Pituuden kontraktio

1. Luento 2 Luento 2 Pituuden kontraktio Osoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta. Ks. kuvaa alla. Maire istuu junassa (koord. S’), joka liikkuu nopeudella u Taunon suhteen (koord. S). Junassa on tanko, jonka pituus on l0. Sen päästä päähän kulkee valonsäde nopeudella c. Edestakaiseen matkaan kuluva aika on (ominaisaika, koska säde lähtee ja saapuu samaan pisteeseen S’:ssa) Taunon koordinaatistossa tangon pituus on l. Jos valonsäteen matkaan alkupäästä loppupäähän kuluu S:ssä aika Δt1, valonsäteen kulkema matka Koska valo kulkee nopeudella c, on myös totta

2. Näistä kahdesta yhtälöstä seuraa Vastaava päättely osoittaa, että valonsäteen paluumatka kestää joten edestakaiseen matkaan kuluva aika S:ssä on Toisaalta joten Pituuden kontraktio Koordinaatistossa S, jossa tanko liikkuu, tanko on siis lyhyempi kuin tangon lepokoordinaatistossa. Lepokoordinaatistossa mitattu pituus on ominaispituus (proper length). Huomaa, että lyheneminen ilmenee vain liikkeen suunnassa, ei liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Kappaleen mittasuhteet liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa pysyvät muuttumattomina.

3. Esimerkki • Avaruusalus ohittaa Maan nopeudella 0.990c. Avaruusaluksen miehistö on mitannut aluksen pituudeksi 400 m. Mikä on aluksen pituus Maasta mitattuna? • Aluksen pituutta mitataan kahdessa vertailujärjestelmässä, jotka liikkuvat toistensa suhteen vakionopeudella, ja pituus mitataan suhteellisen liikkeen suunnassa. Voidaan soveltaan pituuden kontraktion kaavaa. Aluksen ominaispituus L0 on aluksen mukana liikkuvassa koordinaatistossa mitattu pituus eli L0=400 m. Maan koordinaatistossa mitattu pituus on siten Huomaa myös, että se miltä liikkuva kappale näyttää on eriasia kuin millainen kappale on. Havainnointi perustuu valon tai muun signaalin kulkuun kappaleesta silmään tai muuhun havaintolaitteeseen. Signaalin äärellinen etenemisvauhti vaikuttaa havaintoon. Mieti miltä nopeasti liikkuva kuutio näyttäisi. Palkkien takapäästä tulevat säteet ovat lähteneet aikaisemmin liikkeelle kuin etupäästä tulevat. Niiden ollessa matkalla, palkkien etupäät ovat ehtineet siirtyä oikealle.

4. Lorentzin muunnokset Edellä huomasimme, että valonnopeuden invarianssista seuraa etäisyyksien ja aikavälien suhteellisuus eli ne riippuvat koordinaatistojen nopeuksista toistensa suhteen. Tämä tarkoittaa, että sekä paikka (x,y,z) että aika t ovat suhteellisia ja muuttuvat kuin siirrytään koordinaatistosta toiseen. Paikkaa ja aikaa on tarkasteltava yhdessä ja puhuttava tapahtumasta ja tapahtuman koordinaateista(x,y,z,t). Puhutaan paikka-aika-avaruudesta tai aika-avaruudesta tai Minkowskin avaruudesta. Lorentzin muunnokset kertovat, miten tapahtuman koordinaatit muuttuvat, kun siirrytään inertiaalikoordinaatistosta toiseen. Jos koordinaatistojen välinen liike on x-akselien suunnassa ja suhteelliseen liikkeen nopeus on u, Lorentzin muunnos on Usein on hyödyllistä tarkastella ajan t sijasta suuretta tc, jolla on sama dimensio (metri) kuin paikkakoordinaateilla. Se muuntuu näin:

5. Lorentzin kaavojen johtaminen. Oletetaan, että koordinaatistojen S ja S’ origot kohtaavat hetkellä t=t’=0. Tarkastellaan avaruuden pisteen P paikkaa eri koordinaatistoissa (ks alla oleva kuva). Origon O’ etäisyys origosta O hetkellä t on S:ssä mitattuna ut, jossa u on S’:n nopeus S:ssä. Pisteen P liikkeen suuntainen komponentti x’ on origon O’ ja pisteen välisen etäisyyden ominaispituus, joten S:ssä mitattuna tämän sama välimatka on γ-1x’. Pisteen P etäisyys x-suunnassa koordinaatiston S origosta O on S:ssä mitattuna siis O:n ja O’:n välinen etäisyys + O’:n ja P:n välinen etäisyys eli Tästä seuraa ratkaisemalla x’ Lorentzin paikkakoordinaattia koskeva muunnos x’=γ (x-ut). Suhteellisuusteorian toisen oletuksen mukaan eri inertiaalikoordinaatistoissa fysiikan lait pitää olla voimassa samanmuotoisina. Jos yllä oleva tarkastelu tehdään S:n sijasta S’:ssa, saatava kaava tulee olla Ainoa fysikaalinen ero tilanteiden välillä on, että nyt liikkuvan koordinaatiston (S) nopeus tarkastelukoordinaatiston (S’) suhteen on –u, kun se edellä oli u.

