Sugárkövetés: ray-casting, ray-tracing

1. Sugárkövetés:ray-casting, ray-tracing Szirmay-Kalos László

2. Képszintézis pixel

3. Lokális illuminációs módszer L(x,w)=Le(x,w)+L(h(x,-w),w)fr (’,x,) cos ’dw’ • A jobb oldali radiancia: • fényforrások emissziója • Fényforrások fényének egyszeri visszaverődését számítjuk L(x,w)=Le(x,w)+Llightsource fr (’,x,) cos ’dw’  Le(y,w’)

4. Absztrakt fényforrás modellek: az integrálást megspórolják • Ambiens fényforrás: La constant • ambiens visszaverődési modell: Lref = La ka • konstans égbolt fény modell: Lref = La a(x, view dir) • Irány fényforrások: egyetlen irányba sugároz, a fénysugarak párhuzamosak, az intenzitás független a pozíciótól • Pozicionális fényforrás: egyetlen pontból sugároz, az intenzitás a távolság négyzetével csökken d irány pozicionális

5. Lokális illumináció absztrakt fényforrásokkal ’l pixel Csak direkt megvilágítás L(w) Le(w)+SlrlLl (’l)fr (’l,) cos ’l 0/1: Fényforrás láthatóság Pont, irányfényforrásokból származó megvilágítás

6. Ambiens tag Lokális illumináció + ambiens tag L(w) Le(w)+SlrlLl (’l)fr (’l,) cos ’l+ka La

7. Lokális illuminációs algoritmusok pixel • Láthatóság számítás a szemből • Fényforrás láthatóság számítás a látható pontból • A fényforrás fényének visszaverése a nézeti irányba: felületi normális

8. Sugár egyenlete • Szakasz egyenlete • Félegyenes egyenlete r(t) = (1-t)*r0 + t*r1 ; 0 < t < 1 0 < t r(t) = r0 + t*(r1 - r0); 0 < t r0 ból r1be mutató vektor (a sugár iránya) (normalizálatlan) sugár kezdőpontja r(t) = e + t*d; 0 < t

9. Láthatóság a szemből pixel ray(t) = eye + v ·t, t > 0 FirstIntersect(ray  t, iobject, x) t = FLT_MAX; FOR each object tnew = Intersect( ray, object ); // < 0 if no intersection IF (tnew > 0 && tnew < t ) t = tnew, iobject = object ENDFOR IF (t < FLT_MAX) x = eye + v ·t; RETURN (t, iobject, x); RETURN „no intersection” END

10. Metszéspont számítás gömbbel |r - center |2 = R2 r R center Nincs gyök 1 gyök 2 gyök |ray(t) - center |2 = R2 (v ·v) t 2 + 2 ((eye-center) ·v) t +((eye-center) ·(eye-center))- R2 = 0 Wanted: minimum pozitív megoldás Felületi normális: (ray(t) - center)/R

11. Kvadratikus felületek x y z 1 Másodfokú egyenlet Kvadratikus felület: [x,y,z,1] A = 0 Végtelen kúp x2 y2 Ellipszoid x2 y2 z2 Végtelen henger x2 y2  +  +  -1=0  +  - 1=0  +  - z2=0 a2 b2 a2 b2c2 a2 b2

12. Példa: sugár metszéspontja kvadratikus felülettel • Felület egyenlete legyen • Ugyanez mátrixformában 3x2+ 2xy + z2 + 2z - 7= 0 x y z 1 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 x y z 1 = 0

13. Sugár egyenlete • A sugár kezdőpontja legyen E = [0 1 0] és az iránya D = [1 1 0] • Írjuk vissza ebbe: x(t) = ex + dxt = 0 + 1t = t y(t) = ey + dyt = 1 + 1t = 1 + t z(t) = ez + dzt = 0 + 0t = 0 másodfokú egyenlet (-b √(b2-4ac))/2a 3x2+ 2xy + z2 + 2z - 7= 0 3*t*t+ 2*t*(1+t) + 0*0 + 2*0 - 7= 0 3t2 + 2t2 + 2t -7 = 0 5t2 + 2t - 7 = 0 t = [-2√(2*2 - 4*5*(-7))] /(2*5) = [-2√144]/10 = [-212]/10; t1= -1.4, t2 = 1 ebből a legkisebb pozitív t=1

14. Metszéspont • Sugár egyenletébe t=1 • A metszéspont [1 2 0]ban van x(t) = ex + dxt = 0 + 1t = t = 1 y(t) = ey + dyt = 1 + 1t = 1 + t = 2 z(t) = ez + dzt = 0 + 0t = 0 = 0

15. a 4edik mindig legyen 1 Eh = 1, Dh = 0 Ugyanez a számítás mátrixműveletekkel x y z 1 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 x y z 1 = 0 X A XT XAXT=0 sugáregyenlet kezdőpont irány X(t) = E + tD

