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本章小结

本章小结. 一、二重积分，三重积分的定义 二、二重积分，三重积分的计算 三、重积分的应用. 重点：二重积分，三重积分的计算. 二重积分的计算：. 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限 。. 三重积分的计算：. 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系； 在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；. *1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定. *2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对

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Presentation Transcript

  1. 本章小结 一、二重积分，三重积分的定义 二、二重积分，三重积分的计算 三、重积分的应用 重点：二重积分，三重积分的计算

  2. 二重积分的计算： 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。 三重积分的计算： 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系； 在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限； *1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定 *2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对 称性等方法来计算重积分.此外,还要会用对称性,交换积分次序,变 量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题(计算题及证明题).

  3. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  4. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  5. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  6. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  7. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  8. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  9. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  10. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  11. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  12. 于是，

  13. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  14. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  15. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  16. 于是，

  17. 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  18. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  19. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  20. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  21. 于是，

  22. 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  23. （2）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  24. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  25. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  26. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  27. 于是，

  28. 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  29. （2）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  30. 于是，

  31. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  32. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  33. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  34. 于是，

  35. 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  36. （2）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  37. 于是，

  38. 积分区域 D 关于 y轴对称，D1是 D中对应于 x≥0 的部分，则：

  39. 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则：

  40. 设积分区域 D 关于 x轴对称，D1是 D中对应于 y≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  41. （1）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称

  42. 于是，

  43. 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  44. （2）积分区域如图： 证 由积分区域 D 关于 x轴对称性

  45. 于是，

  46. 积分区域 D 关于 y轴对称，D1是 D中对应于 x≥0 的部分，则：

  47. 二重积分的轮换对称性： 积分区域 D 关于 直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y,x)D. 有 D1 ， D2分别是 D中关于 直线y=x对称的两部分，则： y y=x D2 D1 o x

  48. 利用对称性计算三重积分 1.关于积分区域的对称性: 若(x,y,z),有(x,y,z),则关于xoy坐标面对称。 *类似地可定义关于yoz,zox坐标面的对称性。 2.关于函数f(x,y,z)的奇偶性 ⅰ 若 则称f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数 *类似地可定义f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数. ⅱ 若 则称f(x,y,z)在上是关于y,z的奇或偶函数. *类似地可定义其他.

  49. ⅲ 若 则称f(x,y,z)在上是关于x,y,z的奇或偶函数 3.积分区域,被积函数f(x,y,z)的轮换对称性: 将积分区域的边界曲面方程(或被积函数f(x,y,z) )中,变量x,y,z依此轮换,方程(或函数f(x,y,z))的形式不变 4. 利用对称性计算三重积分的有关结论: 若关于xoy坐标面对称, f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数, ⅰ. *类似地可表示其他一些结果.

  50. ⅱ. 若关于yoz,zox坐标面都对称, f(x,y,z)在上是同时关于x,y的 奇或偶函数, 则 *类似地可表示其他一些结果. 若关于三坐标面都对称, f(x,y,z)在上是同时关于x,y,z的 奇或偶函数, 则 ⅲ.

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