第三章一维油藏的数值模拟方法

第三章一维油藏的数值模拟方法 • 一维油水两相水驱油的数值模拟方法 • 一维径向单相流的数值模拟方法

第一节一维油水两相水驱油的数值模拟方法 • 一、数学模型 • 1. 假设条件 • 1) 符合达西渗流定律 • 2) 等温渗流 • 3) 油、水两相及油水两组分 • 4) 一维流动 • 5) 流体和岩石不可压缩； • 6) 油藏岩石性质（k,）沿一维非均质 • 7) 不考虑毛管力和重力

2. 组分质量守恒方程 • 由组分质量守恒方程的一般式逐步简化到上述假设条件。 • 1) 三维油气水三相N个组分 • 2) 三维油水两相两组分

3) 一维油水两相两组分 • 4) 若不考虑流体和岩石压缩性 • 式中为标准状况下流体的密度。 • 令，将质量流量转变为体积流量。 • 若不考虑油水两相之间的毛管力

(1) • 水组分 • 油组分 • 3. 辅助方程 • 4. 未知数和方程数 (2) (3)

水 L 油＋水 0 • 5. 初始条件和边界条件 • 在岩心中饱和油和束缚水，然后在左端注入水，右端 • 先出油，后出油和水，要求岩心中各点压力、饱和度随 • 时间的变化。需知初始条件和边界条件。 • I.C • B.C

二、差分方程组的建立 • 1. 预备知识 • 1) 方程（1）（2）的解法问题 • 顺序求解(Sequential)，先求P，再求S • 隐式压力显式饱和度 IMPES • 即Implicit Pressure Explicit Saturation • 隐式压力隐式饱和度 IMPIMS • 即Implicit Pressure Implicit Saturation • 所谓隐式，即用一个线性代数方程组求解一组未知函数； • 所谓显式，即用一个线性代数方程求解一个未知数。 • 联立求解(Simultaneous)，P、S同时求解 • 半隐式(Semi-Implicit) • 全隐式(Fully-Implicit)

2) 方程非线性系数的显式和隐式处理 • Krl随Sl而变化，而Sl又是未知函数，随时间变化，因此Kr有以下几种处理： • 显式，即Sl取n时刻，为已知值。 • 半隐式，即krl随时间而变化，用Taylor级数展开，取前二项。 • 隐式，即Sl取n+1时刻，因Sln+1为未知，采用迭代法，常用的为Newton－Raphson方法。

i-1 i i+1 x • 3) 方程(1)(2)非线性系数项取上游权流动由i-1到i 流动由i到i－1

2、隐式求压力的方程 • 为消除Sl项，（1）＋（2）可得 • 即 • 令 • 则 (4)

n-1 n i=1 2 3 x • 对（4）式进行离散化，采用块中心网格，且网格大 • 小相等，均为x • 采用二阶隐式差分格式后得：（5）

（5）式可以分以下三种情况来讨论 • 1）对于第2至n-1个网格，因无注入，也无采出 qv=0,只有网格间的流动，式（5）可写为： • 其中系数项 采用显式处理，并采用上游权原则： • 即（6）

2）对于第一个网格i=1, 注入为qv,(5)式中第二项，由于没有流体从0流到1网格，因此无此项，第一项系数采用上游权显示处理。 • 两边除以，并令 Qv=qvA△x得：（7）

3 ）对于第n个网格，i=n，产出为qv，(5)式中第一项，由于没有流体从n流到n+1网格，因此无此项，第二项系数采用上游权显式处理： • 两端除以A△x，并令Qv=qvA△x得： • （6）、（7）、（8）构成了i从1到n的线性代数方程组。 (8)

0 • 矩阵方程如下： • 系数矩阵为三对角矩阵，可用追赶法求解i=1,2,,n 的的值。 0

3. 显式求饱和度方程 • 方程（1）采用二阶隐式差分后，系数项采用显式处理和上游权原则，可得 • （9）式中Pn＋1已从隐式压力方法求解得到，而求Sw可分以下三种情况： (9)

1）i=2，3， ，n-1 ,qv=0 • (9)式可写为：（10）

2） i=1 , • （9）式中只有第一项，可得： • 两端乘以，并令Qv=qvA△x • 则（11）

n-1 n • 3) i=n， • 因为 • 则 • （9）式中只有第二项，可得： • 两端乘以Ax，并令 • 所以 • 利用（10）、（11）、（12）式即可求得 i=1,2,,n的 • 的值。即（12）

