Геометрия

1. Геометрия Решения треугольников

2. Содержание Нажатием мышки выберите нужную тему. Теорема косинусов Теорема синусов Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решения треугольников Тест

3. Теорема косинусов Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. C  ! B ! A BC ²= AB ² + AC ² - 2AB  AC  cos α Далее

4. Теорема косинусов Следствие C C Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+»надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.   A B D D A B Угол -острый Угол  -тупой CD – высота AD – проекция стороны AC на продолжение стороны AB. CD – высота AD – проекция стороны AC на сторону AB. cos (180 - ) = –cos  cos = AD/AC cos (180 - ) = AD / AC = –cos  AD = AC  cos  AD= – AC  cos  BC ²= AB ² + AC ² – 2AB  AD BC ² = AB ² + AC ² + 2AB  AD Далее

5. BC = 25 Теорема косинусов Решение задач - пример № 1. Дано: Решение: AC = 5 м BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos  AB = 6 м BC ² = 6 ² + 5 ² - 2  6  5  0,6 cos  = 0,6 BC ² = 36 + 25 - 36 C BC ² = 25 Найти: BC - ? 5 ? BC = 5  A B 6 Ответ: 5 м. Далее

6. Теорема косинусов Решение задач - пример № 2. Дано: Решение: AC = 5 м BC ² = AB ² + AC ² - 2AB  AC  cos  AB = 6 м cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB  AC BC = 7 м cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / 2  6  5 C Найти: cos = (36 + 25 - 49) / 60 cos  - ? cos = 0,2 5 7 Ответ:0,2 .  A 6 B Далее

7. Теорема косинусов Решение задач - пример № 3. Дано: Решение: BC = 4 м BC ² = AB ² + AC ² - 2AB  AC  cos  AC = 5 м BC ² = AB ² + AC ²– 2AB  AD AB = 6 м AD = (AB ² + AC ²– BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ²– 4 ² ) / 2  6 Найти: C AD = (36 + 25 – 16 ) / 12 AD - ? BD - ? 5 AD = 3,75 4  BD = AB - AD A B BD = 6 – 3,75 = 2,25 6 D Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. Возврат в меню

8. Теорема синусов Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C C b γ a γ a b  β  β A B A c B c ! ! a/sin=b/sin β =c/sin γ Далее

9. Теорема синусов Решение задач - пример № 1. Дано: Решение:  ABC b/sin β = AB /sin γ AC = b AB = b  sin γ / sin β ,  γ AB = b  sin γ / sin (180 – ( + γ)) B AB = b  sin γ / sin ( + γ) точка B недоступна Найти: γ  AB - ? A C b Ответ: b  sin γ / sin ( + γ) Далее

10. b = 3  (3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 Ответ:3 6 / 2 Теорема синусов Решение задач - пример № 2. Дано: Решение: a/sin =b/sin β  = 45° b= a sin β/ sin  β = 60° b = 3  sin 60° / sin 45° B a = 3 м c Найти: β a b - ?  A C b Возврат в меню

11. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Теорема 3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. C C a b a b   β β A B A B ! ! Если > β, то a > b Далее

12. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решение задач - пример № 1. Дано: Решение: B ABC - равнобедренный A = C > 60° A = C > 60° Значит, A +C > 120° B = 180° - (A +C) <60° Следовательно в ABCB – наименьший. Найти: A C Что больше AC или AB? Тогда, согласно соотношению между углами треугольника и его сторонами,AC – наименьшая сторона. Ответ:AC<AB Далее

13. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решение задач - пример № 2. Дано: Решение: AC = 18 см Так как AB > AC, то C >B AB = 20 см То есть С > 50° B = 50° Тогда B + C > 100° B A = 180° - (B + C) > 80° Найти: 20 Каким является А – острым, прямым или тупым? A - острый 50° ? Ответ:A - острый. C A 18 Возврат в меню

14. Решения треугольников Решение задач - пример № 1. Дано: Решение: a = 20 см γ = 180° - (β + ) β a с   = 75 ° γ = 180° - (75° + 60°) = 45° γ   β = 60° a / sin =b/sin β =c/sin γ b Найти: b = a (sin β / sin γ)  γ - ? b - ? c - ? b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966)  17,9 c = a  (sin γ / sin ) c = 20 (sin 45° / sin 75°)  20 (0,7 / 0,966)  14,6 Ответ:45°; 17,9 см; 14,6 см. Далее

15. c = a ² + b ² - 2  a  b  cos γ c = 49 + 529 – 2  7  23  (- 0,643)  28 Решения треугольников Решение задач - пример № 2. Дано: Решение: a c a = 7 м β  b = 23 м γ  γ = 130° b Найти: cos  = (b ² + c ² - a ²) / 2  b  c  - ? β - ? c - ? cos  = (529 + 784 – 49) / 2  23  28  0,981  11° β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°)  39° Ответ:28 см;39°; 11°. Далее

16. Решения треугольников Решение задач - пример № 3. Дано: Решение: a = 7 см cos  = (b ² + c ² - a ²) / 2  b  c β c a b = 2 см cos  = (4 + 64 – 49) / 2  2  8  0,981 c = 8 см  54°  Найти: cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2  a  c γ •  - ? • β- ? • γ - ? cos β = (49 + 64 – 4) / 2  7  8  0,973 b β 13° γ  180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113° Ответ:54°; 13°; 113°. Далее

17. Решения треугольников Решение задач - пример № 4. Дано: Решение: a / sin =b/sin β =c/sin γ β a = 12 см sin β = (b / a)  sin  a c b = 5 см sin β = (5 / 12) 0,866  0,361  = 120° β1 21° иβ2 159°, так как  - тупой, а в треугольнике может быть только один тупой угол, тоβ  21°.  γ Найти: b • c - ? • β- ? • γ - ? γ  180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39° c = a  (sin γ / sin ) c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866)  8,69 Ответ:8,69 см; 21°; 39°. Далее

18. Возврат в меню Выход Удачи!