我們都知道 2 2 ＝ 4 ， 3 2 ＝ 9 ，但是在 4 與 9 之間的數，如 5 、 6 、 7 、 8 等，它們是什麼數的平方呢？

1. 我們都知道 22＝4，32＝9，但是在 4 與 9 之間的數，如 5、6、7、8等，它們是什麼數的平方呢？ 也就是說，x2＝5，y2＝6，z2＝7，u2＝8，則x、y、z、u分別是多少？ x、y、z、u都是整數嗎？ 如果都不是整數，那你可以知道它們分別是多少嗎？ 這是個值得探討的問題！也將是我們接下來學習的重點。

2. 平方根 若以格子點為頂點，能看到哪些面積不相同的正方形？ 智多星 正方形的面積＝邊長 × 邊長 所以右圖中，最小的正方形面積是 1（平方單位），邊長是1（單位）； 最大的正方形面積是 324（平方單位），邊長是18（單位）； 若以格子點為頂點，還有哪些面積不同的正方形呢？它們的邊長又是多少呢？

3. 平方根 習 堂 練 隨 例題 面積為 81(平方單位)的正方形，邊長是多少？ Sol ∵ 9×9＝81， ∴面積為81的正方形，邊長為9。 面積為64(平方單位)的正方形，邊長是多少？ 因為64＝( )2，所以邊長為_________ 8 8 1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9， ……，9×9＝81 袁太

4. 平方根 連接格子點，將4個小正方形分成8個大小相同的等腰直角三角形。 以格子點為頂點，能畫出面積為2的正方形？ 柯西 智多星 那邊長是多少呢？ 小梅 智多星 你怎麼知道連接的四邊形是正方形呢？ 小梅 不是1， 也不是2？ 450 450 看圖就知道了 450 450 450 450 袁太 我猜它的邊長比1大比2小。 450 450 柯西

5. 平方根 探索活動 我們知道面積為1的正方形，邊長為1；面積為4的正方形，邊長為_______； 2 那麼面積為2的正方形，它的邊長比1大但是比2小，那它的邊長究竟是什麼樣的數呢？ 右圖的四邊形都是正方形，從圖中我們可以看出： 當正方形的面積愈大，則其邊長愈大；相對地，邊長愈大的正方形，其面積愈大。

6. 平方根 探索活動 0 1 2 3 x 1.4 1.5 1.藍色正方形的面積為2平方單位，將藍色正方形疊在方格紙上，如右圖。 我們可以看出藍色正方形的邊長在1和2之間。 請找出藍色正方形的邊長在哪兩個連續一位的小數之間？ 1.4＜邊長＜1.5 2.請用電算器分別按出(1.4)2與(1.5)2，比較看看是否合於上述關係？ x x ∵ (1.4)2＝1.96，(1.5)2＝2.25 ∴ 1.96＜2＜2.25，∴ 1.4＜邊長＜1.5

7. 平方根 探索活動 x 1.42 1.41 x 1.4 1.5 3.面積為2的正方形，其邊長在哪兩個連續的二位小數之間呢？ 請用電算器按出(1.41)2與(1.42)2，比較看看。 ∵ (1.41)2＝1.9881，(1.42)2＝2.0164 ∴ 1.9881＜2＜2.0164 ∴ 1.41＜邊長＜1.42 4.將1.41至1.42間細分成十等分，利用電算器找找看，面積為2的正方形，其邊長在哪兩個連續的三位小數之間呢？ 1.414＜邊長＜1.415 5.同理，面積為2的正方形，其邊長在哪兩個連續的四位小數之間呢？ 1.4142＜邊長＜1.4143

8. 平方根 由以上的方法，是否可以求出「面積為2的正方形其邊長的近似值」到小數第五位、第六位、第七位、………等？ 可以 由上表可以觀察到：正方形邊長 x 的小數位數越多，它的平方就越接近 2

