Ekonometrické prognózovanie

1. Ekonometrické prognózovanie

2. Jedným z hlavných cieľov ekonometrického modelovania je prognózovanie, popr. predikcia, hodnôt vysvetľovaných endogénnych premenných mimo interval kvantifikácie. tj. ak sme model kvantifikovali na základe n pozorovaní (1, 2, ..., n), prognóza sa týka nasledujúcich období tj. n + 1, n + 2, ..., n + p. Ekonometrická prognóza alebo predpoveď je kvantitatívnym odhadom pravdepodobnosti budúcej hodnoty konkrétnej ekonomickej veličiny pomocou minulej aj súčasnej informácie, reprezentovanej odhadnutým modelom. KLASIFIKÁCIA PREDPOVEDÍ Kritérií pre klasifikáciu prognóz existuje celý rad, preto sa zmienime len o tých, ktoré majú v ekonometrii opodstatnenie. Termín predpoveď alebo prognóza sa spravidla používa pre extrapoláciu modelu do budúcnosti, ale predpoveď je možné chápať aj ako extrapoláciu do minulosti (vtedy hovoríme o retrospektivite). Rozlišujeme bodovú predpoveď, spočívajúcu v odhade jednej budúcej hodnoty predikovanej veličiny pre dané obdobie a intervalovú predpoveď, predstavujúcu obdobu intervalu spoľahlivosti, ktorý obsahuje skutočnú hodnotu predikovanej premennej v období predpovede s vopred požadovanou pravdepodobnosťou.

3. Z praktických aj metodologických dôvodov rozlišujeme predpovede: – ex post – ex ante. Predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej získame vtedy, ak môžemestanoviť tak hodnoty endogénnych ako aj vysvetľujúcich predeterminovaných premenných v období predpovede s istotou. Porovnaním predpovedí ex post so skutočnou hodnotou predikovanej endogénnej premennej je možné stanoviť vhodnosť ekonometrického modelu k prognózovaniu. Prognóza ex ante vysvetľovanej endogénnej premennej znamená, že v období predpovede nepoznáme ani hodnotu predikovanej veličiny ani niektoré (často všetky) hodnoty vysvetľujúcich predeterminovaných premenných s istotou. Preto sme nútení ich odhadovať alebo stanoviť na základe apriórnych informácií. Predpoveď ex ante je možné označiť za predpoveď v pravom slova zmysle na rozdiel od predpovede ex post, ktorá má charakter pseudopredpovedí. V ekonometrickom prognózovaní rozlišujeme predpovede na : –nepodmienené predpovede – podmienené predpovede. Ak v období predpovede poznáme všetky hodnoty predeterminovaných premenných s istotou, je možné stanoviť nepodmienenú predpoveď. Teda každá prognóza ex post má charakter nepodmienenej predpovede, pričom prognóza ex ante je podmienenou predpoveďou

4. Rovnako ako pri odhade ekonometrického modelu je možné usudzovať o neznámych skutočných hodnotách parametrov len s určitou pravdepodobnosťou, podobne platí aj pre ekonometrické prognózovanie, že na základe odhadnutého modelu nezískame podmienené predpovede vysvetľovaných endogénnych premenných celkom presne, ale s určitou chybou. Odchýlka predpovede od skutočnej hodnoty predikovanej endogénnej premennej v období predpovede predstavuje chybu predpovede. Jej veľkosť a a variabilita sú ovplyvnené predovšetkým týmito faktormi: • Stochastickým charakterom modelu • Náhodnou chybou, ktorou sú zaťažené odhadnuté parametre modelu, takže ich hodnoty získané z ktoréhokoľvek výberu pozorovaní sa viac či menej odchyľujú od skutočných hodnôt parametrov. • Pri podmienenej predpovedi hodnoty vysvetľujúcich predeterminovaných premenných, získané odhadom alebo extrapoláciou pre obdobie predpovede, tiež obsahujú náhodnú chybu. • Chybnou špecifikáciou odhadnutého ekonometrického modelu v období predpovede z dôvodu jeho nestability v čase. V dôsledku pôsobenia vyššie popísaných vplyvov na proces predikcie majú ekonometrické predpovede stochastický charakter. Cieľom je teda získať také prognózy, ktoré zaručujú, že ich chyba má napr. minimálny rozptyl, sú nestranné nevychýlené...

