第五章 矩阵的对角化及二次型

1. 第五章矩阵的对角化及二次型

2. §1向量的内积与施密特正交化方法

3. 定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x和 y的内积． 向量的内积

4. [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xnyn = xTy． 内积具有下列性质（其中 x, y, z为 n 维向量，l 为实数）： 对称性：[x, y] = [y, x]．

5. [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xnyn = xTy． 内积具有下列性质（其中 x, y, z为 n 维向量，l 为实数）： 对称性：[x, y] = [y, x]． 线性性质： [lx, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z]

6. [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xnyn = xTy． 内积具有下列性质（其中 x, y, z为 n 维向量，l 为实数）： 对称性：[x, y] = [y, x]． 线性性质： [lx, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0

7. [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xnyn = xTy． 内积具有下列性质（其中 x, y, z为 n 维向量，l 为实数）： 对称性：[x, y] = [y, x]． 线性性质： [lx, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．

8. 回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0 P(x1, x2) x2 若令 x = (x1, x2)T，则 O x1 P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O

9. 向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0． 齐次性： || lx || = | l |·|| x || ．

10. 向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0． 齐次性： || lx || = | l |·|| x ||． 三角不等式：|| x + y || ≤|| x || + || y ||． y y x + y x

11. 向量的正交性 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y || 当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时， 定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把 称为 n 维向量 x和 y的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x和 y正交． 结论：若 x = 0，则 x与任何向量都正交． y x

12. 定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组． 定理：若n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar] = k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr[a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述，a1, a2, …, ar 线性无关．

13. 例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2, a3 两两正交． 分析：显然a1⊥a2． 解：设a3 = (x1, x2, x3)T，若a1⊥a3， a2⊥a3 ，则 [a1, a3] = a1Ta3 = x1 + x2 + x3 = 0 [a2, a3] = a2Ta3 = x1 －2 x2 + x3 = 0

14. 得 从而有基础解系 ，令 ．

15. 定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 中的向量， 满足 • e1, e2, …, er 是向量空间 V中的一个基（最大无关组）； • e1, e2, …, er 两两正交； • e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er是V的一个规范正交基． 例： 是R4 的一个规范正交基．

16. 也是R4 的一个规范正交基． 是R4 的一个基，但不是规范正交基．

17. 设e1, e2, …, er 是向量空间 V中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer 于是 特别地，若 e1, e2, …, er是V的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V中的一个基 a1, a2, …, ar 向量空间 V中的一个规范正交基e1, e2, …, er ？

18. 求规范正交基的方法 第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar是向量空间 V中的一个基，那么令 基 正交基 规范正交基 b3 a3 c32 b2 c31 c3 c2 a2 a1 b1

19. 第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar是向量空间 V中的一个基，那么令 于是b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar等价，即 b1, b2, …, br是向量空间 V中的一个正交基． 特别地，b1, …, bk 与a1, …, ak等价（1 ≤k≤r）．

20. 第二步：单位化 设 b1, b2, …, br是向量空间 V中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1, e2, …, er是向量空间 V中的一个规范正交基．

21. 例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第一步正交化，取

22. 例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第二步单位化，令

23. 例：已知 ，试求非零向量a2, a3，使a1, a2, a3 两两正交. 解：若a1⊥a2， a1⊥a3 ，则 [a1, a2] = a1Ta2 = x1 + x2 + x3 = 0 [a1, a3] = a1Ta3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 ． 基础解系为 把基础解系正交化即为所求． （以保证 a2⊥a3成立）

24. 定义：如果n 阶矩阵 A 满足 ATA = E， 则称矩阵 A为正交矩阵，简称正交阵． 即A−1 = AT， 于是 从而可得 • 方阵A为正交阵的充分必要条件是 A的列向量都是单位向量，且两两正交． 即A的列向量组构成Rn的规范正交基．

25. 定义：如果n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即A－1 = AT， 则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵． • 方阵A为正交阵的充分必要条件是 A的列向量都是单位向量，且两两正交．即A的列向量组构成Rn的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以

26. 定义：如果n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即A－1 = AT， 则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵． • 方阵A为正交阵的充分必要条件是 A的列向量都是单位向量，且两两正交．即A的列向量组构成Rn的规范正交基． • 方阵A为正交阵的充分必要条件是 A的行向量都是单位向量，且两两正交． 即A的行向量组构成Rn的规范正交基.