9. 數學上以 來表示這個邊長，讀作「根號A」。 也就是說，面積為2的正方形，其(邊長)2只能逼近2而無法相等，所以其邊長以 來表示。讀作「根號2」 因為 正方形的面積＝邊長 × 邊長，若面積以A表示，邊長以x表示 則 A＝x2，所以可由邊長來表示面積； 那邊長可以由面積來表示嗎？ 或 若面積為3的正方形，其邊長為 或 想知道這根號符號的來源嗎？

10. 根號符號的來源： • 平方根的符號，曾經用拉丁文「Radix」（根）的首尾兩個字母合 • 併起來表示； 在十七世紀初，法國數學家笛卡爾在他的幾何學書中第一次用「√」來表示根號。「√」是由拉丁字母「r」變來的，而「－」是括線。由於「√」這個符號是拉丁文「Radix」演變而來的而「Radix」的意思就是「根」，因此我們稱「√」為平方根。 2. 英文平方根「square root」，可縮寫成「sqrt」，故電腦程式中 平方根的函數為「sqrt」。

11. 平方根 面積為 9 的正方形，其邊長為 但是我們知道面積為 9 的正方形，其邊長為 3，所以 ＝3 面積為 4 的正方形，其邊長為 但是我們知道面積為 4 的正方形，其邊長為 2，所以 ＝2 也就是這樣，我們把 、 、 、 、………也都當作是「數」。 ＋1＜2.4143 等。 1.4142 ＜ ＜ 1.4143 可以出現在「數」所具有的四則運算和不等關係中。 ， 例如： 簡單地說，「√」根號可以看作是「數」一樣作加、減、乘、除的運算，只不過會有一點寫法上的不同。

12. 平方根 用無條件捨去法，求 的近似值到小數第三位。 可將 視為面積為 3 的正方形的邊長長度 ∵12＝1，22＝4，∴ 1 ＜ ＜ 2 ∴ 1.7＜ ＜1.8 ∴ 1.73＜ ＜1.74 例題 ∴ 1.732＜ ＜1.733 故 的近似值為 提示 3 解 將1至2之間十等分，並用電算器計算可知(1.5)2＝2.25，(1.6)2＝2.56，(1.7)2＝2.89，(1.8)2＝3.24 小數第一位 將1.7至1.8之間十等分，並用電算器計算可知(1.73)2＝2.9929，(1.74)2＝3.0276， 小數第二位 再將1.73至1.74之間十等分，並用電算器計算可知(1.732)2＝2.999824，(1.733)2＝3.003289 小數第三位 1.732

13. 及 由上述的 當我們知道 是介於連續兩個整數之間時，透過將1單位長十等分的方法，便可求得 的近似值是介於哪兩個連續一位小數之間； 探索活動 再透過將0.1單位長十等分的方法，就可以求得 的近似值是介於哪兩個連續二位小數之間； 理論上，利用這種方法，我們可以求得 的近似值是介於哪兩個連續的任意有限位數的小數之間。 例題 在數學上，這種方法我們稱為「十分逼近法」。

14. 平方根 用十分逼近法，求 的近似值是介於哪兩個連續二位小數之間 ？ ∴ 2＜ ＜3 習 堂 練 隨 ∴ 2.2＜ ＜2.3 ∴ 2.23＜ ＜2.24 可看成是面積為5的正方形的邊長喔！ 解 ∵ 22＝4，32＝9 ∵ (2.2)2＝4.84，(2.3)2＝5.29 ∵ (2.23)2＝4.9729，(2.24)2＝5.0176

15. 平方根 因為4＝22，所以 ＝2 因為49＝72，所以 ＝7 因為169＝132，所以 ＝13 例題 2 面積為4平方單位的正方形邊長是 _____ 單位。 7 面積為49平方單位的正方形邊長是 _____ 單位。 13 面積為169平方單位的正方形邊長是 _____ 單位。 已知下列根號內各數分別為某正整數的平方，請化簡下列各數： （1） （2） （3） 解

