Лекция 13 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ (продолжение)

1. Лекция 13РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ(продолжение)

2. 4. Геометрическое уравнение Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения. Но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Изучим это на примере предыдущей фермы (рис.а): При перемещениях u1 и u2узла A фермы (рис. б) ее элементы e1и e2получают следующие деформации (рис. в): (здесь, из-за сжатия e2от перемещения u1 первое слагаемое взято со знаком «–»).

3. Перепишем эти уравнения в виде: и представим в матричной форме или как где − вектор деформаций, − вектор перемещений, − связующая матрица.

4. Из предыдущей лекции нам известна матрица Видим, что , где символ t означает транспонирование. Поэтому вместо построения матрицы A1 можно воспользоваться матрицей At. Тогда получим уравнение − геометрическое уравнение Возможность использования одной и той же матрицы A в двух уравнениях − уравнении статики и геометрическом уравнении носит название принципа двойственности.

5. 5. Физическое уравнение Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы. При выбранной расчетной модели (механические и геометрические характеристики отдельных элементов постоянны, внешняя нагрузка действует только в узлах) по отдельным конечным значениям усилий в элементе можно определять усилия во всех его точках элемента. Рассмотрим три типовых элемента. 1) элемент с двумя жесткими узлами В каждой его точке продольная сила N постоянна, а изгибающий момент M и поперечная сила Qзависят от начального момента Mн и конечного момента Mк :

6. 2) элемент с шарнирным и жестким узлами В нем продольная сила N постоянна, изгибающий момент M и поперечная сила Q зависят от конечного момента: 3) элемент с двумя шарнирными узлами В нем имеется только постоянная продольная сила N.

7. Зависимость между внутренними усилиями и деформациями всех трех элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме: где Br – матрица податливости элемента с номером r, связывающая вектор перемещений элемента Δr с вектором усилий Sr. Например, в элементе 1-го типа связь между отдельными компонентами векторов перемещенийи внутренних усилий выражается формулами:

8. Если эти уравнения записать в матричной форме, то матрица податливости элемента 1-го типа будет: Для элемента 2-го типа: Для элемента 3-го типа:

9. Пусть дискретная модель состоит из mэлементов e1, …, em. Для всех элементов запишем уравнения (1), связывающие вектора деформаций элементов Δ1, … , Δm с векторами усилий S1, … , Sm. Затем объединим эти уравнения в общую системууравнений, а вектора деформаций и усилий элементов объединим в вектора Полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения Δ= BS. Оно устанавливает связь между разными физическими величинами расчетной модели и называется физическим уравнением. Здесь матрица называется матрицей податливостисистемы. Здесь знак  означает диагональность этой матрицы.

10. 6. Решение полной системы уравнений При расчете напряженно-деформированного состояния плоской стержневой системы дискретным методом участвуют четыре вектора: – вектор нагрузки – вектор перемещений – вектор усилий – вектор деформаций Между этими векторами имеется три зависимости: (1) (2) (3) – уравнение равновесия – геометрическое уравнение – физическое уравнение Они вместе называются полной системой уравнений строительной механики. Решение этой системы уравнений дает полную картину напряженно-деформированного состояния всего сооружения. Полную систему уравнений (1)-(3) с тремя неизвестными S,u, Δ можно решать тремя способами.

11. а) Решение в смешанной форме Для этого правую часть уравнения (3) нужно подставить вместо в уравнение (2). Тогда останутся два уравнения: (4) (5) Объединим их в одно матричное уравнение: Из его решения одновременно определяются искомые внутренние усилия и деформации сооружения: Но из-за большой размерности обращаемой матрицы и ее несимметричности, расчет этим способом сложен для реализации.

12. б) Решение в перемещениях Для этого из (5) найдем усилия: (6) Обратная к B матрица называется матрицей жесткости. Теперь подставим (6) в (4) и получим: Отсюда определяется вектор перемещений: Если этот результат подставить в (6), то определяются и усилия. в) Решение в усилиях Из-за сложности решения его рассматривать не будем.

13. 7. Алгоритм дискретного метода 1. Ввести в расчетную схему узлы и выбрать расчетную модель. 2. Составить вектор узловых перемещений u. 3. Составить вектора неизвестных усилий S и деформаций Δ. 4. Перенести внешнюю нагрузку в узлы. 5. Вырезая узлы, записать уравнения равновесия. 6. Собрать матрицу равновесия A и вектор нагрузки P. 7. Составить матрицу податливости необъединенных элементов B. 8. Решить полную систему уравнений строительной механики. Решение в перемещениях ведется в следующем порядке: а) б) в) г) д) е) ж) 9. По вектору усилий S построить эпюры M, Q, N . При необходимости, по векторам u и Δ можно построить общую картину деформации сооружения.