Routing Games by: Tim Roughgarden

1. Routing Gamesby: Tim Roughgarden מציג: אורן זומר

2. על מה נדבר היום • ניתוב אנוכי אטומי • שיווי משקל + דוגמאות: כפילות ש.מ. ואי קיום ש.מ. • קיום ש.מ. בזרימות שוות/במחירים אפיניים • פונקציית פוטנציאל • חסם האנרכיה במחירים אפיניים/פולינומיאליים • ניתוב אנוכי לא אטומי • שיווי משקל + דוגמאות • Marginal Costs • פונקציית הפוטנציאל • חסם עליון חלש למחיר האנרכיה • תכונת הקיבוע • חסם Pigou למחיר האנרכיה • שיפור החסם על מחיר ש.מ. באמצעות שינוי הגרף

3. Non Atomic Selfish Routing • גרף מכוון G(V,E) • מחירי קשתות • חיוביות, לא יורדות • מקורות, יעדים, וכמות להעביר: • קבוצות מסלולים אפשריים: • זרימה לכל מסלול: • זרימה פיזיבילית: הזרימות במסלולים מ-s1 ל-:t1 הזרימות במסלולים מ-s2 ל-:t2

4. Non Atomic Selfish Routing • קבוצת הזרימות הפיזיביליות קומפקטית וקמורה f

5. מחיר זרימה • זרימה בקשת: • מחיר זרימה במסלול: • מחיר זרימה הזרימה הכולל • מחיר הזרימה בכל מסלול כפול גודל הזרימה במסלול • מחיר הזרימה בכל קשת כפול גודל הזרימה בקשת • ההגדרות שוות:

6. זרימה אופטימלית/שיווי משקל • זרימה אופטימלית: C(f)מינימלי (נסמן ) • זרימה f היא בשיווי משקל (נסמן ) אם: • לכל מסלול מ-s ל-t שבו יש זרימה ( ) אין מסלול אחר מ-s ל-t יותר זול (שבו ). • שימו  • לא דיברנו על שחקנים/אסטרטגיות • ∞ שחקנים עם השפעה אינפיניטסימאלית • מחיר האנרכיה:

7. דוגמאות • Pigou • נניח שזורם t בקשת התחתונה • מחיר זרימה משוקלל • בעליון: • בתחתון: • זרימה אופטימלית: • מתקבל כאשר: • זרימה בש.מ – מחירי קשתות שווים: • כשהחזקה גדלה מחיר האנרכיה שואף לאינסוף

8. דוגמאות • Braess • זרימה אופטימלית: • חצי בקשתות העליונות • מחיר משוקלל • חצי בקשתות התחתונות • מחיר משוקלל • סה"כ • זרימה בש.מ: כולם נוסעים דרך s->v->w->t • סה"כ • מחיר האנרכיה:

9. קסם • ניקח גרף, ונחשב את הזרימה האופטימלית • נכפיל את מחירי הקשתות פי x ונגזור • נחשב את הזרימה בש.מ בגרף החדש

10. קסם • Pigou • האופטימום: • ש.מ. בגרף החדש: • מחירי קשתות שווים s t

11. קסם • Braess • זרימה אופטמלית: • חצי בעליונות וחצי בתחתונות • נכניס את הזרימה לגרף החדש • קיבלנו ש.מ. v s t v w s t w

12. Marginal Costs (הוכחת הקסם) • יהי (G, r, c) גרף לא אטומי שבו לכל פונקצית מחיר הפונקציה היא פונקציה קמורה וגזירה ברציפות • marginal costs: • f היא זרימה אופטימליתאמ"מ לכל מסלול שבו יש זרימה כלשהי ( ) אין מסלול שבו

13. Marginal Costs • הקמירות היא קריטית! • ה"קסם" לא עובד כאשר: s t

14. הסבר • זרימה אופטימלית - מינ. מקומי של C(f) • העברת זרימה ממסלול למסלול תשנה את C(f) ב- • אם תמיד אז P מינימום מקומי

15. הסבר • C(f) פונקציה קמורה מעל מרחב קמור וקומפקטי • מינימום מקומי אמ"מ מינימום גלובאלי • ולכן בשתיזרימות אופטימליותf, g: C(f) f

16. פונקציית פוטנציאל +קיום ויחידות שיווי משקל • נפעיל על הקשתות את הפעולה ההפוכה • פונקציית המחיר: • קמורה וגזירה ברציפות • מחיר הזרימה בגרף הקדמון: • זרימה f היא בש.מ. אמ"מ היא נקודת מינימום גלובאלי של (תמיד קיימת) • אם f, g זרימות בש.מ. הן נותנות אותם מחירים על הקשתות

17. תכונות פונקציית הפוטנציאל • קטנה מפונקצית המחיר: • לא מפתיע: כאשר המחירים קבועים, זרימה אופטימליתאמ"מ ש.מ.