5. Viacrovnicové modely Doteraz sme zaoberali špecifikáciou, kvantifikáciou a verifikáciou jednorovnicových EM, ktoré popisujú závislosť ekonomických premenných bez prihliadnutia k vzájomným väzbám medzi rôznymi oblasťami ekonomiky. Vzťahy medzi premennými sa tak redukujú len na jednostrannú príčinnú závislosť jednej vysvetľovanej premennej na konečnej množine nestochastických vysvetľujúcich premenných a náhodnej zložke. V ekonomickej praxi však nevystačíme pri určení endogénnej premennej len s jedinou rovnicou, lebo chovanie tak makro ako aj mikroekonomických veličín je možné uspokojivo vysvetliť len sústavou viacerých navzájom závislých rovníc. Tým sa môže stať, že endogénna premenná môže mať charakter tak vysvetľovanej ako aj vysvetľujúcej premennej. • Ak existuje niekoľko endogénnych premenných, ktoré vystupujú v úlohe tak vysvetľujúcich ako aj vysvetľovaných premenných, súčasne determinované sústavou lineárnych či nelineárnych vzťahov jedná sa o ekonometrický model simultánnych rovníc EMSR • – aspoň jedna rovnica obsahuje viac ako jednu endogénnu premennú • celkový počet endogénnych premenných je rovný počtu rovníc • v EMSR existujú spätné väzby medzi endogénnymi premennými časovo neoneskorenými • MNŠ (až na špeciálne prípady) neposkytuje nestranné ani konzistentné odhady parametrov (existencia nestochastických aj stochastických endogénnych premenných)

6. Rôzne tvary EMSR a ich maticový zápis. Na vysvetlenie základných tvarov EMSR použijeme jednoduchú sústavu štyroch rovníc v tvare: 1. Yt je hrubý domáci produkt v čase t Ct sú osobné spotrebné výdavky na statky a služby v čase t It sú hrubé národné investície v čase t Gt sú štátne výdavky na statky a služby v čase t Zt je počet pracovníkov vo výrobnej sfére v čase t Ut náklady na investovanie vyjadrené úrokovou mierou v čase t Prvé tri rovnice sú stochastické regresné rovnice, štvrtá rovnica vyjadruje bilančnú rovnováhu je nestochastická – identita. Identity neobsahujú parametre, môžu byť formulované ako bilančné alebo definičné. Model 1. predstavuje tzv. štrukturálnu formu (tvar) zápisu.

7. EMSR býva často zapísaný v maticovom tvare. Zápis modelu sa odlišuje podľa náhľadu na model, resp. podľa účelu jeho použitia. Model 1. upravíme tak, že na ľavú stranu presunieme všetky premenné okrem náhodnej zložky, pričom ich zapíšeme pod sebou: Y I C G Z U 1 2. Sústavu je možné zapísať v maticovom tvare vo forme interpretačného zápisu 3.

8. Prvý vektor je vektor endogénnych premenných Za ním nasleduje matica parametrov endogénnych premenných Vektor predeterminovaných premenných Matica parametrov predeterminovaných a vektor náhodných zložiek Model v maticovom zápise má tvar: 4.

9. Kvantifikačný zápis modelu Ak zovšeobecníme uvedený model pre G endogénnych premenných a K predeterminovaných premenných je možné namiesto vektorov definovať matice endogénnych a predeterminovaných premenných Rozmer (n x G) Rozmer (n x K) Matice parametrov endogénnych a predeterminovaných premenných budú mať tvar Rozmer (G x G) Rozmer (K x G) Kvantifikačný zápis modelu v maticovom tvare: 5.