第二节一维径向单相流的数值模拟方法 • 一、数学模型 • 1. 假设条件 • 1) 符合达西渗流定律 • 2)等温渗流 • 3) 单相流体 • 4) 一维径向向井流动 • 5)岩石不可压缩，流体微可压缩 • 6) 油藏岩石性质（k,）沿径向不发生变化 • 7) 不考虑重力

2. 质量守恒方程 • 由三维柱坐标质量守恒方程逐步简化到上述假设条件 • 1) 三维单相非均质油藏可压缩流体和岩石 • 2) 三维单相均质油藏可压缩流体和岩石 • k=常数 ＝常数 • 3) 一维单相均质油藏可压缩流体和岩石 • 4) 一维单相均质油藏微可压缩流体，不可压缩岩石 • 即（1）（2）（3）（4）（5）

re rw re rw • 3、初始条件和边界条件 • 假设园形边界中心一口井，单相流体向井底流动， • 求在各种内外边界条件下的压力分布。 • I.C • B.C 1) 外边界 • 定压 • 封闭

2) 内边界 • 定产 • 定流压 • 可求以下问题： • 1. 定压外边界条件下: • 1) 内边界定产，求不同时间沿径向压力分布和井底流压。 • 2) 内边界定流压，求不同时间沿径向压力分布和产量。 • 2.封闭外边界条件下 • 1) 内边界定产，求不同时间沿径向压力分布和井底流压。 • 2) 内边界定流压，求不同时间沿径向压力分布和产量。

二、差分方程组的建立 • 1. 预备知识—不等距径向网格的建立 • 必要性 • 当单相流体向井底流动时，由于外边界附近，流动截面大，流速小，压力变化也小，因此网格尺寸要大；而在井底附近，流动截面小，流速大，压力变化也大，因此网格尺寸要小。因此沿径向可以采用不等距网格。 • 等比级数变化 • 令 …

rw r1 r2 r3 rn x0 x1 x2 x3 xn x x x • 将不等距网格r坐标转换成等距网格x坐标，即将等比级数取对数。 …

r与x的关系 • 即 • 同时 • 即

2. 将（4）式径向坐标r转换为x坐标 • 左端项 • 左端项＝右端项 • 即（6）

（7） • 3. 对（6）式采用隐式差分格式，x方向为等距离步长△x 令则（8）令则（9）

rw r1 r2 r3 rn i=0 1 2 3 n • 为了确定（9）式中的i、dij必须先计算Mi，因此必 • 须确定x。 • 若已知re、rw及确定的网格数n 即所以

三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组 • 1. 外边界定压，内边界定产 • 要求从i=0至n个网格的压力线性代数方程组 • i=n时，P＝Pe 就不用求了。现只要求i=0至n－1个网格的线性代数方程组。 • i=n－1 • 利用（9）式可得 (10)

i=0 • 可由内边界条件来定令得 (11)

i=1,2,……,n-2,可直接利用（9）式求得线性代数方程组。i=1,2,……,n-2,可直接利用（9）式求得线性代数方程组。 • 综合（9）、（10）、（11）式可得系数矩阵方程如下： 0 0

2. 外边界定压，内边界定流压 • 由（11）式得 • 由于Pwf已知，而d0中的Q为未知，得 • i=n时 • i=n-1时同（10）式 • i=0时（12）

i＝1 时由（9）式可知 • 上式中Pwf用（12）式代入 • i＝2,3,……,n-1,可利用（9）式直接求得线性代数方程组 • 综合（9）、（10）、（12）、（13）式可得系数矩阵方程如下：（13） 0 0 求得d0后，可求得

3. 外边界封闭，内边界定产 • i=0 • 同方程（11） • i=n • 可由外边界条件来定 • 代入（9）式 • 即（14）

i＝1,2,……,n-1，可直接利用（9）式求得线性代数方程组i＝1,2,……,n-1，可直接利用（9）式求得线性代数方程组 • 综合（9）、（11）、（14）式可得系数矩阵方程如下： 0 0

4. 外边界封闭，内边界定流压 • i=n • 同方程（14） • i＝2,3,……,n-1，可直接利用方程（9）来求得线性代数方程组 • 综合（9）、（12）、（13）、（14）式可得系数矩阵方程如下： • 求得d0后，可求得 • i=0 • 同方程（12） • i=1 • 同方程（13） 0 0

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