第二章平面運動

第二章平面運動 2-1 位置向量和位移 2-2 向量的合成分解 2-3 速度和速率 2-4 平均加速度和瞬時加速度 2-5 拋體運動 2-6 等速率圓周運動

y A(x,y) r y q x O x 質點在A點的位置可以其位置座標(x,y)表示。圖中的OA射線，是描述質點的位置向量r。其中，r的大小|r|=x2+y2，方向則和x軸夾q角，tanq=y/x。 2-1位置向量和位移(1/4) • 怎樣描述物體在平面上的運動? [說明]：

y Dr A B rA rB x O 質點從A點的位置移動到B點的位置時，質點的位移即是兩位置向量的變化量：Dr = rB - rA 2-1位置向量和位移(2/4) • 物體在平面上的位移 [說明]：

y B A rA C rB rC x O 質點從A點的位置經過B點移動到C點的位置時，其位移AC (紅線)= rC – rA = (rB – rA ) + (rC – rB) (綠線) 。 2-1位置向量和位移(3/4) [說明]：

y B A C D x O 質點從A點移動到D點的路徑可能有許多種，但其位移皆為AD(紅線) 。若質點由A點到D點再回到 A點，則位移為0。 2-1位置向量和位移(4/4) [說明]：例題2-1

(1)向量的相加滿足「交換律」：A+B=B+A (2)向量的相加滿足「結合律」：(A+B)+C=A+(B+C) 2-2-1向量的合成 (1/5) • 兩向量的相加方法： (1)平行四邊形法 (2)三角形法 B C A A C B [說明]： [註]：多個向量相加，以多邊形法 (三角形法)較方便。

A-B=A+(-B) A+(-B) A A B -B 2-2-2純數和向量的乘積 (2/5) • 純數與向量相乘： A A -A 3A [說明]：向量沒有減法運算，但可用加法運算代替。

無限多 一個向量可以分解成個分量，分解的方式有種。無限多 A2 A3 A A Ay A2 A1 Ax A A1 2-2-3向量的分解和單位向量(3/5) • 向量的分解 [註]：在處理物理問題中，常常將向量分解為互相垂直的兩個分量。

若A可分解成互相垂直的兩個分量：4 i 及3 j， 則A=4 i + 3 j。其中，i 、j 稱為單位向量。量值： |A|=42+32 =5 3 方向： tanq= =0.75 4 2-2-3向量的分解和單位向量(4/5) • 向量與單位向量 y A 3 j j x q i 4 i [說明]：

2-2-3向量的分解和單位向量(5/5) • 向量運算與單位向量 y y A2 A1 y2 - A1 A2 (y2-y1) j A1 y1 + A1 A2 A2 x x O O x1 x2 (x2-x1) i [說明]： A2+ A1=(x2 i +y2 j )+(x1 i +y1 j )=(x2+x1) i +(y2+y1) j A2 - A1=(x2 i +y2 j )-(x1 i +y1 j )=(x2-x1) i +(y2-y1) j

Dr v= 位置向量的平均時變率 Dt dr v= 位置向量的瞬時時變率 • 瞬時速度：。 dt 2-3速度和速率 (1/2) y P(x1,y1) v Q(x2,y2) • 平均速度：。 Dr r1 r2 x O [問題]：如上圖，瞬時速度的方向是在軌跡的切線方向，那平均速度的方向是向哪兒?

速率的定義： 。 2-3速度和速率 (2/2) y P(x1,y1) v Q(x2,y2) Dr r1 r2 x O 單位時間內所經的路徑長 [問題]：如上圖，瞬時速率與瞬時速度的大小是否相等?平均速率與平均速度的大小是否相等? 例題2-2

Dv v1 平均加速度 a= y Dt Q v1 v2 P d v r2 瞬時加速度 a= r1 dt x O 2-4平均加速度和瞬時加速度 • 加速度的定義：。單位時間內物體的速度變化量 [註]：若無特別說明，一般所指的速度、加速度均指瞬時速度、瞬時加速度。例題2-3

2-5拋體運動 (1/8) • 相對運動 [問題1]：若帆船等速前進，則桅頂小球掉落時，岸邊的人看到小球的軌跡為何? [問題2]：承上題，船上的人看到小球的軌跡為何?