18. חסם עליון חלש למחיר האנרכיה • אם כל פונקציות המחיר מקיימות: • אזי: • מחיר האנרכיה: לכל היותר • עבור פולינומים מסדר p עם מקדמים חיוביים

19. חסם Pigou • תכונת הקיבוע: אם מקבעים את מחירי הקשתות בזרימת ש.מ. היא הופכת לזרימה אופטימלית. • במילים אחרות: מסלול עם זרימה בש.מ: s t מסלול בלי זרימה בש.מ:

20. חסם Pigou • מחיר האנרכיה לכל היותר: • נציב • ונקבל

21. חסם Pigou • פונקציות מחיר אפיניות: ax+b (a,b לא שליליים) • פונקציות מחיר פולינומיות בחזקה לכל היותר p עם מקדמים לא שליליים:

22. האם קיים חסם יותר טוב? • לא! לכל נמצא גרף עם מחיר אנרכיה גדול/שווה ל- • נשים לב שעבור שהמקרה סתום:

23. האם קיים חסם יותר טוב? • עבור נזרים בגרף: • ש.מ. מתקבל כשהכל זורם בתחתונה: • כאשר זורם x בתחתונה מקבלים • מחיר האנרכיה: s t

24. חסימת מחיר ש.מ. ע"י שינוי הגרף • ראינו בפיגו מחיר אנרכיה אינסופי • הוספת "מסים" קבועים: • כאשר הזרימה האופטימלית הופכת לזרימת ש.מ. ומחיר האנרכיה 1 (קסם + קיבוע חלקי) • הגדלת הזרם

25. חסימת מחיר ש.מ. ע"י הגדלת הזרם • עבור הגרפים (G, r, c) ו-(G, 2r, c): • הוכחה: נגדיר • ונוכיח א ב

26. חסימת מחיר ש.מ. ע"י הגדלת הזרם צ"ל: • נסתכל על פונקצית המחיר החדשה • נחלק למקרים ונשווה שטחים

27. חסימת מחיר ש.מ. ע"י הגדלת הזרם צ"ל: • בזכות ה-max וכלל הקיבוע מקבלים: סה"כ זרימה r

28. חסימת מחיר ש.מ. ע"י הגדלת הזרם • קיבלנו ש- • שקול ל- • כאשר: • שימוש בעולם האמיתי! רשתות MM1

29. הפסקה

30. על מה נשאר לנו לדבר • ניתוב אנוכי אטומי • שיווי משקל + דוגמאות: כפילות ש.מ. ואי קיום ש.מ. • קיום ש.מ. בזרימות שוות/במחירים אפיניים • פונקציית פוטנציאל • חסם האנרכיה במחירים אפיניים/פולינומיאליים

31. Atomic Selfish Routing • גרף מכוון G(V,E) • מחירי קשתות • חיוביות, לא יורדות • מקורות, יעדים, וכמות להעביר: • קבוצות מסלולים אפשריים: • השלישיות והמסלולים יכולים לחזור על עצמם • כל מכילה זוגות • זרימה לכל מסלול: הזרימות במסלולים מ-s1 ל-:t1 הזרימות במסלולים מ-s2 ל-:t2

32. Atomic Selfish Routing • כל שלישייה מייצגת שחקן • זרימה פיזיבילית • כל שחקן מעביר דרך מסלול אחד • קבוצת הזרימות הפיזיביליות לא קמורה • כל שחקן משלם:

33. זרימה אופטמלית/שיווי משקל • זרימה אופטימלית: C(f)מינימלי (נסמן ) • זרימה f היא בשיווי משקל (נסמן ) אם לכל שחקן i שבחר מסלול (כלומר ) אין מסלול אחר שאם הוא ייבחר אותו במקום הוא ישלם פחות ( ) • באופן פורמאלי:

34. AAE 1 • שני שיווי משקל • כל שחקן משלם 1 • סה"כ: 4 (אופטימלי) • שחקנים 1,2 משלמים 3 ושחקנים 3,4 משלמים 2 • סה"כ: 10 • מחיר האנרכיה הוא לפחות 3 2 4 2 1 2 1

35. אי קיום שיווי משקל • שחקן א' צריך להעביר r=1 • שחקן ב' צריך להעביר r=2 • שחקן א' יעדיף מסלול שלא חופף עם שחקן ב' • שחקן ב' יעדיף מסלול שחופף עם שחקן א' מאשר קשתות עם • אין שיווי משקל באסטרטגיות טהורות

36. מתי קיים שיווי משקל? • נוכיח: אם כל ה- זהים ושווים R – קיים ש.מ. • בה"כ • פונקציית פוטנציאל: • דומה ל- • בזרימה שחקן i עבר ממסלול למסלול קשת במסלול החדש שלא בישן קשת במסלול הישן שלא בחדש 1 1

37. מתי קיים שיווי משקל? • ולכן • המחיר המשולם הוא • ולכן גם קשת במסלול החדש שלא בישן קשת במסלול הישן שלא בחדש

38. מתי קיים שיווי משקל? • קיבלנו • פונקציית הפוטנציאל "עוקבת" אחרי שינויי אסטרטגיות • מסקנה: היא בשיווי משקל! • גם במחירים אפיניים ו- ים שונים תמיד קיים ש.מ.

39. חסם האנרכיה בניתובים אטומיים • חסם האנרכיה צריך לחסום את כל שיווי המשקל • אחרת – חסם יציבות • נמצא חסם לאנרכיה במחירים אפיניים

40. חסם האנרכיה במחירים אפיניים • פונקציות המחיר אפיניות: • עבור ו- נסמן ב- וב- את המסלולים של i • כשכל שחקן i עובר למסלול opt: • ובזרימה זורם בכל לפחות ולכן:

41. חסם האנרכיה במחירים אפיניים • ביחד מקבלים: • נמצא חסם להפרש: • וקיבלנו:

42. חסם האנרכיה במחירים אפיניים • נפתור את הפולינום של • ונקבל את החסם למחיר האנרכיה: • טיפה מעל AAE: 2.5

43. חסם האנרכיה למחירים אחרים • בפונקציות מחיר פולינומיאליות עם מקדמים לא שליליים: • רלוונטי רק כאשר יש נק' ש.מ. • החסמים צמודים!

44. סיכום

45. שאלות אחד אחד, לא צריך להתפרץ...