第六章曲线和曲面 ( 三 )

第六章 曲线和曲面(三)

主要内容： • 曲线、曲面参数表示的基础知识 • 常用的参数曲线 • 常用的参数曲面

曲面表示： • 曲面表示的作用： • 能使模型表现的质量更高，特别是构造高质量真实感模型； • 曲面建模方法：很多 • 方法一：类似于多面体建模，用小的，互相连接的曲面片，而不是用多边形构造模型； • 方法二：直接定义实体对象的表面，如多面体、球体、柱体和圆锥体等，再用这些实体对象构建模型，此过程也称为实体建模； • 构建模型方法： • 加法建模：把许多简单的实体对象组合起来构建模型； • 减法建模：从给定的物体中去除某些部分，从而构建新的物体，如，在球体或立方体中挖一个柱形的洞。减法建模类似于雕塑；

曲面绘制： • 曲面的建模和逼近比较复杂； • 两种曲面的表示方法：特征网格、插值面片 • 特征网格：用给定的节点集Pij构造曲面； • 直接推广Bezier-Bernstein和Bezier-B样条曲线逼近方法。 • 特征网格是一个多边形网络，其顶点为Pij • 插值面片： • 描述曲面片的边界曲线，再通过边界曲线的插值，“填充”曲面片的内部；

常用的参数曲线 • 参数曲面的定义 • 参数曲面的重新参数化 • 平面、二次曲面和直纹面 • Bezier曲面 • B样条曲面 • Coons曲面 • 常用双三次参数曲面的等价表示

参数曲面的定义 • 参数曲面的表示： • 显式、隐式； • 参数式：从图形学角度，更便于用计算机表示与构造； • 1、一张矩形域上的参数曲面片 • 定义：由曲线边界包围，具有一定连续性的点集面片； • 用双参数的单值函数表示（如图）：

参数曲面的定义 • 其中为参数； • 上式可改写为： • 参数曲面片的常用几何元素： • 1）角点：代入可得四个点： • 2）边界线：矩形域曲面片的四条边界线是： • 3）曲面片上一点； • 4）点的切矢：在面片上一点处有向切矢为向切矢为： • 5）点的法矢：该点处的法矢记为：，简记为：

参数曲面的定义 • 2、常用面片的参数表示举例（1） • 在xoy平面上，矩形域的平面片的参数表示（如图）： • 球面（如图）： • 球心坐标： • 半径：r • 参数：纬度，经度 • 表达式：

参数曲面的定义 • 常用面片的参数表示举例（2） • 简单回转面 • 若一条曲线绕Z轴旋转，会得到一张回转面；如图； • 参数表达式：

参数曲面的定义 • 3、双三次参数曲面片的代数形式 • 定义：两个三次参数变量定义的曲面片；应用最广泛的一种面片； • 代数形式： • 矩阵表示： • 若已知四个角点坐标及其切矢量，则该面片边界线的代数形式： • 1） • 2）

参数曲面的定义 • 3） • 4） • 4、双三次参数曲面片的几何形式 • 1）几何表示是基于其代数表示和边界条件： • A. 4个角点位置矢量 • B.角点处的8个切点 • A、B共同定义边界曲线（如图：）

参数曲面的定义 • 2）边界曲线表达式： • F与Hermite曲线的调和函数相同； • 3）求辅助线（如图）；对曲线作u向切矢，可以得到一条辅助线：类似的，另外三条辅助曲线：钮矢：其中是曲面片角点处的扭矢；双三次曲面片上任一点的扭矢满足：

参数曲面的定义 • 4）由边界曲线和辅助线，构造双三次参数曲面片，其几何系数矩阵为：其中： • 左上角子阵：矩形域的角点位置矢量； • 左下角子阵：角点在u向的切矢； • 右上角子阵：角点在w向的切矢； • 右下角子阵：角点的钮矢； • 5）求： • 曲面点pi,j可看成曲线Piw和Puj的交点，也是求一个给定参数值的参数曲线上的一点。对于两条曲线，首先确定其几何系数，进而求

参数曲面的定义 • A：确定几何系数 • 设从曲线开始，确定其几何系数： • B：求 • 由边界曲线，求 • 由边界曲线，求 • 由辅助曲线，求 • 由辅助曲线，求 • 上式中系数：是的简写；

参数曲面的定义 • 6）几何表示的矩阵式： • 由上述四式求得曲线的几何系数后，则点点处的：令，则双三次参数曲面片的几何和表示的矩阵式为：此处： M和三次Hermite曲线的系数矩阵相同－》

