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P 对 NP 问题 (Computation )

becky
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P 对 NP 问题 (Computation )

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Presentation Transcript

  1. P & NP多项式时间算法，简单！非多项式时间算法，复杂！找不到可解算法的问题，复杂！旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：找出一条通过所有城镇并回到原出发点的最短路线1→2→3(1→3→2) → …… , 这两种走法的距离不一样。可能的路线： n！怎样找出总路程最短(省钱)的一种走法？穷举法！没有最佳的方法。NP完全问题应用：运输公司配送货物；邮递员；生产线上组装工序；……穷举法：如果 T(20) = 1 h, T(21) = 21 h, … , T(25) = 728 y

  2. P对NP问题(Computation) • 背景一例：素数分解 • 验证整数n是否为素数，是一个很难的问题「很难」＝很多“Computer time”= 很慢 • 验证：素數 p 是否n的因子是一個「容易」的問題 「容易」＝很少“Computer time” = 快

  3. P问题：很少“Computer time”的问题 (Polynomial time) NP问题： (Non-deterministic polynomial) ( Non-P) • 检验「准答案」是否真的是解是P问题。 • 但要找出「解」來，看起來就难很多。

  4. P类 （Polynomial) • 判定问题：只有肯定和否定两种答案 • 优化问题可以化作判定问题处理 • P类 • 具有多项式时间算法的判定问题形成的计算复杂性类 • 猜测TSP（Traveling salesman problem)不属于P（J.Edmonds 1965）

  5. 何谓NP问题 • P是一個凡能用 O(n^k) 计算量解決之問題之集合，无法用 O(n^k) 的计算量來解決，大家都猜測它们可能在 P之外，即其計算量是呈指數增加的。 • 直到1971年古克 (Stephen A. Cook) 發表了〈The Complexity of Theorem Proving Procedures〉才把 P之外的問題歸成了三大類，即 NP, NP-complete 及 NP-hard，。 • 什么叫做 NP？NP 是英文 nondeterministic polynomial 的缩写，意思就是非確定性的多項式时间。

  6. P對NP問題: P=NP? NP完備(NP-complete)問題：─ 問題是NP完備，如果它是 P， 就所有其他的NP問題都是 P。 所以要証明P=NP，只需找出一個是P的NP-complete問題。 註：「掃地雷」(Minesweeper)遊戲是─ NP-complete問題。

  7. P & NP • 问题的复杂性和算法的复杂性 • 算法的复杂性（算法的性质）：解决问题的一个具体的算法的执行时间 • For example, sort algorithms • Bubble sort, O(n2) • Quick sort, O(nlgn) • 问题的复杂性（问题本身的复杂程度，问题固有的性质）：解决该问题的所有算法中最好算法的复杂性 • For example, sort problem, O(nlgn) • 问题的复杂性分析，考虑一类简化问题，即判定问题 • 问题的复杂性不可能通过枚举各种可能的算法来得到，为了研究的简单，仅考虑一类简单的问题，即判定问题。

  8. Problems in NP Class • P ? Polynomial • NP: N? • not Non-Polynomial，but Non-Deterministic • （多项式复杂程度的非确定性问题，即多项式时间内能验证的判断问题。例如 C = A*B, 先要猜想A和B（而没有公式能直接求出A和B，非确定性的意义也体现在这里），再验证C = A*B是否成立。） • Deterministic Problem, for example • 加减乘除：只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。

  9. Problems in NP Class • Non-Deterministic Problem(无法按部就班直接地计算出来，e.g.) • Factorization（大的合数分解质因数的问题）：M = ？× ？ • A Hamiltonian cycle of a graph G is a cycle that visits each vertex of the graph exactly once. • Problem: Given a graph G, does G have a Hamiltonian cycle?

  10. The current opinion is NP NP-Complete P Does P = NP ? • Clearly all problems in P are in NP, i.e. P  NP. • Does P = NP? • This is the biggest unsolved and the most challenging problem in computer science!

  11. NP-Complete Class • Clearly all problems in P are in NP, i.e. P  NP. • Intuitively, NP-Complete is the class of the “most difficult” problems in NP. • All NP-Complete problems appear to be difficult. • No polynomial-time algorithm has been found for any NP-Complete problem.（对任何NPC，尚没有找到多项式算法）. For example, • Hamilitonian cycle problem • Boolean Satisfiability（布尔可满足性问题） • 如果NP问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题（NPC）。 • 一个可判定性问题C是NP完全（NPC）的，如果： • 1. 这个问题是NP问题。 • 2. 所有其他的NP问题可以归约为C问题。

  12. NP NP-Complete P NP-Complete Class • 所有的NPC都可以在转换为Boolean Satisfiability • Cook 于1971找到证明了Sat是NPC，现在发现的NPC已经超过3000个 • 如果任一NPC问题多项式可解，则所有NPC都是多项式可解！ • Complete（封闭的、完全的）

  13. 计算难度比较的标准 • 难易是比较而言的 • 多项式时间归约（Karp归约 1972) • 定义 • 问题A多项式时间内转化为问题B的特殊情况，则称A可多项式归约于B，记为 • 转化时间为多项式 • 对于A的输入I 的回答与其对应的B的输入 f(I) 一致

  14. NPC P NP 如果 ，则指数灾难无法避免 现在的估计 P=?NP （P-NP问题） P=NP

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