§3-1 排列问题

1. §3-1 排列问题

2. n个元素共有n! 个排列。 不重复无遗漏地产生n个元素的所有n!个排列。 思路： 设连续产生的两个排列为P和P',只要将P中的两个元素交换位置就得排列P'．

3. 定义 将一个排列的两个元素交换位置的操作称为换位，记作t. • 所有可能的换位操作的集合记为T.

4. 从而n!个排列可以这样来产生， • 任意选择一个排列，然后连续使用T中的操作，得到其余的(n!一1)个排列。 • 这个方法实质上将n!个排列排成一个序列， • 对其中每一个排列(不是最后一个)作一次换位操作，就可得其后继排列。

5. 以n＝3为例，其六个排列的序列下： l 2 3 2 l 3 2 3 1 3 2 l 3 l 2 1 3 2

6. 有n个元素的排列称为n排列。 • 从群论的角度问题可叙述如下，考虑有限群G及其算子集合T(现在G的元素是排列，T的元素是换位)， • 能否将G的所有元素排成一个序列，每两个相邻的元素有这样的性质， • 前者使用t∈T一次，即可得后者。 • 下面用归纳法证对于排列而言，这样的序列存在。

7. 对元素的个数n进行归纳。设n个元素为a1，a2，…，an．对元素的个数n进行归纳。设n个元素为a1，a2，…，an． • 当n=2时显然成立，共有两个排列， • 将其中的一个排列的仅有的两个元素交换位置即得另一个排列。 • 设n<p时存在n!个排列的序列，具有上述性质。

8. 当n=p时，有p!个排列，用下述方法将它们组织成一个序列。考虑p个元素的前p－1个元素，因为p－1<p当n=p时，有p!个排列，用下述方法将它们组织成一个序列。考虑p个元素的前p－1个元素，因为p－1<p • 满足归纳假设的条件，可以得到(p－1)!个(p－1)排列， • 将最后一个元素ap加到它们末尾，即得(p一1)!个p排列，且具有上述性质， • 然后交换上述最后一个排列中元素ap和元素a1(现在al并不一定在第一个位置)的位置，

9. 考虑这个排列的前(p－1)个元素，满足归纳假设的条件，可得(p－1)!个p排列(它们最末尾的元素为a1)；考虑这个排列的前(p－1)个元素，满足归纳假设的条件，可得(p－1)!个p排列(它们最末尾的元素为a1)； • 然后交换元素a1和元素a2，又可得 • (p－1)!个p排列，其末尾元素为a2； • 交换元素a2和元素a3，得(p一1)!个p排列，…， • 直至元素ap-2与元素ap-1交换位置， • 再得(p－1)!个p排列，其末尾元素为ap-1.

10. 从而p个元素的每一个都出现在 • (p－1)!个p排列的末尾， • 因此共有p× (p－1)!=p!个p排列， • 且它们都是互不相同的， • 每两个相邻的p排列有这样的性质： • 前者使用一次换位操作就得到了后者。证毕。

11. 从而，产生n!个n排列的问题变成给定一个n排列，如何确定要交换位置的两个元素。从而，产生n!个n排列的问题变成给定一个n排列，如何确定要交换位置的两个元素。 • 令序列中第m个排列为 • a1，a2，a3，⋯，an • 需要交换位置的两个元素为 • ar 和ah (r<h)，ah在ar的右边，

12. 这告诉我们a1，a2，…，ah-1 • 的(h－1)!个排列已经产生完毕， • 因此才需将其中的一个元素ar与它们右边的元素ah交换位置， • 从而m必是(h－1)!的倍数。 • m必不是h!的倍数。 • 换言之，h是具有下述性质的最小整数j: • m不能被j!整除。

13. h的值确定以后，r就很容易确定了。 • 上面的证明指明了确定r的方法。分两种情况： • (1)如a1，a2，…，ah-l都比ah小，则选择al，a2，…，ah-1中最小的元素与ah换位， • 不然则 • (2)选择a1，a2，…，ah-1中比ah大的元素中最小者与ah换位。