6. Kun edellisen sivun kahdesta yhtälöstä eliminoidaan x’, saadaan ajan Lorentzin muunnos t’=γ (t-ux/c2). Pituuden ja ominaisajan mittaaminen Tarkastellaan kahta aika-paikka-avaruuden pistettä eli kahta tapahtumaa T1 ja T2, jotka tapahtuvat x-akselilla. Tapahtumien koordinaatit koordinaatistossa S ovat (x1,t1) ja (x2,t2). Tapahtumilla on yleensä sekä paikallinen että ajallinen välimatka, Δx = x2 – x1 ja Δt = t2 – t1. Kappaleen pituuden mittaus tarkoittaa kappaleen (tai välimatkan) päätepisteiden paikan lukemista samalla hetkellä eli kyse on kahdesta samanaikaisesta tapahtumasta (x1,t) ja (x2,t), Δx on kappaleen pituus tarkastelukoordinaatistossa. Olkoon S’ kappaleen lepokoordinaatisto, jonka suhteen S liikkuu nopeudella u. S’:ssa mitattu kappaleen pituus on kappaleen lepopituus eli Δx’= l0. (Päätepisteiden lukeminen ei täällä tarvitse olla samanaikaista, koska kappale on paikoillaan.) Lorentzin muunnoskaavoista nähdään, että S:ssa samanaikaisen tapahtumaparin (x1,t) ja (x2,t) välimatka S’:ssa on l0 = Δx’ =x’2 - x’1 = γ(x2 - x1) = γ (Δx - uΔt) = γ Δx = γl. Tapahtumaparin ajallinen välimatka on lyhimmillään silloin, kun tapahtumat ovat samanpaikkaisia. Tämä on tapahtumaparin ominaisaika.Tarkastellaan samanpaikkaisia tapahtumia koordinaatistossa S’ , (x’,t’1) ja (x’,t’2). Lorentzin muunnoskaavoista näkee, että koordinaatistossa S, jonka suhteen S’ liikkuu nopeudella u, aikaväli on Δt = γΔt’.

7. Nopeuksien Lorentzin muunnos Tarkastellaan x-suunnassa liikkuvaa kappaletta koordinaatistossa S ja sen suhteen x-akselin suuntaan nopeudella u liikkuvassa koordinaatistossa S’. Paikan ja ajan infinitesimaalisten muutosten välillä vallitsee Lorentzin muunnoskaavojen perusteella Muodostetaan yhtälöiden molemmista puolista osamäärä ja jaetaan vasemman puolen osamäärässä osoittaja ja nimittäjä dt:llä: Kappaleen paikan aikaderivaatat ovat nopeuksia, joten saadaan nopeuksien Lorentzin muunnos S S’ u vx Vastaavasti S S’ -u v’x

8. Sovelletaan nopeuden Lorentzin muunnosta valoon. Valonsäde etenee S:ssä x-akselin suuntaan nopeudella vx = c. Edellisten kaavojen mukaan sen nopeus S’:ssa on Valonnopeus on siis sama c kaikissa inertiaalikoordi-naatistoissa.Tämä ei ole yllätys, sillä Lorentzin muunnokset on johdettu tästä oletuksesta lähtien. Nopeuden muunnoskaavoista näkee myös, että kappaleen nopeus on pienempi kuin valonnopeus c jossakin koordinaatistossa, se sitä kaikissa muissakin inertiaalikoordinaatistossa. Tämä tarkoittaa, että mitään kappaletta ei voi kiihdyttää valonnopeuteen eikä sen yli. Invariantti neliömuoto Lorentzin muunnoksista seuraa, että (harj) eli suure on invariantti Lorentzin muunnoksissa. Sitä sanotaan invariantiksi neliömuodoksi. Samoin on suure on invariantti. Tätä voi pitää (x,ct)-avaruuden vektorin pituutena eli tavallisen 3-kolmiavaruuden vektorin Pituuden √(x2+y2+z2) yleistyksenä Minkowskin avaruuteen.

9. Pohdittavaa • Miten elo olisi erilaista, jos valonnopeus olisikin vain 10 m/s eikä 300 000 km/s? • Miten 10 m pitkän lipputangon saa sopimaan 5 m pitkään autotalliin? • Miltä näyttää valonnopeudella liikkuvan hiukkasen maailma? • Kuinka pitkä matka on Maasta Kuuhun? • Kauanko kesti 30-vuotinen sota?