人工知能特論 2011 資料 No.7

人工知能特論2011資料No.7 東京工科大学大学院担当教員　亀田弘之

前回までの確認から

はじめに論理式φありき • 論理式φを等価変形し、Prenex Conjunctive Normal Form (PCNF)の形式ψにする。　　　例

Prenex Conjunctive Normal Form

Prenex Conjunctive Normal Form Clause Prenex Matrix イメージ： ∀x∃y∃z∀u．．．イメージ： (P(x)∨Q(y, f(z)))∧P(u)∧(Q(x, u)∨P(z, f(f(y))))

PCNFをSSFに • PCNFをさらにSkolem Standard Form (SSF) に変形する。（注）この変形は真理値を保存しない　　　ことに注意。

Skolem Standard Form Clause Prenex Matrix

Prenex Conjunctive Normal Form Clause Prenex Matrix イメージ： ∀x∀u．．．イメージ： (P(x)∨Q(g(x), f(z)))∧P(u)∧(Q(x, u)∨P(h(x), f(f(g(x)))))

PCNF　＝＞　SSFへの書き換え • 限量記号（存在記号）∃を除去しなければならない。そのために、スコーレム定数やスコーレム関数を導入する。 • 例：

確認：大切な注意事項（その１） • 任意の論理式はPCNFに変形可能 • 任意のPCNFはSSFに変形可能 • 任意の論理式とそれから導かれるSSFとは論理的に等価であるとは限らない（真理値は必ずしも保存されない！）。

真理値が保存されない例

確認：大切な注意事項（その２） • BUT • 充足不可能な論理式は充足不可能なSSFに変形される。 • 元の論理式がモデルを持つための必要十分条件は、SSFがモデルを持つことである。（これは重要な定理の１つ）

定理 • 任意の論理式φに対して、そのSSFをψとする。このとき、以下の関係が成り立つ。Ψ |= φつまり、　・φはψの論理的帰結である。　・ψが真となる解釈はどれもφを真とする解釈にになっている。　・ψのモデルはφのモデルでもある。

定理 • 任意の論理式φに対して、そのSSFをψとする。このとき、以下のことが成り立つ。・ψが充足不可能ならばφも充足不可能である。・ψがモデルを持たなければφもモデルを持たない。

定理 • 任意の論理式φに対して、そのSSFをψとする。このとき、以下のことが成り立つ。・ψが充足不可能ならばφも充足不可能であり、　　かつ、その逆も成り立つ・。・ψがモデルを持たないことと、φもモデルを持たないこととは等価である。

Herbrand Models（復習） • フランスの論理学者JacquesHerbrand が考案したとある解釈(interpretation)のこと。この解釈を特に、Herbrand interpretation とよび、この解釈に基づくモデルを Herbrand modelと呼ぶ。その実態は．．．

HMの構造をもう一度見てみよう！ • Herbrand universe U • Herbrand base B • Herbrand pre-interpretation J • Herbrand interpretation I • Herbrand model M以下、例で説明する。

HMの構造をもう一度見てみよう！ • Herbrand universe U＜＝解釈の領域 • Herbrand base B＜＝　アトムの集合 • Herbrand pre-interpretation J＜＝　項と領域要素との対応を定義 • Herbrand interpretation I　＜＝　アトムの真理値を定義 • Herbrand model M以下、例で説明する。

例：まず、このような論理式の集合を考える。

Herbrand Universe 元の論理式に含まれていた定数と関数に着目し、これからか得られるすべての項を集めたもの。

HerbrandBase 元の論理式に含まれていた述語を、先ほどのUの要素に適用して得られる述語すべてからなる集合。

Herbrand pre-interpretation • 解釈の領域D：Hebrand Universe U • 定数記号の解釈: 自分自身に対応させる。 • 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。

Herbrand pre-interpretation • 解釈の領域D：Hebrand Universe U • 定数記号の解釈: 自分自身に対応させる。 • 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。ここがポイント！

Herbrand interpretation • Herbrand pre-interpretation に基づくInterpretation をHerbrand Interpretation (HI) と呼ぶ。 • なおHIの内、所与の論理式（群）を充足するものを Herbrand Model (HM) と呼ぶ。

例: • H Pre-I J: • 領域　U　＝　Herbrand Universe • 定数記号 a in φ  個体 a ∈ U, 定数記号 b in φ  個体 b ∈ U. • 関数記号f inφ  関数f(t) ∈ U. • 真理値割り当て： • I1 ={P(a), P(b), Q(a, b), Q(b,b) } • I2 ={P(a), Q(a, a), Q(a, f(b)) } • I3 ={P(f(f(a))), P(b), Q(a, a), Q(a, f(b)) } • I4 ={P(a), P(b), Q(a, a), Q(b, b), Q(a, f(b)) }

注意事項 • HMの意義 • Σがモデルを持つ　　ΣがHMを持つ。 • Σ　｜＝　φ　　SはHMを持たない。ただし、Sは Σ∪{～φ} のSSF。

述語論理における推論 • Resolution • 代入 • 論理プログラミング（Prologなど） • 帰納論理プログラミング(Progolなど)＝＞知識分類・知識獲得・知識発見

以降は、Prologを使って説明します。

人工知能特論 2011 資料 No.7