2-5拋體運動 (2/8) • 運動的獨立性物體在平面上的運動，可看成沿兩個正交方向的兩個各自獨立互不影響的直線運動，這稱為『運動的獨立性』。

2-5拋體運動 (3/8) • 水平拋射 vo 等速度自由落體 g H (1)特徵：物體的初速vo在水平方向，受到在垂直方向重力mg的作用，作等加速度運動。 (2)狀態分析：根據運動的獨立性，物體的運動可視為水平方向的等速度運動與自由落體運動的合成。

(a)加速度： a=g j (b)速度： v=vo i + gt j 1 (c)位移： s=vot i + gt2 j 2 2-5拋體運動 (4/8) • 水平拋射 vo 等速度自由落體 (3)物理量： g H i j

(5)水平射程： 2H R=voT=vo g g 2H y= x2 (6)軌跡方程式： (4)飛行時間： T= g 2vo2 2-5拋體運動 (5/8) • 水平拋射 vo 等速度自由落體 g H i j 例題2-4

2-5拋體運動 (6/8) vy=0 • 斜向拋射 vox vox vy j vy vox i voy vox vox vy (1)特徵：物體的初速vo和水平夾角qo，受到在垂直方向重力mg的作用，作等加速度運動。 (2)狀態分析：根據運動的獨立性，物體的運動可視為初速vocoso在水平方向的等速度運動和初速vosino的鉛直上拋運動的合成。

(a)加速度： a=g j (b)速度： v=vocosqo i +(vosinqo -gt ) j 1 (c)位移： s=vocosqot i +(vosinqot - gt2) j 2 2-5拋體運動 (7/8) vy=0 • 斜向拋射 vox vox vy j vy vox i voy vox vox (3)物理量： vy

2vocosqo (4)飛行時間： T= g vo2sin(2qo) (5)水平射程： R=vocosqoT= g vo2sin2qo (6)最大高度： H= 2g g (7)軌跡方程式： y=xtanqo - x2 2vo2cos2qo 2-5拋體運動 (8/8) vy=0 • 斜向拋射 vox vox vy j vy vox i voy vox vox vy 例題2-5

2-6等速率圓周運動 (1/4) • 週期運動物體經過特定時間後會回到原處的運動。 (1)週期：在週期運動中，物體經過一次完整路徑所需的時間，稱為週期，以T表示，其單位為秒(s)。 (2)頻率：物體在單位時間內繞轉路徑的次數稱為「頻率」，以f表示，其單位為赫(Hz)、秒-1(s -1)。 [註]：頻率與週期互為導數。

Dq 2p w= = =2pf Dt T 2-6等速率圓周運動 (2/4) • 等速率圓周運動 (1)角速度：物體在每單位時間內對圓心所轉過的角度，稱為角速度，以w表示，單位為弧度/秒(rad/s)。

Ds 2pr v= = =rw Dt T 2-6等速率圓周運動 (3/4) • 等速率圓周運動 (2)速率：物體在一個週期內移動了一個圓周長，所以速率 [問題1]：何謂等速率圓周運動? [問題2]：如圖所示，在等速率圓周運動中，物體的速度方向為何?

v2 v2 Dv v1 v1 Dv vDq a= = =vw Dt Dt v2 = r 4p2r = T2 2-6等速率圓周運動 (4/4) • 等速率圓周運動 (3)向心加速度： B r Dq A O r =rw2 [說明]： Dq 向心加速度只改變速度方向，不改變速度大小，其方向恆指向圓心。例題2-6

例題2-1 在右圖中，坐標軸上每一單位長度為1 m，一質點從坐標為(4 , 0)的A點沿一曲線移動至坐標為 (-4 ,6)的B點，試求出所經歷的位移。

北 B Dr (Dy) j q 東西 O (Dx) i A 南例題2-2 某人開汽車，先向東行駛了5.0 km後，改向北又行駛了5.0 km，全程的行駛時間共為10分鐘，試求汽車的 (1)平均速度；(2)平均速率。

例題2-3 一小球以等速率2.0 m/s繞圓周轉動，每10秒繞一圈。試求： (1)小球從圖2-21所示的A點，繞90o至B點的時間間隔內的平均加速度。 (2)小球從A點，僅繞1o至A‘點的時間間隔內的平均加速度。

例題2-4 一架救援飛機沿水平方向，以432 km/h的等速度飛行接近目標。若飛機的高度為980 m，則該飛機應在距離目標上空多遠處投下救濟包裹？

例題2-5 某人從高度為36 m的樓頂上，以速度10 m/s及仰角 53o斜向拋出一石頭，如圖所示。試求(設g＝10 m/s2） (1)物體從拋出後多少時間落到地面？ (2)物體落地時的速度大小為何？ (3)水平射程為何？

例題2-6 地球在赤道面上的半徑為6378 公里，自轉一周的時間(稱為一個恆星日)，等於86164秒。如右圖所示，在赤道上的物體皆繞著地球自轉軸作等速率圓周運動，則其角速度、速度、和向心加速度各為何？

第二章 平面運動