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情境. 小明家的村头有一大水塘,周日,小明拿一根皮尺去测量这水塘两端点 AB 之间的距离.可当他将皮尺的一端系在 A 处时发现皮尺短了,拉不到 B 处,怎样才能既测出 AB 间的距离又快捷方便呢?小明没辙了,聪明的你有办法解小明的难题吗?. 一位老农教给了他们一种方法:在池塘外选一点 C ,使C能直接到达A点和B点,连接 AC 、 BC ,取 AC 、 BC 的中点 D 、 E ,则线段 DE 的长就是 AB 的一半.. A ●. ● B. E. D. ● C. A. E. D. B. C. 思考:如果老农说的是正确的,我们能把它转化为数学问题吗?.
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情境 小明家的村头有一大水塘,周日,小明拿一根皮尺去测量这水塘两端点AB之间的距离.可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了,拉不到B处,怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢?小明没辙了,聪明的你有办法解小明的难题吗? 一位老农教给了他们一种方法:在池塘外选一点C,使C能直接到达A点和B点,连接AC、BC,取AC、BC的中点D、E,则线段DE的长就是AB的一半. A● ●B E D ● C
A E D B C 思考:如果老农说的是正确的,我们能把它转化为数学问题吗? • 如图已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点. • 求证:DE = 1/2 BC
猜一猜 怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形 请动手试一试 ?
剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片.剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片. (1)如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形,剪痕的位置有什么要求? (2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角形作怎样的图形变换?
获取新知 A 注意 B C 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 因为 D、 E分别为AB、 AC的中点 所以 DE为 △ABC的中位线 D E 同理DF、 EF也为 △ABC的中位线 F 三角形有三条中位线 三角形的中位线和三角形的中线不同
已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证:DE∥BC, A D E B C 猜想结论 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 方法三 方法四 方法二 方法一
A D E B C 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 几何语言: ∵DE是△ABC的中位线(或AD=BD,AE=CE) ∴DE∥BC,且DE=1/2BC (三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半)
情境 小明家的村头有一大水塘,周日,小明拿一根皮尺去测量这水塘两端点AB之间的距离.可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了,拉不到B处,怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢?小明没辙了,聪明的你有办法解小明的难题吗? 一位老农教给了他们一种方法:在池塘外选一点C,使C能直接到达A点和B点,连接AC、BC,取AC、BC的中点D、E,则线段DE的长就是AB的一半. A● ●B E D ● C
定 理 应 用: ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 方法点拨: 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
A D E B C F 初显身手 画出△ABC中所有的中位线 三条中位线围成一个新的三角形,它与原来的三角形有无关系?哪方面有关系? (1) △DEF的周长与△ABC的周长有什么关系? (2) △DEF的面积与△ABC的面积有什么关系?
已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. A 求证:四边形EFGH是平行四边形. H D E G C B F 再显身手
A H D E G C B F 大显身手 从例题中你能得到什么结论? 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个 平行四边形
M A N D F C B E 挑战自我: 6 、已知:如图,△ABC是锐角三角形。分别以AB,AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,EF。 求证:DE=EF
A D E B F C (第3题) 应用新知: 3.已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.
A O D E C B F 作业题 3、如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
谈谈:你的收获 你的困惑
作业 1、相应的作业本上的题 2、分层作业:教材课后习题
证明:如图,以点E为旋转中心,把⊿ADE绕点E,按顺时针方向旋转180゜,得到⊿CFE,则D,E,F同在一直线上DE=EF,且⊿ADE≌⊿CFE。 ∴∠ADE=∠F,AD=CF, ∴AB∥CF。 又∵BD=AD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形), ∴DF∥BC(根据什么?), ∴DE 1/2BC F A D E B C 返回
证法二:过点C作AB的平行线交DE的延长线于F ∵CF∥AB, ∴∠A=∠ECF 又AE=EC,∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD, ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A D E F B C 返回
证法三:如图,延长DE至F, 使EF=DE, 连接CD、AF、CF ∵AE=EC ∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC 又D为AB中点, ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A D E F B C 返回
证法四:如图,过E作AB的平行线交BC于F,自A作BC的平行线交FE于G证法四:如图,过E作AB的平行线交BC于F,自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF 又∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF ∴△AEG≌△CEF∴AG=FC,GE=EF 又AB∥GF,AG∥BF∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG=FC,AB=GF 又D为AB中点,E为GF中点, ∴DB EF ∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF,即DE∥BC,DE=BF=FC 即DE=1/2BC A G D E B F C 返回