）と考える。

したがって、（３）において、 と見なせば、（３）を（１）と両立させうる。線形大気Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂτの大気表面からのフラックスはＦ＝π［Ａ＋Ｂ・（２/３）]＝πＳ（τ＝２/３）である。したがって、または、この式から分かるように、Ｆλ＝α＋（β/τλ）の形をしていて、 τλが大きい所ではＦλが小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。

もう少し物理的に考えると。 吸収係数が次の図のように、λ＝λＬで盛り上がっているとする。　 λＬでは吸収が強いので、浅いところでτＬ＝２/３に達する。浅いためにそこの温度は低い。 κλ 浅いので温度が低く、フラックスが小さい。深いので温度が高く、フラックスが大きい。 λＬ τＲ= 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 大気表面 τλ=2/3 λ

吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。 λ＝ λＬの付近で、κ＝ κＣ＋κＬとする。 κ（λ） κＣ λ λＬに注意して、前々頁のＦの式を書き直すと、

前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくるはλＬ付近での連続スペクトルとなっていることがわかる。連続スペクトルの強さは、 κＣとκＲの強さの比で決まる。 κＲ＜ κＣ　Ｆｏ＜Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ） κＲ＞ κＣ　Ｆｏ＞Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ）次に下から２行目の最後の項は、吸収線を表す。吸収が弱い（κＬ＜κＣ）場合、吸収の深さがκＬに比例することがわかる。最後の行の

は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。図示すると以下のようである。弱いライン大気表面Ｔ＝Ｔｏライン波長で見通せる深さ連続光波長で見通せる深さ有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ

強いライン 大気表面（Ｔ＝Ｔｏ） ≒　ライン波長で見通せる深さ連続光波長で見通せる深さ有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はＴ＝Ｔｏの大気表面からの輻射がスペクトルの底になる。

吸収線の強度につれての形の変化 Ｆｃ（λ） κＬと共に深くなるＦ（λ））） κＬが非常に強いと吸収線の底が飽和するＦｏ（λ） λ

Ｉ．５．等値巾Ｗ　（Equivalent Width） 吸収線の近くのみを考え、連続吸収の強度κＣ＝一定、吸収線では κλ＝κＣ＋κＬとする。　Ｆλ＝πＢλ[Ｔ（τλ＝2/3)] であるが、 τλ＝（２/３）の深さは連続光ではτＣ＝（2/3)(κC/κλ) < 2/3 に対応する。弱い吸収ではκL<<κC　なので、展開して、

線輪郭（line profile） Ｆλ 等値巾　Wλ=∫Rλdλ Ｒλ Wλ Ｒλ 1 １０ 0 λ λ

弱いライン： =光球（τＣ＝2/3）までの原子数ドップラーコア：マクスウェル速度分布：　ｄＮ＝(Ｎ/ Vo π1/２)・exp[－(V/Vo)2]・ｄＶ　　　　　　　　　　　　　　ここに、Vo＝（２ｋＴ/μｍＨ）1/2 　Ｖ　ーー＞　λ＝λo (1＋V/c) ＝ λo ＋Ｄドップラーシフト分布：　ｄＮ＝ (Ｎ/λＤπ1/２)・ｅｘｐ[－ (λ－λo)2/ λＤ２]・ｄＤ　　　　　　　　　　　　　　　　ここに、λＤ＝ λo・Vo /c

Ｒ(λ1) ＝Ｄとなるλ1より内側ではＲ＝Ｄで飽和する。Ｆλ /ＦＣ 1 Ｄ Bλ(τC=０) ――――― Bλ(τC=2/3) 0 λ λo λ1

Ｒ(λ1) ＝Ｄとなるλ1より内側ではＲ＝Ｄで飽和する。Ｆλ /ＦＣ 1 Ｄ Bλ(τC=０) ――――― Bλ(τC=2/3) この時期はドプラーコアの吸収のみで、吸収量Ｗの増加は小さい。 0 λ λo λ1

　ローレンツウィング　（Ｒｏ＞＞１） 非常に強いラインでは、ドップラーコアは完全につぶれてしまい、ウイング部分が飽和するようになる。ウィングの形はローレンツ型。Ｆλ /ＦＣ 1 Ｄ Bλ(τC=０) ――――― Bλ(τC=2/3) 0 λ λo λ1

Ｉ．６．成長曲線（Ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　Ｇｒｏｗｔｈ）Ｉ．６．成長曲線（Ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　Ｇｒｏｗｔｈ）弱いライン

ドップラーコア ローレンツウィング

弱ライン、ドップラーコア飽和、ウィング飽和に対するｌｏｇ（Ｗ/ＤλＤ ）の近似値　　　（δ/λＤ=0.1、0.01　）

成長曲線（Λ/λＤ=0.1　） 2 Log(W/DλＤ） 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 3 4 5 log X0/D

レポート問題 Ｉ　　　　　出題１2月11日　　　　提出１２月１8日　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。星間ガスは低温なので、可視域ではその放射を無視できる。したがって、星間ガスによる恒星の光の吸収に対する吸収は、I＝Ｉｏｅｘｐ（－τ）で表される。吸収原子のコラム数密度＝Ｎとすると、τ （λ）＝Ｎσ（λ）である。また、Λ/λＤ＝０.１とする。授業では温度勾配のある恒星大気での吸収線の成長曲線を扱った。星間空間での吸収に対する成長曲線を以下の順で考えよ。１）　吸収が弱いときの等値巾Ｗを求めよ。２）　Ｎが増加して、吸収が強くなったときのＷの近似式を授業にならって求めよ。３）　この吸収の成長曲線を求め、グラフにせよ。Ｘｏとしてはどんな式が適当か？

単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院：恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一