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第八讲 线性代数方程组的解法（中）. 第八讲主要知识点. 直接方法（平方根法（ Cholesky 分解法） 、追赶法 ） 范数与误差分析. 线性代数方程组的表示. 高斯消去法的变形 二、平方根法. 平方根 (Cholesky 分解法）法. 平方根 (Cholesky 分解法）法（续）. 例题分析. 例 用 平方根法 求解方程组. 解. 故知. 解得. 解毕. 改进平方根法. 改进平方根法（续 1 ）. 改进平方根法（续 2 ）. 追赶法. 追赶法 （续）. 定理证明（ 1 ）. 定理证明（ 2 ）. 定理证明（ 3 ）. 追赶法的计算公式.
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第八讲主要知识点 • 直接方法（平方根法（Cholesky分解法） 、追赶法 ） • 范数与误差分析
例题分析 例用平方根法求解方程组 解 故知 解得 解毕
追赶法 事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分解两个简单的二对角矩阵，从而归结为求解两个简单方程组的过程。 上述定理也表明，追赶法的原理和高斯消去法相同，但考虑到方程组的特点，计算时会把大量零元素撇开，从而大大节省计算量。
追赶法例题 例 用追赶法解下面三对角方程组
追赶法例题（续1） 解：先把系数矩阵分解成如下形式 由递推公式可知
追赶法例题（续2） 又由递推公式（4.27）可得：
追赶法例题（续3） 再由递推公式（4.28）可得： 故所求的解向量为
QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。
QR方法（续） 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝ “基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝ “基本”收敛于对角矩阵。 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时， A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。 基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。
基本QR方法（续） 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