16. 平方根 習 堂 練 隨 例題 所以面積為784的正方形，其邊長為 ＝28 已知下列根號內各數分別為某正整數的平方，請化簡下列各數： （1） （2） （3） （4） Ans：（1）8 （2）4 （3）11 （4）14 （1）試將 784 以標準分解式表示。 784 2 （2）試求面積為 784 的正方形之邊長。 392 2 196 2 解 98 （1）784＝24×72 2 49 7 （2）因為 784＝24×72 7 ＝2×2×2×2×7×7 ＝( 2×2×7 )×( 2×2×7 ) ＝(22×7)2 ＝282

17. 平方根 習 堂 練 隨 所以面積為1089的正方形，其邊長為 ＝33 （1）試將 1089 以標準分解式表示。 （2）試求面積為 1089 的正方形之邊長。 ＝33 Ans：（1）1089＝32×112 1089 ＝33 （2）1089＝32×112 ＝( 3×11 )2 ＝332

18. 平方根 使用「十分逼近法」，可以求出 的範圍，但是計算的過程並不輕鬆，所以我們常常利用電算器，快速求出 的近似值。 如何利用電算器求出 的近似值呢？ 習 堂 練 隨 √ 例題 解 2 步驟1：先按 步驟2：再按 得近似值 1.4142135 （四捨五入求至小數第三位） 利用電算器求下列各數的近似值： （1） （2） Ans：（1）8.944 （2）9.747

19. 平方根 動動腦 小梅、袁太、菲原利用電算器求 的近似值，請將這些數值平方，看看是否等於2。請問你如何做解釋呢？ 1.4142135 小梅 1.414213562 袁太 利用電算器，求 、 的近似值到小數第三位(四捨五入法) 例題 1.41421356237 菲原 Ans： ≒ 2.646 ≒ 2.828 Ans：因為電算器的精密度不同而有所差異。 小數點後的位數有多有少，不同的電算器所顯示的位數是不同的。

20. 平方根 不是2嗎？ (某數)2＝4，則某數＝？ －2也可以啊！ 小梅 菲原 智多星 哪一個數的平方會等於4呢？ 因為22＝4，而且(－2)2＝4，所以平方後等於4的數有兩個，即 2與－2。 數學上把2與－2都稱為 「4的平方根」 其中 2 稱為 4 的 正平方根 ， 負平方根 －2稱為4的 「求某數的平方為 4 的解」 方程式「x2＝4」的意義是 ∴ x2＝4 的解，即為2與－2 已知 22＝4，且(－2)2＝4， 記成 x＝2 或 x＝－2， 也可以合併記成「x＝± 2」

21. 平方根 × ＝2 ( )2＝ ＝( )2 (－ )2＝(－ ) × (－ ) ＝2 所以 x2＝2 的解為 與－ 記成 x＝ 或 x＝－ 即 x＝ 或 x＝－ 也可以合併記成「x＝± 」 所以 與－ 都是a的平方根 其中 稱為 a的 ，－ 稱為 a的 換句話說，求 x2＝a時，可用x＝± 表示其解。 x2＝a 一般說法，設a＞0，若某數 x的平方為 a，即 平方根 則 x稱為 a的 負平方根 正平方根

22. 平方根 256 的平方根為 ± ＝16 ∴ ＝ 例題 可視為正方形面積256的邊長 求下列各數的平方根： （1）256 （2）11 解 （1） (方法一) ∵ 256＝28＝(24)2＝162 ∴ 256 的平方根為16與－16 ，簡記為 ±16。 (方法二) 由這個算式中你有觀察出什麼嗎？ 又 ∵ 256＝28＝(24)2＝162 16 ∴ 256 的平方根為 ±16 256 16

23. 平方根 11 的平方根為 或－ ，簡記為 ± ∵ 256＝162，∴我們稱 256 為 ＝16 ＝ （2） 完全平方數 完全平方數：可以寫成某正整數的平方的數 例如：4＝22，9＝32，∴ 4、9即為一個完全平方數 但是 8＝23，∴8 不是一個完全平方數 又 ∴ 得知 「完全平方數 」的根號一定是正整數