10. Matica U je matica náhodných zložiek n pozorovaní v jednotlivých G rovniciach 5. Ako je vidieť z tvarov matíc A a B, počet rovníc modelu je daný počtom riadkov matice A tj. počtom endogénnychpremenných resp. počtom stĺpcov matice B. Zápis j – tej rovnice modelu vo všetkých pozorovaniach je možné zapísať Počet endogénnych premenných v j – tej rovnici označme Gga počet endogénnych premenných, ktoré sa v rovnici nevyskytujú označíme Ggg. Platí pritom pre celkový počet endogénnych premenných: G = Gg + Ggg Podobne aj pre predeterminované premenné v j – tej rovnici platí, že ich počet vyskytujúcich sa v rovnici je Kk, nevyskytujúcich sa v rovnici je Kkk Pre celkový počet predeterminovaných premenných platí: K = Kk + Kkk

11. Rekurzívny a interdepedentný EM. Pojem rekurzívny a interdepedentný systém rovníc má dôležitý význam pre kvantifikáciu modelu tj. pri rozhodovaní ktorú metódu odhadu parametrov EM zvoliť. Východiskom pre určenie rekurzivity modelu je tvar matice parametrov endogénnych premenných modelu A. Rozmer (G x G) Matica A má na hlavnej diagonále vždy jednotky napr: Y I C G

12. Koeficienty v stĺpcoch matice A predstavujú parametre endogénnych premenných v jednotlivých rovniciach modelu. Ak sa vyskytujú v matici A parametre nad aj pod diagonálou, tj. Matica má všeobecný tvar model obsahuje spätné väzby medzi endogénnymi premennými. Takýto tvar modelu budeme nazývať interdepedentný systém. Ak matica A je trojuholníková tzn. nulové prvky sa vyskytujú pod diagonálou, model obsahuje len jednostranné väzby (nie spätné) a nazýva sa rekurzívny systém. Trojuholníkový tvar matice parametrov endogénnych premenných je síce nutnou, avšak nie postačujúcou podmienkou rekurzivity systému, pretože zároveň musí byť splnená aj podmienka nezávislosti náhodných premenných z rôznych rovníc modelu. Kovariačná matica náhodných zložiek jednotlivých rovníc je diagonálna

13. Redukovaný tvar modelu – redukcia modelu Redukovaným tvarom modelu nazývame taký model, v ktorom je každá endogénna premenná vyjadrená ako funkcia všetkých predeterminovaných premenných modelu a náhodnej zložky. Redukcia modelu sa nazýva jeho transformácia zo štrukturálneho tvaru na redukovaný podľa jednotlivých endogénnych premenných substitúciou a elimináciou. Redukciou sa : – nemení počet rovníc modelu – model obsahuje toľko rovníc koľko je v modeli endogénnych premenných – odstráni simultánnosť modelu – redukované parametre modelu sú lineárnou kombináciou štrukturálnych parametrov – každá endogénna premenná je funkciou všetkých predeterminovaných premenných Redukciu modelu si ukážeme na štrukturálnej forme modelu a kvantifikačnom zápise modelu:

14. Redukcia štrukturálnej formy modelu Ak rovnicu vynásobíme sprava maticou A-1 osamostatníme vektor endogénnych premenných Je jednotková matica Označme: Redukovaný model má potom tvar

15. Matica P je maticou redukovaných parametrov všetkých predeterminovaných premenných. Jej prvky vyjadrujú celkové pôsobenie predeterminovaných premenných na endogénne premenné. Vyjadrujú tak ich priame pôsobenie, ako aj nepriame vplyvy, ktoré sú sprostredkovávané spätnými väzbami medzi simultánne závislými endogénnymi premennými. Vektor je vektor náhodných zložiek redukovanej formy modelu. Redukovaný tvar modelu je možné analogickým spôsobom odvodiť aj z kvantifikačného zápisu modelu Násobením tejto rovnice maticou A-1 sprava a po úprave dostaneme:

16. Už sme uviedli, že prvky matice P vyjadrujú priame aj sprostredkované pôsobenie predeterminovaných premenných na endogénne premenné. Vyjadruje teda komplexné vplyvy predeterminovaných premenných na endogénne premenné. Maticu P nazývame maticou multiplikátorov. Redukcia modelu nie je samoúčelným aktom, jej zmyslom je nájsť riešenie pre odhad parametrov štrukturálnych parametrov simultánneho modelu, ak tieto nemôžu byť odhadnuté priamo zo štrukturálnej formy rovníc. Okrem toho redukovaný tvar modelu je východiskom pre konštrukciu prognóz pomocou EM.

