第一章　预备知识

第一章　预备知识 §2　标架

1．正交标架及其变换 ①E3中右手直角坐标系O-xyz等同于单位正交右手标架{O; i , j , k} (简称正交标架)． ②坐标 A (x, y, z) 向量 OA= (x, y, z) =x i+y j+z k．在这个意义下，欧氏空间 E3 中的点与向量空间 R3 中的向量是一一对应的

③设 E3的另一个单位正交右手标架 {P;e1 , e2 , e3} 在 {O;i , j , k} 之下表示为则正交条件和右手关系分别表示为

则 ④矩阵写法:记其中 b是点 P在 {O;i , j , k} 之下的坐标，A是基变换矩阵( 　是过渡矩阵），I3是3阶单位矩阵． A是行列式为1 的3阶（实）正交矩阵，通常记为 ASO(3) ．

　　　反之，对给定的 bＲ3和 ASO(3) ，该式确定了新的单位正交右手标架{P;e1 , e2 , e3}． ⑤用群论的语言来说，E3中的单位正交右手标架的基变换全体构成群SO(3) ，从而 E3中的单位正交右手标架全体可视为 6 维空间 E3SO(3) = {(b, A)  bＲ3, ASO(3)} ；

①设点 Q在 {O;i , j , k} 之下的坐标为 (x, y, z) ，在变换后的标架 {P;e1, e2, e3} 之下的坐标为 (x*, y*, z*) ，即则由 OQ=OP+PQ即得 (1.7) (x, y, z) =b+ (x*, y*, z*) A，(新表旧） (1.8) (x*, y*, z*) = (x, y, z) AT-bAT．（旧表新）２．点的坐标变换

①刚体运动，刚体．若在刚体上安装一个单位正交右手标架，则伴随着刚体的运动形成该标架的运动，并且该标架在不同时刻的位置差异可以表示为正交标架变换．①刚体运动，刚体．若在刚体上安装一个单位正交右手标架，则伴随着刚体的运动形成该标架的运动，并且该标架在不同时刻的位置差异可以表示为正交标架变换． ②将空间 E3中的每一点都视为刚体上的一点，则伴随着刚体的运动便会形成 E3到其自身的一系列点变换． 3．刚体运动与等距变换即，即刚体运动与正交标架变换可以等同对待

③等距变换： ：E3→ E3，使 对 P,QE3有 PQ  (P)(Q) ． ④等距变换的分解：刚体运动、反射或它们的复合．刚体运动的分解：平移、旋转或它们的复合．

4．仿射标架 ①仿射标架: {P;e1 , e2 , e3}．混合积 (e1 , e2 , e3) 的符号确定了该仿射标架的定向． ②基向量之间的内积 ei·ej  gij , i, j  1, 2, 3 确定了在该仿射坐标系下的向量分量形式之下的内积运算，即对任何 a= (a1 , a2 , a3 ) = a1e1 + a2e2 + a3e3 , b= (b1 , b2 , b3 ) = b1e1 + b2e2 + b3e3 ,总有称 (gij)33 为该仿射标架的度量系数矩阵．

③等距变换不改变仿射标架的度量系数矩阵， 刚体运动不改变仿射标架的定向．仿射标架之间的基变换矩阵是三阶非奇异方阵，仿射标架全体可以视为12维空间 E3GL(3) ，其中 GL(3) 是三阶一般线性群．

第一章 预备知识