16. Behelyettesíve (E+tD)A(E+tD)T=0 Matrixszorzás linearis művelet: (összeg szorzata a szorzatok összege) EA(E+tD)T+ tDA(E+tD)T =0 EAET + tEADT + tDAET + t2DADT = 0 DADT t2 + (EADT+ DAET) t + EAET = 0 a felület mátrixából, és a sugár kezdőpontjából és irányából számítható együtthatók másodfokú egyenlet t-re

17. A konkrét példában DADT t2 + (EADT+ DAET) t + EAET = 0 DADT = = = 5 EADT = = = 0 DAET = = = 2 EAET = = = -7 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 1 1 0 0 1 1 0 0 3 2 0 0 1 1 0 0 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -7 0 1 0 1 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 0 1 0 1 0 1 0 1 3 2 0 0 1 1 0 0 320 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0-7 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 -7 0 1 0 1 5t2 + 2t - 7 = 0

18. Metszéspont számítás: háromszög r3 p r1 r2 r1 1. Síkmetszés: (ray(t) - r1) ·n = 0, t > 0 normál: n = (r2 - r1) x (r3 - r1) 2. A metszéspont a háromszögön belül van-e? ((r2 - r1) x (p - r1)) ·n > 0 ((r3 - r2) x (p - r2)) ·n > 0 ((r1 - r3) x (p - r3)) ·n > 0 Felületi normális: n vagy „shading normals”

19. Példa: hsz-sugár metszéspont • Sugár kezdőpont [0 2 0], irány [0 0 1] • Háromszög csúcsai: • [0 3 2], [1 1 1], [-1 2 1] • Hsz síkjának egyenlete • normál • síkegyenet • egyik csúcsot [1 1 1] beírva kapjuk Dt n = ([1 1 1] - [0 3 2])×([-1 2 1] - [0 3 2]) = [1 -2 -1]×[-1 -1 -1] = [1 2 -3] Ax + By + Cz + D = 0 x + 2y - 3z + D = 0 1+ 2 - 3 + D = 0; D = 0; x + 2y - 3z = 0

20. Sík-sugár metszéspont • Sík • Sugár • Sugár beírva a síkba • Metszéspont (t vissza a sugáregyenletbe) x + 2y - 3z = 0 x= 0 + 0t = 0 y = 2 + 0t = 2 z = 0 + 1t = t 0 + 2 - 3t = 0 t = 2/3 [0 2 2/3]

21. [0 3 2], [1 1 1], [-1 2 1] [0 2 2/3] Benne van-e a hszben ((r2 - r1) x (p - r1)) ·n > 0 ((r3 - r2) x (p - r2)) ·n > 0 ((r1 - r3) x (p - r3)) ·n > 0 [1 -2 -1]×[-1 1 -1/3] = [5/3 4/3 -1] [5/3 4/3 -1]·[1 2 -3] = 5/3 + 8/3 + 3 > 0 stb… ha mind igaz, a pont bent van a hszben ha nem, a sugár nem metszi a hszt

22. Árnyaló normálok N N2 N1 (X1, Y1, Z1 ) N3 N = A X + B Y+C A, B, C N1 = A X1+ B Y1+C N2 = A X2+ B Y2+C N3 = A X3+ B Y3+C 3 változós lineáris egyenletrendszer

23. r(0,0) r(0,0.5) r(0.5,0) r(0,1) r(1,0) r(0.5,0.5) r(1,1) Parametrikus felületek r(u,v), u,v in [0,1] ray(t) = eye + v ·t, t > 0 r(u,v) = ray(t) Egyenlet megoldás: u,v,t Teszt: 0< u,v < 1, t > 0 Rekurzív tesszelláció

24. Transzformált objektumok T1 T1-1 T2 T2 -1

25. CSG modellek Különbség: gömb tégla Reguláris halmazművelet a szakaszokra:

26. Ray-casting képek Lokális illumináció valós idő Lokális illumináció + árnyékok 0.1 sec … 1 sec

27. Sugárkövetés Tört sugár Tükör sugár Ll Árnyék sugár L(w) = Le(w)+SlrlLl (’l)fr (’l,) cos ’l+ka La+ + krLin (wr) + ktLin(wt) Törési irányból érkező fény Tükör irányból érkező fény

28. Rekurzió Sugárkövetés lépései • A szembe a pixel irányából érkező sugársűrűség • Adott irányba látható felületi pont és normálvektor • A felületi pontból látható fényforrások • A felületi pontban a tükör és törési irány • A tükör irányból érkező sugársűrűség • A törési irányból érkező sugársűrűség • Az árnyalási egyenlet kiértékelése