17. Model simultánnych rovníc (MSR) a predpovede. Východiskom pri ekonometrickom prognózovaní na základe MSR je redukovaný tvar modelu, lebo v dôsledku existencie spätných väzieb medzi simultánne závislými endogénnymi premennými nie je štrukturálny tvar MSR k predpovediam vhodný. Z metodologického hľadiska je vhodné rozlišovať pre účely predikcie v množine všetkých vysvetľujúcich premenných endogénne premenné časovo oneskorené čím redukovaný tvar modelu je možné zapísať: 1. 2. G x 1 vektor endogénnych premenných G x 1 vektor endogénnych časovo oneskorených premenných o jedno obdobie K x 1 vektor exogénnych premenných G x 1 vektor náhodných zložiek redukovaného modelu G x 1 vektor náhodných zložiek štruktúrneho modelu G x G matica dynamických multiplikátorov G x G matica bežných multiplikátorov

18. Oneskorené endogénne premenné len o jedno obdobie predpokladáme kvôli jednoduchosti. Všeobecne môže byť jeho dĺžka rôzna . Prvý model je neobmedzený redukovaný tvar (1.) a obmedzený redukovaný tvar (2.) sú riešením štrukturálneho tvaru MSR: 3. Po úprave je možné tiež prepísať sústavu do tvaru: 4. Odhady parametrov neobmedzeného redukovaného tvaru (1.) je možné priamo získať použitím MNŠ, kým odhady matíc parametrov obmedzeného redukovaného tvaru modelu (2.) určíme nepriamo z odhadnutých parametrov štruktúrnych rovníc sústavy (3.) napr. DMNŠ... Ak obsahuje štruktúrny tvar MSR lineárne vzťahy, ktoré sú presne identifikované, neexistujú rozdiely v priamych a nepriamych odhadoch parametrov redukovaného tvaru modelu. Ak je MSR preidentifikovaný, dospejeme pri priamom odhade parametrov neobmedzeného redukovaného tvaru k odlišným výsledkom v porovnaní s nepriamymi odhadmi parametrov obmedzeného redukovaného tvaru MSR .

19. Funkcia simultánnych predpovedí a jej chyby. Ak chceme stanoviť pomocou odhadnutého redukovaného tvaru MSR krátkodobú predpoveď ex ante hodnôt všetkých simultánne závislých endogénnych premenných modelu v období predpovede T + 1, vyjdeme z funkcie simultánnych predpovedí: 5. Je G x 1 vektor podmienených simultánnych predpovedí endogénnych premenných v období T +1 Je K x 1 vektor predpokladaných hodnôt exogénnych premenných v období T + 1 Priame resp. nepriame odhady matíc parametrov redukovaného tvaru modelu.

20. Prvý výraz na pravej strave rovnice (5.) vyjadruje závislosť vektora simultánnych predpovedí endogénnych premenných na známych hodnotách týchto premenných v predchádzajúcom, tj. bežnom období T. Táto zložka predstavuje systematický vplyv o jedno obdobie oneskorených hodnôt endogénnych premenných na jej hodnoty v období predpovede v dôsledku autoregresných vzťahov. Ako váhy vystupujú odhadnuté dynamické multiplikátory obsiahnuté v matici . Druhý člen vo funkcii (5.) charakterizuje závislosť vektora predpovedí na predpokladaných hodnotách vysvetľujúcich exogénnych premenných modelu v období T + 1. Zložky vektora môžu byť získané rôznymi metódami (extrapoláciou, expertné odhady, metódy exponenciálneho vyhladzovania, Box Jenkinsove modely, alebo pomocou iného ekonometrického modelu...) Váhami v tejto zložke sú odhadnuté bežné multiplikátory predstavované maticou .

