第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 §1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学 §1 可微性

由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

全增量的概念

全微分的定义

事实上

二、偏导数的定义及其计算法 函数对x的偏增量

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。只要把 x之外的其他自变量暂时看成常量，对 x求导数即可。只要把 y之外的其他自变量暂时看成常量，对 y求导数即可。其它情况类似。

解把y看成常量把x看成常量解把y看成常量把x看成常量

证原结论成立．

不存在．

有关偏导数的几点说明： １、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

考虑在 (0, 0)点处，对 x的偏导数， 于是，

考虑在(0, 0)点处，对 y的偏导数， 于是，

三、偏导与连续的关系 　　在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用. 　　　　即, 对多元函数 f (x,y)而言, 即使它在 (x0， y0 )的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (x,y)在 (x0， y0 )连续.

例.设 证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续. 证: 　　前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续.

下证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在. = 0 = 0 　　故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.

z 1: z = f (x, y0) M0 z = f (x, y) 1 o y0 y X0 x  T1 即 f 'x(x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.

z 2: z = f (x0 , y) z = f (x, y) M0 2 o  y x0 X0 T2 x 如图类似得f 'y(x0, y0)的几何意义. 　　即 f 'y(x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.

　　从几何上看, f 'x(x0, y0)存在. 只保证了一元函数f (x, y0)在 x0 连续. 　　　　　　　　　　　也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的. 　　同理, f 'y(x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.

换句话说, 当 (x,y)从任何方向, 沿任何曲线趋于(x0， y0 )时, f (x,y)的极限都是 f (x0， y0 ). 显然, 上边两个条件都不能保证它成立.

偏导与连续的关系： 两个偏导数都存在的二元函数未必连续

四、可微的条件

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

一元函数在某点的导数存在 微分存在．？多元函数的各偏导数存在全微分存在．例如，

则说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。

解它们均连续。因此，函数可微分。 (2, 1) 处的全微分

解所求全微分

证（1） 令

函数连续 偏导数存在函数可微分偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系

四可微性的几何意义与应用 切平面的定义一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系.

定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过P的一个平面，曲面S上的动点Q到P 和到平面H 的距离分别为 d 和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有，则称平面 H 为曲面S在点P处的切平面，P为切点.

曲面的切平面与法线 1 设曲面方程为切平面方程为

法线方程为 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即

2 空间曲面方程形为 令曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为

因为曲面在M处的切平面方程为 切平面上点的竖坐标的增量

其中

解切平面方程为法线方程为

第十七章 多元函数微分学