24. 平方根 （1）441的平方根為 ± 習 堂 練 隨 ＝21 ∴ （2）101的平方根為 ± 求下列各數的平方根： （1）441 （2）101 解 ∵ 441＝212 ∴ 441的平方根為 ±21

25. 平方根 （1）64的平方根為 ± ∵ ＝8 例題 （1）設 x2＝64，求 x的值。 （2）若 x2＝1，則 x＝？ 提示 （1）表示求64的平方根。 （2）表示求 1 的平方根 解 ∴ x的解為 ±8 （2）∵12＝1 ，且(－1)2＝1 ∴ x＝±1

26. 平方根 144的平方根為 ± 習 堂 練 隨 ＝12 ∵144＝122 ∴ ＝ 設 x2＝144，求 x的值。 解 ∴ x＝± 12

27. 平方根 2 2 2 2 的平方根為 ± 16 16 16 25 25 25 的平方根為 ± ∴ 1 1 9 4 1 3 4 1 4 5 5 2 4 4 4 4 ＝ （2）∵ 例題 的平方根為 ± 的平方根為 ± ∴ ∴ 求下列各數的平方根： （2） （1） 解 （1） ＝ ＝ 又 又

28. 平方根 （2） （1） 習 堂 練 隨 Ans：（1） 4 7 ± 49 3 9 81 7 7 7 16 1 1 1 ＝ 9 9 9 9 ∴ 的平方根為 ± 求下列各數的平方根： （2）

29. 平方根 動動腦 下列何者為 的平方根？ （A） （B） 25 ＝ 的平方根為 ± ∴ ＝± 16 9 9 9 1 1 1 16 16 16 3 5 1 1 1 4 4 4 Ans：（B） 求帶分數的平方根時，必須要先將帶分數化成假分數，才可以求得其平方根。

30. 平方根 0.01的平方根為 ± 例題 求0.01的平方根。 解 【方法一】 因為 所以0.01的平方根為 ± 0.1 【方法二】 因為 所以0.01的平方根為 ± 0.1

31. 平方根 習 堂 練 隨 ∴0.25的平方根為 ± 求0.25的平方根。 解 【方法一】 ∵ 0.25＝(0.5)2， ∴0.25的平方根為 ± 0.5 【方法二】

32. 平方根 ∴1.21的平方根為 ± ∴1.21的平方根為 ± 例題 求1.21的平方根。 解 【方法一】 ∵ 1.21＝(1.1)2 【方法二】

33. 平方根 動動腦 習 堂 練 隨 1.請問 ＝？ 求4.41的平方根。 Ans：± 2.1 2.請問x2＝－4有解嗎？ Ans：（1）0 ；（2）沒有

34. 平方根 若2.3、 、 分別為三個正方形的邊長，試透過其面積的大小，比較三數的大小。 ( )2＝5 ， ( )2＝ ＝5.0625 習 堂 練 隨 9 9 9 4 4 4 ∴2.3＞ ＞ 25 25 8 8 81 16 試比較 3、 與 三數的大小。 例題 Ans：3＜ ＜ 解 ∵(2.3)2＝5.29， 又 5.29＞5.0625＞5

35. 如果一個數可以化成 的形式（其中p、q為整數，且p≠0），像這樣的數我們稱為 例如： 、5、－ 、0.5、………等，其中 5 可以寫成 ， 0.5可以化成 ，所以這些數都是有理數。 q q 然而像 這樣無法化成 的形式（其中p、q為整數，且p≠0）的數，我們稱為 p p 3 1 1 5 3 1 2 2 是人類歷史上，有案可稽的第一個無理數。 只要 n不是某個分數的平方，則 就是無理數，不可能記成為一個分子、分母都是整數的分數。 在數學上的一些名稱： 有理數 無理數