27. 例：正交矩阵 R4 的一个规范正交基

28. 正交矩阵具有下列性质： • 若 A是正交阵，则 A−1也是正交阵，且|A| = 1 或－1． • 若 A和B是正交阵，则A和 B 也是正交阵． 定义：若 P是正交阵，则线性变换 y = Px称为正交变换． 经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保 持不变），这就是正交变换的优良特性．

29. §2特征值与特征向量

30. 引言 纯量阵 lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An(lEn) = lAn． 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠BA． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ? 例：

31. 一、基本概念 定义：设 A是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维非零向量x满足 Ax = lx， 那么这样的数 l称为矩阵 A的特征值，非零向量 x称为 A 对应于特征值 l的特征向量． 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.

32. 一、基本概念 定义：设 A是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维非零向量x满足 Ax = lx， 那么这样的数 l称为矩阵 A的特征值，非零向量 x称为 A 对应于特征值 l的特征向量． Ax = lx = lEx 非零向量 x满足 (A−lE)x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0

33. 特征方程 | A−lE | = 0 特征多项式 | A−lE | 特征方程 特征多项式

34. 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A|

35. 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A的特征多项式为 所以 A的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． kp1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

36. 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A的特征多项式为 所以 A的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． kp2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

37. 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．

38. 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = −1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0． 解得基础解系 ． kp1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

39. 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A−2E) x = 0． 解得基础解系 ． k2p2 + k3p3 （k2 , k3不同时为零）就是对应的特征向量．

40. 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 若 l 是A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l的全体特征向量的最大无关组．

41. 例：设 l 是方阵 A的特征值，证明 (1) l2是 A2的特征值； (2) 当 A可逆时，1/l是 A−1的特征值． 结论：若非零向量 p是 A 对应于特征值 l的特征向量，则 • l2是 A2的特征值，对应的特征向量也是p． • lk是 Ak的特征值，对应的特征向量也是p． • 当 A可逆时，1/l是 A−1的特征值，对应的特征向量仍然是 p．

42. 二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 若 l 是A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是A 的一个特征值，则j(l) = a0 + a1 l + … + am lm 是矩阵多项式 j(A) = a0 + a1 A + … + am Am的特征值．

43. 例：设3 阶方阵 A的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E 的特征值． 解：A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j(A) 其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ． 设 l 是A 的一个特征值， p是对应的特征向量．令 则

44. 定理：设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm各不相同，则 p1, p2, …, pm线性无关． 例：设 l1 和 l2是方阵 A的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 p1和 p2，证明 p1 + p2不是 A的特征向量．

45. §3相似矩阵

46. 定义：设 A, B都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵P满足 P −1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A的相似矩阵，或称矩阵A和 B 相似． 对 A进行运算 P −1AP 称为对 A进行相似变换． 称可逆矩阵P为把 A变成 B 的相似变换矩阵． 定理：若 n 阶矩阵 A和 B 相似，则 A和 B 的特征多项式相同, 从而 A和 B 的特征值也相同． 证明：根据题意，存在可逆矩阵P，使得 P −1AP = B ． 于是 | B −lE | = | P −1AP − P −1(lE) P | = | P −1(A−lE) P | = | P −1| |A−lE| |P | = |A−lE| ．

47. 定理：若 n 阶矩阵 A和 B 相似，则 A和 B 的特征多项式相同, 从而 A和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A和 B 相似，则 A的多项式 j(A) 和 B 的 多项式 j(B) 相似． 证明：设存在可逆矩阵P，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk. 设j(x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j(A) P = P −1(cmAm + cm−1Am−1+ … + c1A+ c0E) P = cm P −1 AmP + cm−1P −1 A m−1P + … + c1P −1A P + c0P −1 EP = cmBm + cm−1Bm−1 + … + c1B + c0E = j(B).

48. 定理：设 n 阶矩阵L= diag(l1, l2, …, ln)，则l1, l2, …, ln就 是 L的 n 个特征值． 证明： 故 l1, l2, …, ln就是 L的 n 个特征值．

49. 定理：若 n 阶矩阵 A和 B 相似，则 A和 B 的特征多项式相同, 从而 A和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A和 B 相似，则 A的多项式 j(A) 和 B 的 多项式 j(B) 相似． 若 n 阶矩阵 A和 n 阶对角阵L= diag(l1, l2, …, ln) 相似，则 从而通过计算j(L) 可方便地计算j(A). 若j(l) = | A−lE |，那么 j(A) = O（零矩阵）.

50. 可逆矩阵P，满足 P −1AP = L （对角阵） ? P.123定理4： n 阶矩阵 A和对角阵相似 当且仅当 A有 n 个线性无关的特征向量 AP = PL Api = lipi (i = 1, 2, …, n) 推论：如果 A有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似． A的 特征值 对应的 特征向量 其中