21. Kritéria hodnotenia ekonometrických predpovedí • K hodnoteniu predpovedí je možné využiť tak parametrické, ako aj neparametrické kritéria. • Parametrické kritéria: • Overovanie hypotézy o nestrannosti či konzistencii predpovedí • Testovanie štruktúry stability modelu • Testy štatistickej významnosti bodových predpovedí • Stanovenie spoľahlivosti intervalových predpovedí Najčastejšie sa využívajú testovacie štatistiky založené na normálnom rozdelení, Studentovom rozdelení, alebo F rozdelení. Výhodou parametrických kritérií je , že pre daný koeficient spoľahlivosti umožňujú jednoznačné prijatie či odmietnutie vopred formulované hypotézy. Menej vhodné sú však pre porovnávanie dvoch alebo viacerých prognóz, získaných z rôznych ekonometrických modelov. V takých prípadoch je účelné aplikovať neparametrické kritéria

22. K neparametrickým kritériám kvality predpovedí patria predovšetkým kvantitatívne ukazovatele štatistického a ekonometrického charakteru. Ide najmä o rôzne miery presnosti predpovedí, ukazovatele presnosti generovania bodov zvratu pri predikcii, charakteristiky štruktúry chýb predpovedí, grafické metódy porovnania skutočných a predikovaných hodnôt... Stredná kvadratická chyba ekonometrických predpovedí ex post 6. je predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej skutočná hodnota endogénnej premennej h dĺžka horizontu predpovedi Ukazovateľ (6.) je mierou odchýlky postupnosti predikovaných hodnôt endogénnej premennej od skutočnej trajektórie jej hodnôt v priebehu celého horizontu v dĺžke h období. Jeho veľkosť pre rôzne premenné posudzujeme v percentách.

23. Theilov koeficient nesúladu Podobnou charakteristikou presnosti resp. kvality ekonometrickej predpovede ex post, nezávislou na merných jednotkách a použiteľnou i ako kritérium vhodnosti modelu k predikcii a ku generovaniu bodov zvratu je Theilov koeficient nesúladu postupnosti relatívnych zmien predpovedí a skutočných hodnôt vysvetľovanej premennej 7. je predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej skutočná hodnota endogénnej premennej h dĺžka horizontu predpovedi Hodnota koeficientu 0 znamená, že všetky predpovede ex post sú perfektné, takže čím menší je koeficient nesúladu, tým lepšia je predikčná schopnosť resp. presnosť modelu.

24. Theilovu štatistiku je možné využiť k rozkladu celkového nesúladu na tri zložky, umožňujúce charakterizovať rôzne zdroje či príčiny nepresnosti predpovedi ex post. Čitateľ zlomku pod odmocninou výrazu (7.)tj. Strednú kvadratickú chybu predpovedi ex post v relatívnom vyjadrení, môžeme za týmto účelom prepísať: 8. pričom

25. Prvá zložka ukazuje, do akej miery je nesúlad medzi predikovanými hodnotami a aktuálnymi hodnotami endogénnych premenných spôsobený systematickou chybou, tj. rozdielom v ich priemeroch. Druhá zložka vyjadruje, aký podiel má na strednej kvadratickej chybe systematický rozdiel medzi štandardnými odchýlkami predikovanej a skutočnej hodnoty vysvetľovanej endogénnej premennej. Tretia zložka reprezentuje nesystematickú náhodnú chybu, spôsobenú nedostatočnou koreláciou predikovanej a skutočnej vysvetľovanej endogénnej premennej. Ak je r = 1, zložka kovariancie chyby predpovede ex post nie je nulová. Túto zložku nie je možné, na rozdiel od prvých dvoch systematických zložiek redukovať, napríklad využitím dodatočnej informácie pri predikcii. Ak vyjadríme všetky tri zložky vo vzťahu k celkovej strednej kvadratickej chybe predpovede, dospejeme tak k relatívnemu (percentuálnemu) nesúladu v tvare:

26. 9.