14. [例1] n为5．产生的第102个排列为 • 2 1 5 3 4 • 求第103个排列。 • m=102，因为 102÷3!＝17余0 • 102÷4! ＝ 3余30 • 所以，h＝4，即元素3要与其左的一个元素交换位置，比3大的元素只有一个，为5， • 所以3和5交换位置，得第103个排列为 • 2 1 3 5 4

15. [例2] n=4，4!=24，使用上述方法产生的24个排列如下所示(自上而下，再向右)： • 1234 432l 1342 1423 • 2134 342l 3142 4123 • 2314 2431 3412 2143 • 3214 423l 4312 1243 • 3124 324l 4132 4213 • 1324 234l 1432 2413

16. 本节的主要结果是函数permu， • 它需要三个函数： • int FAC(int n) • //计算n的阶乘 • {int i ＝2， k=1； • for ( ;i<=n; ) k*＝i++; • return k; • }

17. void SWAP(int x,int y,int a[ ]) • //交换数组a中下标为x及下标为y的元素的值 • {int t； • t＝a[x]； • a[x] ＝ a[y] ； • a[y] ＝t; • }

18. void PRlNT(int M， int n, int a[ ]) • {//打印n排列a及其序号M • int i=1； • printf (M)； • for (;i<=n;) printf (a[i++]); • }

19. void PERMU (int n)； • //产生n个元素1，2，…，N的n!个排列 • 产生第一和第二两个排列; • M=2; • while(M< fac (n)) • //每循环一次, 产生两个排列 • {确定h;确定r; • SWAP (r, h, a); PRINT(++ M, n, a); • SWAP (1, 2, a); PRINT(++ M, n, a)； • }

20. 产生第一和第二两个排列 • for( i＝l ;i<=n; i++) a[i]＝i; • PRINT(1，n，a)； (2) • SWAP(1, 2, a)； • PRINT(2，n，a)； (3)

21. 确定h; • h＝2； (4) • do h2＝FAC (++ h) ; (5) • while(M%h2==0) ； • 可修改为 • h＝2； h2=2; (4) • do h2 *＝ ++ h ; (5) • while(M%h2==0) ；

22. 确定r; • r＝1； j＝0； (6) • TEMP =MAXlNT； • for( i＝l; i< h; i++) • {//寻找最小的值 • if(a[i] <a[r]) r＝i • //寻找大于a[h]的最小值 • if((a[i] >a [h]) && (a [i] <TEMP)) • { j＝i; • TEMP=a[i] • } • } • if(j ) r＝j；

23. 注1 当M为奇数时，h的值必为2，r的值则为1， 即需要交换第1个、第2个元素的位置， 因此过程PERMU中while语句的循环体每执行一次产生两个排列， 用前述方法确定h、r，交换a[h]、a [r]得到一个排列， 然后再交换a[1]、a[2]直接得到另一个排列。

24. 注2 过程PERMU按前面的思路编写，为的是容易理解，为加速运行，将确定r的程序段更改为： • r＝0；TEMP＝MAXINT； • for( i＝l; i< h; i++) • if((a[i] >a [h]) && ( a [i] <TEMP)) • {r＝i; TEMP＝a[i];} • if( r= =0) • { r＝1； • for( i＝2;i<n;i++) • if(a[i]<a[r]) r＝i; • }

25. 经这样更改，不仅省时间，还省去变量j和函数FAC经这样更改，不仅省时间，还省去变量j和函数FAC

26. 注3 还有一种方法确定r的值，也分两种情况。 • ①如al，a2，…，ah-1都比ah大，则选择a1，a2，…，ah-1中最大者与a[h]交换，否则 • ②选择a1，a2，…，ah-1中比ah小的元素中最大者与a[h]交换。以n＝4为例， • 用上述方法得到的24个排列为

27. 1234 4213 4132 3241 • 2134 2413 1432 234l • 3124 2143 3412 243l • 1324 1243 4312 4231 • 2314 1423 1342 4321 • 3214 4123 3142 342l