29. Sugárkövetés (Ray-tracing) p ray Render( ) for each pixel p Ray r = ray( eye  pixel p ) color = Trace(ray) RGB = ToneMapping(color) WritePixel(p, RGB) endfor end p RGB

30. x Sugárkövetés: Trace függvény Color Trace( ray ) IF (FirstIntersect(ray  object, x)>0 ) RETURN La ENDIF color = Le (x, -ray.dir) color += Direct Lightsource(x, -ray.dir) IF ( kr > 0 ) THEN ReflectDir( ray, reflected ray) color += kr · Trace( reflected ray ) ENDIF IF ( kt > 0 && RefractDir( ray, refracted ray ) ) color += kt · Trace( refracted ray ) ENDIF RETURN color ray

31. x Sugárkövetés: Trace függvény Color Trace( ray, d) IF d > dmax THEN RETURN La IF (FirstIntersect(ray  object, x) > 0) RETURN La ENDIF color = Le (x, -ray.dir) color += Direct Lightsource(x, -ray.dir) IF ( kr > 0 ) THEN ReflectDir( ray, reflected ray) color += kr · Trace( reflected ray, d+1) ENDIF IF ( kt > 0 && RefractDir( ray, refracted ray ) ) color += kt · Trace( refracted ray, d+1 ) ENDIF RETURN color ray

32. DirectLightsource DirectLightsource( x, vdir ) color = ka La FOR each lightsource l DO shadowray = x to lightsource[l] t = FirstIntersect( shadowray ); IF (t < 0 || t > |x - lightsource[l].pos|) color += Brdf(ldir, x, vdir) cos l' lightsource[l].Intensity ENDIF ENDFOR RETURN color árnyék pixel x

33. Ray-tracer osztálydiagram Material Le, kd, ks, shine kr, kt, n BRDF ReflectDir RefractDir Object Scene Light transform La Le, pos Primitive( ) Define Render FirstIntersect DirectLightsource Trace(Ray) Dir(Point) Intens(Point) Primitive Intersect(Ray) Normal(Point) Camera Ray XRES, YRES vrp, vpn, vup eye, ww, wh Sphere Mesh dir, start Center, radius vertices[ ] Dir Start GetXRes( ) GetYRes( ) GetRay(int,int) Intersect(Ray) Normal(Point) Intersect(Ray) Normal(Point)

34. Sugárkövetés: eredmény Számítási idő  Pixelszám x Objektumszám x (Fényforrás szám+1)

35. Befoglaló térfogat (Bounding Volume) double IntersectBV( ray, object ) // < 0 ha nincs IF ( Intersect( ray, bounding volume of object) < 0) RETURN -1; RETURN Intersect( ray, object ); END

36. Térpartícionáló módszerek objektumok Elő- feldolgozás Sugár követés Térpartícionáló adatstruktúra Első metszéspont • Adatstruktúra: • Ha ismert a sugár, akkor a potenciális metszett objektumok számát csökkenti • Ha a potenciálisak közül találunk egyet, akkor a többi nem lehet közelebb

37. Sugárkövetés: FOR each cell of the line // line drawing Metszés a cellában lévőkkel IF van metszés RETURN ENDFOR átlagos eset komplexitás: O(1) Reguláris térháló Előfeldolgozás: Minden cellára a metszett objektumok komplexitás: O(n ·c) = O(n2)

38. Cellák bejárására algoritmus Nyilvántartjuk, mely t sugárparaméternél lépjük át a következő x,y,z irányú cellahatároló síkot, (Cx, Cy, Cz) a cellaméret • kezdetben változás ebben a cellában vagyunk Ix = Ex/ Cx Tx= (Ix+1)Cx/Dx Ix += 1 Tx+= Cx/Dx ennél a t értéknél lépünk Tx, Ty, Tz; kiválasztjuk a legkisebbet frissítjük I-t és T-t

39. 1 2 3 3 Nyolcas (oktális) fa Faépítés( cella ): IF a cellában kevés objektum van cellában regisztráld az objektumokat ELSE cellafelezés: c1, c2, …, c8 Faépítés(c1); … Faépítés(c8); ENDIF 2 1 3 Sugárkövetés: FOR összes sugár által metszett cellára Metszés a cellában lévőkkel IF van metszés RETURN ENDFOR Octree

40. 1 2 3 Binary Space Partitioning fa (kd-fa) Faépítés( cella ): IF a cellában kevés objektum van cellában regisztráld az objektumokat ELSE sík keresés cella felezés a síkkal: c1, c2 Faépítés(c1); Faépítés(c2); ENDIF 2 1 3 Sugárkövetés: FOR each cell intersecting the line Metszés a cellában lévőkkel IF van metszés RETURN ENDFOR kd-tree