Podobieństwo trójkątów

1. Podobieństwo trójkątów Lekcja ćwiczeniowa

2. Odniesienie tematu do nowej podstawy programowej Treści nauczania – wymagania szczegółowe na poziomie podstawowym: 7.3 Planimetria (poziom podstawowy). Uczeń: • rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów; 7.4 Planimetria (poziom rozszerzony). Uczeń: • rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

3. Odniesienie tematu do standardów wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1) wykorzystania i tworzenia informacji: • używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników 3) modelowania matematycznego: • buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia

4. Cele lekcji • Utrwalenie wiedzy uczniów na temat cech podobieństwa trójkątów; • Nabycie przez uczniów umiejętności stosowania cech podobieństwa trójkątów w rozwiązaniach zadań geometrycznych, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych twierdzeń; • Doskonalenie umiejętności pracy w grupie; • Doskonalenie umiejętności posługiwania się poprawnym językiem matematycznym • Doskonalenie umiejętności prezentowania opisu przeprowadzonego rozumowania i wyników własnej pracy

5. C A1 A B B1 C1 Cechy podobieństwa trójkątów

6. C A1 A B B1 C1 I Cecha podobieństwa trójkątów (bok, bok, bok) • Jeżeli długości boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta A1B1C1, czyli to te trójkąty są podobne. Stosunek długości odcinków proporcjonalnych s nazywamy skalą podobieństwa.

7. II Cecha podobieństwa trójkątów (bok, kąt, bok) • Jeżeli długości boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta A1B1C1, czyli oraz kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.

8. III Cecha podobieństwa trójkątów (kąt, kąt, kąt) • Jeżeli dwa kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta A1B1C1, czyli |A1| = |A| oraz |C1| = |C|, to te trójkąty są podobne.

9. Zastosowanie podobieństwa trójkątów w praktyce

10. Jak obliczyć wysokość wielkiego drzewa, rosnącego w parku, w słoneczny dzień? Wystarczy użyć dłuższej tyczki, którą trzeba wbić pionowo w ziemię i wykorzystać podobieństwo trójkątów. Drzewo rzuca na ziemię cień o długości 63m. Jednocześnie tyczka o długości 1,8 m wbita w ziemię rzuca cień równy 4,2 m. Z uwagi na ogromną odległość Ziemi od Słońca przyjmujemy, że promienie słoneczne są do siebie równoległe, zatem padają na ziemię pod tym samym kątem. W badanej sytuacji możemy się dopatrzeć dwóch trójkątów prostokątnych, podobnych do siebie.

11. Jak obliczyć wysokość wielkiego drzewa, rosnącego w parku, w słoneczny dzień? Na podstawie cechy (k, k, k) stwierdzamy, że trójkąty ABC i A’B’C’ są do siebie podobne, zatem Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 27 m.

12. Jak stojąc na brzegu rzeki można zmierzyć jej szerokość? • Aby zmierzyć szerokość AB rzeki wybieramy na obu brzegach rzeki jakieś punkty charakterystyczne, np. drzewo (punkt A) oraz tyczkę (punkt B na rysunku). • Następnie odmierzamy wzdłuż brzegu dwa odcinki BC i CD leżące na jednej prostej. W punktach C i D umieszczamy kolejne tyczki. • Z punktu D oddalamy się wzdłuż linii prostopadłej do BD, aż do punktu E, z którego można zobaczyć tyczkę C i punkt A leżący po drugiej stronie rzeki w linii prostej.

13. Jak stojąc na brzegu rzeki można zmierzyć jej szerokość? W badanej sytuacji znowu mamy do czynienia z trójkątami podobnymi. ABC ~ CDE (cecha k,k,k). Po zmierzeniu odcinków BC, CD i DE z własności podobieństwa otrzymujemy: zatem szerokość rzeki |AB| jest równa:

14. Czego się nauczyliśmy podczas lekcji? • Utrwaliliśmy wiedzę na temat cech podobieństwa trójkątów • Ćwiczyliśmy umiejętność stosowania własności trójkątów podobnych, dotyczącą zachowania stosunków długości odcinków proporcjonalnych. • Poznaliśmy przykłady zastosowania podobieństwa trójkątów w praktyce

15. Zapraszam na stronę MKI II LO

16. Dziękuję za udział w lekcji