27. Podiel skreslenia U1 by mal byť pre ľubovoľnú hodnotu koeficientu U blízky nule. Relatívne veľký podiel 0,1 až 0,2 znamená, že je nutné model modifikovať s cieľom znížiť systematické skreslenie. Podobne vysoký podiel U2 svedčí o tom, že postupnosť predikovaných zmien sa viac mení ako aktuálne zmeny alebo naopak. Preto je potreba vykonať úpravu modelu, aby bol vhodnejší k predpovedi. Pretože sa nie je možné vyhnúť tretej zložke U3 , je z hľadiska dobrej predikčnej schopnosti a presnosti modelu optimálne, ak

28. Voľba a optimalizácia hospodárskej politiky Využitie EM pri výbere a optimalizácii vhodných kombinácií a úrovní nástrojov riadenia je základom ekonometrických metód optimalizácie hospodárskej politiky. Voľba a optimalizácia nástrojov hospodárskej politiky je úzko spojená s ekonometrickým prognózovaním a to formou spätnej väzby. Podmienená predpoveď vychádza okrem iného z predpokladaných či navrhovaných rozhodnutí riadiaceho a rozhodujúceho subjektu (vlády, manažmentu firmy, centrálnej banky) a naopak pri stanovení konkrétnej hospodárskej je nutné prihliadať i k anticipácii dopadov očakávaných rozhodnutí alebo ekonomických opatrení. Pri výbere a hodnotení rôznych variantov hospodárskej politiky vychádzame spravidla z dynamického MSR v štrukturálnej forme: 10.

29. G x 1 vektor cieľových endogénnych premenných G x 1 vektor cieľových endogénnych časovo oneskorených premenných m x 1 vektor oneskorených riadiacich exogénnych premenných K x 1 vektor exogénnych premenných G x 1 vektor náhodných zložiek štruktúrneho modelu , matice štruktúrnych parametrov Model je možné zapísať podľa známych pravidiel upraviť na redukovaný tvar 11.

30. Cieľové premenné, predstavované riadenými endogénnymi premennými ktoré kvantifikujú stanovené ciele, sú priamo spojené s hlavnými sledovanými cieľmi modelovaného ekonomického systému a predstavujú najčastejšie makroekonomické veličiny, ako sú hrubý domáci produkt, národný dôchodok, agregátna spotreba, objem investícií, miera nezamestnanosti, inflácia... Ostatné endogénne premenné vysvetľované modelom, ktoré nie sú pri voľbe stratégie riadenia predmetom záujmu riadiaceho subjektu, lebo i keď ich hodnoty môžu ovplyvňovať niektoré cieľové premenné, sú z hľadiska určenia hospodárskej politiky nepodstatné. Riadiace premenné, reprezentované exogénnymi premennými, ktorých hodnoty riadiaci subjekt ovplyvňuje, takže hrajú úlohu nástrojov hospodárskej politiky. Slúžia k realizácii zámerov makroekonomickej regulácie, predstavujú nástroje fiškálnej politiky (vládne výdavky, daň z príjmov FO a PO, nepriame dane,..) monetárnej politiky (výška povinných minimálnych rezerv, repo sadzba...) a ostatné ekonomické nástroje Autonómne premenné, zostávajúce exogénne a rôzne endogénne časovo oneskorené premenné, ktoré nie sú pod kontrolou riadiaceho subjektu a majú charakter vstupných dát.

31. Na využití štruktúrneho (10.) a redukovaného (11.) tvaru MSR sú založené najčastejšie používané postupy, vhodné pre výber a optimalizáciu nástrojov hospodárskej politiky. • Patrí k nim : • Metóda cieľových premenných • Princíp optimálneho riadenia a simulačné postupy.