参数曲面的定义 • 7）代数形式和几何形式间的关系： • 由定义的双三次参数曲面称为Hermite曲面或Ferguson曲面； • 基于式6-3-2: 和6-3-1: 可得双三次参数曲面代数形式和几何形式之间的关系：构造参数曲面的主要任务：构造其几何系数矩阵B。 • 5、双三次参数曲面的切矢和钮矢 • 1）U向切矢： • 2）w向切矢： • 3）钮矢：

参数曲面的重新参数化 • 1、参数方向变反 • 最简单形式：把参数变量u或/和w的方向变反； • 此方式不改变曲面片的形状； • 如图，表示对一个曲面片改变参数方向的三种情况：

参数曲面的重新参数化 • 初始曲面片如图a，其几何系数Ba： • 若参数U方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为Bb: • 若参数w方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为Bc: • 若u,w方向均取反－》相应法矢方向不变，几何系数如Bd：

参数曲面的重新参数化 • 2、重新参数化的一般形式 • 一般情况如图（下页）所示： • 图a所示曲面片参数区间从变到，从变到；其几何系数B1； • 图b参数区间从变到，从变到；其几何系数B2； • 对B1，B2两张曲面片，角点位置应重合，即： • 若要求两张曲面片的参数方程仍是双三次，要求u和t, w和v是线性关系：

参数曲面的重新参数化 • 3、参数曲面片的分割 • 给定参数曲面片，几何系数矩阵B1； • 要求其子曲面片的几何系数为矩阵B2；边界由及定义的参数曲线，如图：

参数曲面的重新参数化 • 对于新面片，角点有如下关系：其中P矢量是B1的元素，q矢量是B2的元素； • 若令，则相应切矢和扭矢如下表示： • 由上述16个表达式可以构造分割后子曲面片的几何系数矩阵B2；

平面、二次曲面和直纹面 • 1、平面 • 最简洁的参数表示形式（如图）： • 其代数形式是双三次曲面片代数形式的退化表示，即： • 其中：说明该平面片过且平行于r,s矢量。其相应的几何形式为：角点： U向切矢： W向切矢：扭矢：由此四个参数表示的几何参数矩阵：

平面、二次曲面和直纹面 • 2、二次曲面 • 球体、柱体、锥体都属于二次曲面家族； • 二次曲面用二次（x,y或z）方程定义； • 几何表示定义参数下表所示，对应图6.3.11

平面、二次曲面和直纹面 • 二次曲面的代数式定义： • 写成矩阵： • 上式化简可消去一次项，可得: • 即：－》二次曲面的判断式； • 若则方程表示一个球面，其半径为：

平面、二次曲面和直纹面 • 其余情况见下图：

平面、二次曲面和直纹面 • 3、直纹面 • 定义： • 绕面上任一点的面法矢旋转含该法矢的平面，如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠，则此面在一个方向上是直纹面（如图：）。 • 如在多个方向上该平面边和此面重叠，则此面在该点有多个直纹； • 最简单的直纹面是平面； • 二次曲面中的圆锥（台）面和圆柱面是单直纹面； • 一张双曲面和双曲抛物面是双直纹面； • 直纹面可看作是对两条已知边界曲线的线性插值；

平面、二次曲面和直纹面 • 直纹面表示： • 已知两条边界曲线式： • 则直纹面为： • 注意： • 曲面的角点和边界曲线的端点重合； • 直纹面的边界和线性插值边界重合： • 即： • 若已知：，直纹面可以写成： • 直纹面例子如图所示：

平面、二次曲面和直纹面 • 4、双线性曲面 • 单位正方形的参数空间内，以其相反边界进行线性插值而获得的面； • 如图,设任一点的参数坐标： • 其矩阵形式： • 角点： • 如给定四个三维点，则用上式插值得到的双线性曲面也是三维的； • 如给定单位立方体不共面的四个点，则双线性插值面为双曲抛物面，如图：

Bezier曲面 • 1、定义 • 基于Bezier曲线，能给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线中的一些算法可以扩展到Bezier曲面的情况。 • 曲面定义：设为个空间点列，则次Bezier曲面定义为： • 基函数：式中为Bernstein 基函数； • 特征网格：依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格为特征网格； • Bezier曲面的矩阵表示： • 实际应用中m,n小于4；

