复变函数论

1. 复变函数论 主讲：王明华

2. 第六章 留数理论及其应用 §1 、留数 §3、辅角原理及其应用 1、留数的定义及留数定理 1、对数留数 2、留数的求法 2、辅角原理 3、儒歇定理 3、无穷远点的留数 §2、用留数定理计算实积分

3. 定义1：函数 以有限点 为孤立奇点，即 在点 的某去心邻域 内解析，则称积分 为 在点 的留数(residue)，记作 注1：我们定义的留数 与圆 的半径 无关：事实上，在 第六章 留数理论及其应用 §1 、留数 1、留数的定义及留数定理

4. 内， f(z)有洛朗展式： 而且这一展式在 因此， 上一致收敛。逐项积分，我们有 的留数等于其洛朗级数展式中 注2：即 f(z)在孤立奇点 的系数。 定理1（柯西留数定理）： 在周线或复周线 围成的区域 内，除 外解析，在闭域 上除 外连续，则 注3：可去奇点的留数为0。

5. ( ) ( ) - n 1 j a 1、用定义求 2、用洛朗展式求 ，则 为 的 级极点， 定理2：若 ( ) = Re sfz ( ) - n 1! = za 注：当 时， 当 时， 定理2：设 为 的 级极点（只要 及 在点 解析，且 ）。则 例1：求 2、留数的求法 3、极点留数的求法

6. 例2：求 例3：求 定义2：若 为 的孤立奇点，即 在 内解析，则称复积分 为 在 的留数，记为 注4： 等于 在点 的洛朗级数展式中 这一项系数反号。 定理3：如果 在扩充复平面上只有有限个鼓励奇点（包括无穷远点在内）， 在各点的留数总和为零。 设为 ，则 3、无穷远点的留数

7. 型积分 注5： 令 ，则 例4：求 1、计算 则 例1：求 §2、用留数定理计算实积分 可以看出，左端是实积分，右端为z的有理函数的周线积分，并且在积分路 径上无奇点，应用留数定理可求得其值。

8. 2、计算 型积分 定理4：设 满足： 例2：求 例3：求 2） 在实轴上不为0 则 1） 例4：计算积分 注1：若 为偶函数，则

9. 1） 的次数比 的次数要高 2） 在实轴上不为0 3） 则 注：将上式分开实虚部，我们可以得到形如 及 的积分。 例5：计算积分 例6：计算积分 3、计算 型积分 定理5：设 ，且符合条件

10. 奇点都可能是 的奇点。 为 引理1：1）若 的 阶零点，则 必为函数 的一阶极点，并且 的一阶极点，并且 2）若 为 的 阶极点，则 必为函数 的对数留数为： 定义3： 显然，函数 的零点和 §3、辅角原理及其应用 1、对数留数

11. 故点 必为函数 的一阶极点，且 是一条周线。 定理6：设 符合条件 1） 在 的内部是亚纯的； ，求 例7：设 2） 在 上解析且不为零； 则有 证明：如果若 为 的 阶零点，则在 的邻域内有 分别表示 在 的内部的零点与极点个数，（几阶算几个）。 其中 在点 的邻域内解析，切 。于是 由于 在点 的邻域内解析，

12. 注： 表示沿 一周， 的改变量。 的对数留数的意义 2、辅角原理

13. 定理7（辅角原理）：在定理6的条件下有 注：若 在 及内部解析，且在 上不为0，则 例8：设 验证辅角原理。 定理8（儒歇定理）：设 是一周线。设函数 及 满足： 1) 他们在 的内部解析，且连续到 与 在 2) 在 上， 则函数 的内部有 同样多的零点，即 3、儒歇定理 注：儒歇定理可用来判别方程在区域内根的个数，或判定零点的位置。

14. 例9：若 符合条件 则 在单位圆 内 个零点。 内有5个根 在 内无根 。 注： 在 例10：证明： 的根全在 内。 例11：如果 ，求证方程 在单位圆内有 n 个根 定理9：若函数 在区域 内单叶解析，则在 内 定理10：若 ，则 在 在 解析且 的某邻域内单叶解析。 注：定理8的逆不成立，但有局部化的结果