1 / 19

SYMO

SYMO. Laplace transformatie. programma. vandaag (HL1) - inleiding - definitie - functies transformeren - afgeleiden transformeren - differentiaalvergelijkingen transformeren. programma (vervolg). volgende week (HL2) - overdrachtsfuncties - responsies - systemen doorrekenen.

benjiro
Download Presentation

SYMO

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. SYMO Laplace transformatie

  2. programma vandaag (HL1) - inleiding - definitie - functies transformeren - afgeleiden transformeren - differentiaalvergelijkingen transformeren

  3. programma (vervolg) volgende week (HL2) - overdrachtsfuncties - responsies - systemen doorrekenen

  4. werkwijze twee hoorcolleges met elk een power point presentatie (na het hoorcollege op SP) oefenopgaven (uitwerkingen na een week op SP) in principe bevatten de presentaties voldoende materiaal, eventueel zelf aanvullend materiaal zoeken het tentamen na blok 3 gaat deels over Bondgrafen, deels over Laplace transformatie

  5. inleiding doel van Laplace transformatie: vereenvoudiging van het rekenwerk aan gedrag van complexe systemen, met name van systemen die ontstaan zijn door koppeling van deelsystemen (bijv. met positieve of negatieve terugkoppeling)

  6. inleiding (vervolg) Het gedrag van een deelsysteem kan bijv. beschreven worden m.b.v. een differentiaalvergelijking (DV). Het verband tussen input en output volgt uit het oplossen van de DV in het t-domein. Wanneer diverse deelsystemen aan elkaar gekoppeld worden vormt de output van deelsysteem 1 de input van deelsysteem 2 enzovoort. Indien sprake is van een teruggekoppeld systeem wordt de complexiteit nog vergroot en is doorrekening ingewikkeld.

  7. definitie functie: f(t) getransformeerde functie: L(f(t)) = F(s) ∞ F(s) = ∫ f(t)·e-st·dt 0

  8. functies transformeren een constante: f(t) = c F(s) = ∫ c·e-st·dt = -c/s·[e-st] = -c/s·([e-s·∞]- [e-s·0]) = -c/s·([0 - 1) = c/s voor een lineaire functie wordt de berekening al wat langer:

  9. functies transformeren (vervolg) een lineaire functie: f(t) = t F(s) = ∫ t·e-st·dt = (1/s)·∫t·de-st = (1/s)·{[t·e-st] - ∫e-stdt} = (1/s)·{[t·e-st] - [(1/s)·e-st]} = (1/s)·{0 - (1/s)·{e-s·∞- e-s·0}} = (1/s)·{-(1/s)·{0 - 1}} = 1/s2 verdere functies: zie tabel van laplace getransformeerden

  10. functies transformeren (vervolg) De berekening van getransformeerde functies (‘met de hand’) is bewerkelijk en vereist toepassing van de techniek partiële integratie. Een alternatief is gebruik van de Ti-89 of software die speciaal hiervoor is ontwikkeld. Om getransformeerde functies te berekenen wordt meestal gebruik gemaakt van een lijst met getransformeerde standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële functies en goniometrische functies) in combinatie met een aantal rekenregels.

  11. functies transformeren (vervolg) rekenregels: L(f(t)+g(t)) = L(f(t)) + L(g(t)) = F(s) + G(s) L(c·f(t)) = c·L(f(t)) = c·F(s) L(ea·t·f(t)) = F(s-a) ……. …….

  12. functies transformeren (vervolg) een combinatie hiervan, bijvoorbeeld: g(t) = 2 - 3·t + t3 – e4t G(s) = 2/s - 3/s2 + 6/s4 -1/(s-4)

  13. functies transformeren (vervolg) machtsfunctie: f(t) = tn F(s) = n!/sn+1 exponentiele functie: f(t) = ea·t F(s) = 1/(s-a) goniometrische functie: f(t) = sin(ωt) F(s) = ω/(s2+ω2) goniometrische functie: f(t) = cos(ωt) F(s) = s/(s2+ω2)

  14. getransformeerde van afgeleiden L(df/dt) = s·F(s) – f(0) (eventueel af te leiden m.b.v. de definitie) hieruit volgt voor de L-getransformeerde van de tweede afgeleide: L(d2f/dt2) = s·L(df/dt) – f’(0) = s·(s·F(s) – f(0)) – f’(0) = s2·F(s) - s·f(0) – f’(0) dit kan voor hogere afgeleiden evt. voortgezet worden

  15. het transformeren van een DV Voorbeeld: DV: dy/dt + y = 2 beginvoorwaarde: y(0) = 1 oplossen in t-domein: yh = C·e-t en yp = 2 dus y = yh + yp = C·e-t + 2 met beginvoorwaarde y(0)=1 volgt C = -1 zodat y = 2 - e-t

  16. DV: dy/dt + y = 2 beginvoorwaarde: y(0) = 1 nu oplossen m.b.v. Laplace transformatie: L(dy/dt) = s·Y(s) – y(0) = s·Y(s) – 1 L(y) = Y(s) en L(2) = 2/s s·Y(s) – 1 + Y(s) = 2/s ofwel Y(s) = (1+2/s)/(s+1) = 2/s – 1/(s+1) terugtransformeren levert nu weer y(t) = 2 - e-t

  17. In dit voorbeeld ging het oplossen van de DV in het t-domein sneller dan m.b.v. Laplace transformatie. Bij koppeling van deelsystemen, die elk beschreven worden met een DV is dit al snel niet meer het geval. DV1 DV2

  18. oefenopgaven transformeer de volgende functies: 1. f(t) = t2 2. g(t) = 2- t3 3. h(t) = 1 - 3e-t 4. r(t) = sin(4t) 5. q(t) = sin(4t) + cos(4t)

  19. oefenopgaven (vervolg) transformeer de volgende DV’s en los op: • f(t) + f’(t) = t met f(0) = 1 7. g(t) + g’’(t) = 0 met g(0) = 0 en g’(0) = 1

More Related