Bezier曲面 • 1）双线性Bezier曲面： • 定义：上式定义了一张双线性Bezier曲面； • 如果已知四个角点，则： • 2）双二次Bezier曲面： • 定义： • 上式定义的曲面，其边界曲线及其参数坐标曲线均为抛物线； • 3）双三次Bezier曲面： • 定义：

Bezier曲面 • 上式的矩阵形式： • 双三次Bezier曲面如图所示－》

Bezier曲面 • 式中参数阵的作用： • 1）是曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵，其中在曲面片的角点处； • 2）阵四周的12个控制点定义四条Bezier曲线，即曲面片的边界曲线； • 3）阵中央的四个控制点与边界曲线无关，但也影响曲面的形状；

Bezier曲面 • 2、Bezier曲面片的拼接 • 已知两张双三次Bezier曲面片： • 令： • 相应特征网格如图： • 1）达到连续此时：

Bezier曲面 • 2）达到连续此时在区间，在处的切矢和在处的切矢必须相同，即两个曲面在公共边界处的法矢必须连续，其表达式为：分为两种情况讨论： a)设将位置矢量和代入上式有：表示这四串点列应位于同一条直线上；

Bezier曲面 b)设：说明过边界曲线上的一点作切平面，则上的应位于此切平面内，式中为任意正数，是w的一次方程；

B样条曲面 • 1、定义 • 曲面定义：基于均匀B样条的定义和性质，可得B样条曲面的定义；设有个空间点列，则定义了k×l次B样条曲面； • 基函数：式中分别为k次和l次的B样条基函数。 • 特征网格：有组成的空间网格称为B样条曲面的特征网络； • 矩阵表示：式中y,z分别表示在u,v参数方向上曲面片的个数：是某个B样条面片的控制点编号；

B样条曲面 • 最常用的B样条曲面是二次、三次B样条曲面； • 1）均匀双二次B样条曲面： • 已知曲面的控制点则构造步骤：（1）沿v或u向构造均匀二次B样条曲线，有：

B样条曲面 • （2）再沿u或v向构造均匀二次B样条曲线，即可得均匀双二次B样条曲面： • 2）均匀双三次B样条曲面： • 已知曲面的控制点构造步骤： • （1）沿v或u向构造均匀三次B样条曲线（i=0,1,2,3），有：

B样条曲面 • （2）再沿u或v向构造均匀三次B样条曲线，即可得均匀双三次B样条曲面： • 可认为是顶点沿滑动，每组顶点对应相同的v，当 v由0到1连续变化，即形成B样条曲线；

B样条曲面 • 3、反求均匀B样条曲面的控制点 • 已知型值点： • 求相应均匀双三次B样条曲面的控制点列： • 1）双向曲线反算法： • （1）求特征多边形 • 对u向的m组型值点，按照B样条曲线的边界条件以及反算公式，求得由m组 B样条曲线构成的特征多边形，顶点为： • （2）求特征网格控制点 • 每条曲线均要加两个边界条件－》可得(n+2)×m个特征网格控制点 • 把边Vi,j看作是v向的m组型值点，再作(n+1)次B样条曲线反算，即可得双三次B样条曲面的特征网格控制点：

B样条曲面 • 2）广义矩阵法： • 以均匀双三次B样条曲面为例：

Coons曲面 • Coons曲面 • 1964年，美国麻省理工学院S.A.Coons提出一种曲面分片、拼合造型的思想，Bezier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格，Coons曲面的特点是插值，即通过满足给定的边界条件的方法构造Coons曲面 • Coons曲面的特点 • 属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，用于构造给定型值点的曲面，不适用于进行曲面设计。 • 原因：在曲面设计的初级阶段，设计者对其所设计产品的外形仅有粗略的概念。为得到满意的外形，需要不断地修改型值点的位置。

Coons曲面 • 由于扭矢的几何意义不明显，设计人员难以把握，难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制 • 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测 • 基本概念 • 假定参数曲面方程为P(u, v), u,v€[0, 1] • 曲面片的四条边界 • P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v) • 曲面片的四个角点 • P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1)

Coons曲面 • u线和v线上的切矢：P(u,v)的u向和v向求偏导矢： • 边界线P(u,0)上的切矢：同理：Pu(u,1), Pv(0,v), Pv(1,v)也是边界线上的切矢 • 边界曲线的跨界切矢: 边界曲线P(u,0)上的法向(指参数v向)偏导矢同理，Pv(u,1), Pu(0,v), Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢

第六章 曲线和曲面 ( 三 )